淺析芝諾悖論中的無限思想

楊旭 曾麗

［摘 ? ? ? ? ? 要］ ?悖論的產生可能引起數學危機，但是通過解決數學危機得以促進數學的發展。結合芝諾悖論中的“二分法”與莊子的無限分割思想闡述有限與無限之間的辯證關系。

［關 ? ?鍵 ? 詞］ ?芝諾悖論；二分法；一尺之錘；無限

［中圖分類號］ ?O173 ［文獻標志碼］ ?A ? ［文章編號］ ?2096-0603（2019）23-0172-02

悖論通常是指它的結論實際上違背客觀實際，但其推理過程卻看似合情合理。數學中某個悖論的提出在很長時期困擾著一些數學家及數學愛好者，但在其不斷推理的過程中卻推動了數學的發展。如芝諾提出的“二分法”“追龜論”“飛矢不動”“二倍等于一半”四大悖論，其結果荒謬，但推理過程卻又似乎合乎邏輯，引起廣泛的爭論。

根據亞里士多德的記載，芝諾四個悖論的主要內容有以下幾點：

1.“二分法”悖論是指運動不存在。芝諾認為一位運動者要想從起點到達終點，在這一運動過程中，他必須要先走到原來路程的一半，才有可能抵達終點，而原來路程的一半還會有它的一半，這樣每個一半都有它的一半，如此類推下去，以至無窮，那么運動者連動也不能動。

2.“追龜論”是指阿基里斯（古希臘神話中跑步非常快的人）永遠都追不上他前方爬的較慢的烏龜。芝諾提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的烏龜，必須要先追到烏龜爬行的起始位置，每一次當他追到烏龜的起始位置，烏龜又爬到了下一個起始位置，周而復始，縱使阿基里斯速度很快，他卻永遠追不上烏龜。

3.“飛矢不動悖論”是指射出去的箭矢是不動的。芝諾介紹道，射出去的箭矢在某一瞬間，它占據著一個固定的位置，并且每一個瞬間它都占據著一個固定的位置。運動是位置的變化，而箭矢在飛出之后由于任何時刻都待在一個固定的位置，因而飛矢不運動即飛矢在每個時刻都是靜止的。

4.“二倍等于一半”：假定時空由最小不可分單位“瞬時”與“此地”組成有兩個物體，一物體在瞬時向左移一個單位，另一物體在這瞬時向右移動一個單位，這樣，在這瞬間兩物體相距了兩個單位。設問，當兩物僅僅相距一個單位距離時，它們經歷了多少時間呢？回答也只能是一個“瞬時”，結果導致“二倍等于一半”。

本文試圖對芝諾悖論中的“二分法”作一些簡要的剖析。

芝諾提出的“二分法”就是指出運動是不存在的，推理過程如下：

（a）時空可以無限分割。

（b）AB間存在中點C，AC間存在中點D，以此類推，以至無窮。

（c）為了從A到B，必須通過前面這些越來越小的差距，……■，■，■。

（d）有限的時間內不能通過無窮多個小的差距（這一點為芝諾那個時代的學者所認同）。

（e）運動者動也不能動。

由于（a）—（d）的推理過程是嚴密的，可以說是無懈可擊，由此可以嚴格地得出結論（e）運動者只能一動不動了。顯然結論是荒謬的，與芝諾同一個年代的隱士哲學家第歐根尼聽到芝諾這個闡述之后，一反常態，走出長期隱居的大桶，用行動來駁斥芝諾推理中的結論。可以很輕松地用行動反駁芝諾，可是卻不能用理論推翻這個結論。那問題出在哪里呢？在上述推理過程中，有兩個前提條件：第一個是（a），而（b）（c）是（a）的直接推論，如果（a）錯誤，則會推出芝諾的的另外兩個悖論即“飛矢不動”和“二倍等于一半”；第二個是（d），那問題應該就出現在這里，也就是說，在特定的條件下，有限的時間內是可以通過無窮多個越來越小的差距。假設運動者是勻速運動的，若他走完總路程一半的時間是t，那他走完余下一半路程的一半的時間是■，以此類推，運動者走完總路程的時間為：

T=t+■+■+■+…=t（1+■+■+■+…）

很明顯這是一個對無窮多項等比數列求和問題，可以利用等比數列求和公式求出“有限項”的和，然后再對其求和，由此可以求出精確值。即根據a1=1，q=■，可得前n項為：

Tn=■=2t（1-■）

對上式進行求極限可以得出：

T=■Tn=■2t（1-■）=2t

無窮多項的和竟然是有限數，這個式子將有限和無窮兩者辯證地統一起來。

無獨有偶，一百多年后在遙遠的中國，著名的思想家莊子在《莊子·天下篇》提出“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，可以看出他對無窮思想的認識非常深刻。整個分割過程實際上是構造了一個無窮遞減的等比數列：■，■，■，…■…，分割之前與分割之后的總長度是相等的，因而下面式子顯然成立；1=■+■+…+■+…

多么直觀、清晰地讓人們認識到無窮多項的和可以是有限數，然而若要求■+■+…+■+…的和，同樣可以通過先求有限項的和再取極限的方法得出精確值，但很難通過經驗或者直觀想象得出該式子的精確值。這也就是芝諾那個時代的學者公認為有限時間內不能通過無窮個小差距的原因。當然并不是所有的無窮級數之和都會等于一個有限數，這需要考慮級數的斂散性。如■+■+■+…的和不是等于有限數。

悖論的產生可能引起數學危機，但是通過解決數學危機得以促進數學的發展。本文通過對芝諾悖論中“二分法”的推理過程進行剖析及對“一尺之錘”的分割過程的分析，意識到不能人為地割裂有限和無窮之間的辯證關系。一個整體可以進行無限的分割，而進行無限分割之后的整體在特定的條件下又可以收斂。

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編輯 馮永霞