導數極值點偏移的相關問題分析

張德勇

【摘 要】隨著年級的遞增，學生所接受到知識的難度也在逐漸增長。在以往的數學教學中，函數的講解僅僅圍繞著未知數的個數以及相關圖形走向去開展。但是函數的難度不僅限于此，隨著導數的引入，函數的內容和角度逐漸的豐滿起來。不過，根據筆者多年的教學經驗，導數的一些基礎概念還是比較簡單的，唯一會出現問題的地方在極值的求取這方

面[1]。隨著導數學習的不斷深入，極值的求取不僅僅只是簡單的數字替換和圖形結合的問題，還會進一步拓展難度，增加極值的偏移問題。有難度就一定有問題的出現，根據歷年的教學情況來看，學生對于極值的偏移往往會抓不住重點，總結不出完善的解決方法，所以本文詳細分析導數極值偏移的相關問題。

【關鍵詞】極值點偏移;概念;分類;處理

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）22-0101-02

在歷年的考試中，導數的偏移問題往往會作為壓軸問題出現。因此，在日常的數學講授過程，導數極值點偏移問題的講解往往會占用大量的時間。究其原因在于學生對于導數極值點偏移的概念不熟、沒有完整的分類以及沒有完善的解題步驟。所以接下來，本文從這三個方面去進一步講解相關的知識。

1? ?極值點偏移的概念

對于極值點的偏移的講解，一定要從極值的概念說起。在函數不斷推廣的過程中，會逐漸的把公式和圖形結合起來，而相對應的在函數圖形凸起的部位會出現極值。其書上的大致定義為：函數f（x）在x0附近的所有點都有f（x）

上面講解了一下極值的概念，那么什么叫做極值的偏移呢？在數學上通俗的講，函數f（x）的頂點就是極值點，假如f（x）=c的兩個函數的根的中點是x₁+x₂/2，剛好等于極值點，也就是說極值點恰好處于函數兩根的中間位置，就說極值點沒有偏移。反之，如果極值點在兩個根的中點的旁邊就說，極值點有偏移。在右邊稱為右偏移，在左邊稱為左偏移。

2? ?極值點偏移的分類

對于不同的標準有不同的分類形式。以上的講解中，就有一種分類形式，即按照偏移來分類，分為左偏和右偏。不過，該種分類形式過于簡單，對于極值點偏移的解決沒有什么實際的效用，往往只能作為偏移概念講解給學生，對于實際問題并沒有深度的幫助。

那么根據極值偏移的處理方法來分，大概會分為兩種，其一為純偏移類型，其二為非純偏移類型。在以往的教學中，非純偏移的類型出現得比較少，在一定程度上教師會著重的關注純偏移類型的極值點問題。舉例來說，在已知函數f（x）=xe-x這個函數大題中，最后一步往往會出現證明題即：若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），試著證明x1+x2>2。這種問題基本上就是比較明顯的純偏移問題，在解決思路上也比非純偏移問題要容易的多。

總結來說在極值點偏移的分類問題上，一定要結合實際問題進行相關的分類講解。假如教師需要進一步講解極值點偏移的概念，那么應適當的應用左右偏移類型去拓展;換一個角度講，假如教師需要講解習題，那么還應該積極的去拓展純偏移和非純偏移類型的極值點偏移問題。只有結合實際情況去拓展相關的偏移類型，才能幫助學生解決相關的疑問，提高解決該類問題的能力。

3? ?解決極值點偏移問題的步驟

一般極值點的偏移問題基本上都會集中在純偏移類型上，那么在相對而言，純極值點偏移類型也會進一步成為教師講解的重點對象。近些年隨著教育要求的不斷提升，數學習題的難度也在不斷提高，以往對于偏移問題僅僅只做七八分的重點要求，現在需要進一步加深關注度，提升學生解決能力。

一般來說，純極值點偏移類型的問題大概需要五個解決步驟。首先，應該根據實際的問題進一步構造一元差函數即F（x）=f（x）-f（2x0-x）或者是進一步構造F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），促使偏移極值點在變化后的函數上能夠處于中間位置，便于實施下一步的開展[2]。緊接來說，應該對差函數進行相關的求導，在此基礎上判斷出導數的單調性，進而解決相關實際問題。然后要結合f（0）=0這個通俗的公式，進一步求出相關的未知數，并判斷出函數的符號，從而確定f（x0+x）與f（x0-x）的大小關系，為下一步做準備。然后進一步根據所得到的大小關系，仔細的分析f（x1）=f（x2）和f（2x0-x）之間的數量關系。最后，應該結合f（x）的單調性去判斷x1和2x0-x2是否為不等關系，假如是的話，就可以得到（x1+x2）/2與x0之間的關系。

總體來說，在純極值點偏移的實際問題中，學生要結合實際的數字和圖形去進一步觀察。以上的五個步驟不一定都能用的上，應該根據題型的不同去應用不同的步驟，力求解決極值點偏移問題。

在函數的學習過程中，隨著年級的不斷增加，其難度也在增加。尤其是導數和極值偏移問題結合在一起的時候，函數的解決方法就會呈現多樣性，不同的實際問題下所應用的解決步驟是不同。以上的闡述中，講解了五個基本解決步驟，不過學生在應用的時候應該酌情的去分析題目類型，做適當的增加，保證題目的準確性，在不斷熟練的過程中，提高解決該類問題的能力。

【參考文獻】

[1]邢有寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學數學教學參考（上旬），2014（7）.

[2]王曉.對極值點偏移問題的再探究[J].中學數學教學參考（上旬），2014（12）.

Analysis of the Relevant Problems of Derivative Extremum Shift

Deyong Zhang

（Sixian No. 1 Middle School， Suzhou， Anhui ， 234300）

Abstract：The more grades increase， the more difficulty? students learn knowledge. In the past mathematics teaching， the explanation of function only revolves around the number of unknowns and the trend of related graphics. But the difficulty of function is not limited to this. With the introduction of the derivative， the content and angle of function become more and more abundant. However， the author thinks that some basic concepts of derivatives are relatively simple， and the only problem is in the calculation of extremum from the many years teaching experience [1]. With the learning of the derivatives， the extremum calculation is not only a simple problem of figuresubstitution and graphics combination， but also increasing the shifting problem of the extremum deviation. Difficulties are bound to be problems. According to the teaching situation over the years， students often fail to grasp the focus of extremum deviation， and can not summarize perfect solutions. Therefore， this paper makes a detailed analysis of the relevant problems of the derivativeextremum shift.

Key words：derivative extremum shift; concept; classification; solving