妙用微元法，一葉之秋

徐瑾

【摘 要】由2013年高考全國新課標I理綜第25題從題目背景及考綱考點、能力立意，題目審析，解題步驟，思想方法，引申拓展這幾個方面進行分析，點出微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，進一步拓展說明妙用微元法，一葉之秋。

【關鍵詞】2013年高考全國新課標I理綜第25題;微元法;一葉之秋

【中圖分類號】G633.7 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）22-0257-01

2013年高考全國新課標I理綜第25題如下：

如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B.方向垂直于導軌平面。在導軌上放置質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系：（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。

接下來我將從題目背景及考綱考點、能力立意，題目審析，解題步驟，思想方法，引申拓展這幾個方面進行分析。

一、題目背景、考綱考點、能力立意

1.題目出處：2013年高考全國新課標I理綜物理必考部分第25題。

本題是根據豎直光滑導軌上的含電容器的單導體棒這一經典模型改編而成。豎直光滑改傾斜粗糙，物理情景復雜了許多。因此此題重視對經典模型的拓展對高中物理教學起到良好的導向作用。

2.考查的物理知識點及對應考綱要求如下：

電容器的電壓電荷量和電容的關系I滑動摩擦力I安培力、安培力的方向I

勻強磁場中的安培力II法拉第電磁感應定律II楞次定律II

牛頓運動定律II勻變速直線運動及其公式II功能關系Ⅱ

3.知識點聯系：上述考綱中的10個主干知識，各知識點被力和運動，功和能兩大主線聯系在一起。

4.能力立意：“顯性的是知識，隱性的是能力”此題考查理解能力、推理能力 、分析綜合能力、應用數學處理物理問題的能力。其中數學方法：微元法在此題中應用為解題的關鍵。此題為難題但設計有梯度又有較高的區分度，為高校選拔人才起到了很好的作用。同時，本題還體現出物理學式崇尚理性重視邏輯推理的一門科學，此題雖抽象但不是一味的應試教育，其實也是素質教育，讓學生們從中體會理性的美，事實求是的精神。

5.選此題的：（1）可有多種解法發散思維是考查分析綜合能力和推理論證能力的好題;（2）新課標試題物理難度降低，數學要求高，微元法在此題求解中妙用，一葉知秋。

二、題目審析

本題粗看感覺眼熟，讓學生有信心去完成答題，但細看后發現對能力要求較高體現了命題低起點高要求的特點。

第一個問（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系。

分析：棒下滑切割磁感線產生感應電動勢對電容器充電C、B、L以知，其中隱含條件：不記電路中所有電阻則U=E 則利用基本公式學生很容易作對，能得分。

第二個問（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系

學生能認識到解物理問題圍繞兩條主線一是力和運動二是能的角度

分析：法一動力學的觀點

此問需根據牛頓第二定律求出金屬棒下滑的加速度表達式，隱含條件：棒下滑過程，給電容器充電棒上有充電電流，有安培力。應叢電流和加速度的定義出發，研究金屬棒下滑過程中某時刻相關參量表達式

難點及關鍵：安培力的確定需分析電容器在時間間隔（t，t+△t）內增加的電荷量，微元思想的運用是求解此題的關鍵。推出結論：金屬棒做勻加速運動，然后后在由運動學公式得出所求。

學生對25題押軸題心存畏懼，類型又一改往年定勢，在有平時對這種含容電路有電流題加深練習的少，求解本題時不少考生不能用微元法寫出電容器充電電流的表達式，正確求出安培力，而錯誤的認為安培力為零得到錯誤結果。即審題不細誤解題意。一部分學生列完牛頓第二定律后對安培力無從下手。即悟之不透，思維不清。

解法二可從能量的轉化與守恒角度列出關系式，再用得出結果與勻變速規律類比從相識性得出遵守的共同規律。難點學生不易用微元法導出電容器儲存電能的表達式，此思路也就進行不下去了。

應對策略：進行審題解題訓練

1）結合題問，獲取信息——學會審題

2）知識遷移，解題建模——學會解題

三、解題步驟

第一問：1）解析：（1）設金屬棒下滑的速度大小為v，則感應電動勢為E=BL v ? ? ? ①

平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E ②

設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，按定義有C=QU ③

聯立①②③式得 Q=CBLv ? ? ?④

第二問：解法一：動力學觀點

金屬棒下滑過程中，由于電容器的充電，電路中有電流流過。設在

金屬棒下滑的△t（極短）時間里金屬棒加速度大小為a， 電容器積累的電荷量（通過金屬棒某截面的電荷量）為△Q，△Q=C△U ? ?△U =△E ? △E =BL△v （△v為△t時間里棒的速度變化量） 由電流強度定義通過金屬棒的電流 為i=△Q△t ?所以i=CBL△v△t=CBLa⑤，

金屬棒受到安培力方向沿導軌向上，大小為FA=BLi ⑥

金屬棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小為f2=μN ?⑦ 式中，N是金屬棒對于導軌的正壓力的大小，有N=mgcosθ ⑧

金屬棒在時刻t根據牛頓第二定律有 ? mgsinθ- FA- f2=ma ⑨

聯立⑤至⑨式得a=m（sinθ-μcosθ）m+B2L2Cg ?⑩

由⑩式及題設可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動。t時刻金屬棒的速度大小為v=m（sinθ-μcosθ）m+B2L2Cgt

微元法是高中對微積分的初步應用，當前微積分以引入高中數學教學，用微積分這種數學工具來分析處理變量問題是一種常見的方法。

解法二： 能量觀點

電容器在貯存電量的同時也貯存了電能，電容器帶電Q與其電壓U的關系如圖所示，電容器放電過程中電場力做功為W=12CU2

故電容器帶電時其電能為Ec=12CU2

本題中設棒運動時間t沿斜面下滑一段距離x，此時棒速度為v，由能量守恒定律有mgsinθx=μmgθx+12mv2+12C（BLv）2

則v2=2mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2x

與v2=2ax類比可知，棒做初速度為零加速度大小為a= mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2的勻加速運動，則t事刻棒的速度大小為v=at=mg（sinθ-μmg cosθ）m+CB2L2t

此法給人高屋建瓴之感式具有一定內涵的解法。

比較二種解法一微元法是學生最易接受的解法，高考備考復習還要落實基礎知識掌握最基本的解法。

四、物理思想方法

無論是解法一求安培力還是解法二求電容器帶電時的電能都要用到微元法。

微元法是高中物理中一個重要的思想方法。2006-2009在江蘇高考題中頻繁出現，尤其又在2013年高考全國新課標I理綜第25題閃亮登場讓它在我們的高考備考中的地位更為重要。

解題過程一般遵循：（1）先微元;（2）列微元方程;（3）累計求和或推出規律。

必修一必修二教材中體現舉例：第一章第3節正文講授瞬時速度的定義，對元過程求極限。第五章第1節正文講授曲線運動的切線的理解，對元過程無限逼近將割線變切線。

第五章第5節做一做探究向心加速度大小的表達式，對研究過程微元，利用幾何三角形與速度矢量三角形相似。第五章第6節正文講授一般曲線運動的處理方法，對過程微元，化曲線運動為圓周運動。第七章第4節正文講授重力做功與路徑無關，對過程微元后累加（化曲為直）。第七章第5節正文講授探究彈性勢能的表達式，對過程微元后累加（化變力為恒力。

除江蘇考題外微元法平時應用舉例：

例1. 微元法“化曲為直” ?W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…=F·2πR=2πFR

例2：整體對稱用微元

一個均勻的帶電圓環，帶電荷量為+Q，半徑為R，放在絕緣水平桌面上.圓心為O點，過O點作一豎直線，在此線上取一點A，使A到O點的距離為R，在A點放一檢驗電荷+q，則+q在A點所受的電場力為2kQq4R2，方向向上

解析：先把帶電圓環分成若干個小部分，每一部分可視為點電荷，各點電荷對檢驗電荷的庫侖力在水平方向上相互抵消，豎直向上方向上電場力大小為=kqQcos45°（2R）2=2kQq4R2

綜上，以上例子若從整體著手，便會有“山重水復疑無路”的痛苦，若運用微元思想就會有“柳暗花明又一村”的驚喜。妙用微元法，可一葉之秋。