把握教學關鍵 追求自然生長*
——初中數學關鍵教學點“平行四邊形的性質”教學思考

(列東中學,福建 三明 365000)

(三明市教育科學研究所,福建 三明 365000)

關鍵教學點是指在教學過程中，某知識內容范圍內一個根本的或核心的教學點，它在教學過程起到“奠基、示范、歸納、引領、啟迪”的作用[1].關鍵教學點是新舊知識的關鍵銜接點、培養數學能力的重要支撐點、發展核心素養的主要著力點.近期，福建省初中數學學科基地校工作會議在三明市列東中學召開，會議主題為“基于數學核心素養發展的關鍵教學點教學研究”，會議期間展示的研討課“平行四邊形的性質(第一課時)”(北師大版義務教育教科書《數學》八年級下冊第六章第1節)聚焦主題，得到了與會教師的熱議，也引發了筆者的進一步思考，現整理成文，與同行交流.

1 教學內容分析

《義務教育數學課程標準(2011年版)》對這部分知識內容的要求為：理解平行四邊形的概念；探索平行四邊形的中心對稱性質；探索并證明平行四邊形的性質定理.為此，教材首先通過展示一組實際情境中的平行四邊形圖片，引出平行四邊形定義，然后通過“做一做”探究發現平行四邊形是中心對稱圖形，在此基礎上，發現并證明平行四邊形的對邊相等、對角相等，最后安排一道例題鞏固性質的應用.從知識層面看，平行四邊形的定義和性質在幾何圖形的教學中起著承上啟下的作用，既是平行線和三角形等內容的應用和深化，也是研究平行四邊形的判定和研究特殊平行四邊形的基礎，同時，平行四邊形的性質又為證明線段相等和角相等提供了新的方法.從能力層面看，本節內容的學習要經歷觀察、猜想、驗證、推理等數學活動，實現文字語言、圖形語言、符號語言這3種不同形式的數學語言之間的相互轉化，有助于培養學生的抽象思維能力和邏輯推理能力，促進嚴謹思維習慣的養成.從思想層面看，在證明平行四邊形的對邊相等時，需要連接對角線，把“證明平行四邊形對邊相等”轉化為“證明兩個三角形全等”，這是學生在幾何學習中首次通過添加輔助線把四邊形問題轉化為三角形問題，滲透化歸轉化數學思想，這一研究方法為學生自主探究凸多邊形提供了策略上的示范.可見，平行四邊形的性質在教學中具有奠基、示范、啟迪的作用，是初中幾何中的一個關鍵教學點.

2 教學片段簡述

片段1創設情境，引入新課.

上課伊始，教師提出問題：在以往的幾何學習中，大家最熟悉的圖形是什么？隨后通過師生互動，梳理了三角形的知識體系，并讓學生體會：先研究一般三角形，然后著重研究等腰三角形、直角三角形等特殊三角形，這體現了從一般到特殊的研究思路.然后教師指出：從簡單到復雜是研究幾何圖形的另一種重要方法，從本節課開始就來研究更復雜的幾何圖形——四邊形，與學習三角形類似，重點來研究一些特殊的四邊形，并在黑板上漸次形成如下板書：

圖1

接著通過PPT出示一組含有平行四邊形的實物圖片，從中抽象出平行四邊形，引導學生類比研究等腰三角形的方法(概念—性質—判定)，明確也將從概念、性質、判定等幾個方面來研究平行四邊形，點明課題.

評注本節是“平行四邊形”這章教學的起始課.平行四邊形的性質是本節課的教學重點，但教師不只關注本節內容的教學，而且對三角形知識體系進行了梳理，通過類比讓學生明確研究四邊形的一般思路，讓學生感受幾何學習的“套路”，以防學生“只見樹木，不見森林”，讓學生在本章學習之初就能看到“森林”，厘清學習的脈絡.然后引導學生從實物中抽象出幾何圖形，加強圖形的直觀體驗，感受幾何圖形和生活的緊密聯系，激發學習的興趣.

片段2明確定義，畫圖操作.

小學階段已學過平行四邊形的定義，教師請學生回憶復述，但大部分學生無法準確敘述，教師直接給出定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.然后請學生根據定義畫出平行四邊形，教師再板演示范，并類比三角形，介紹平行四邊形的表示法、讀法，說明對邊、對角、對角線等概念.最后提出問題：能否用符號語言表示平行四邊形的定義？引導學生用符號語言進行表示.

評注平行四邊形的定義在小學階段已經學過，教師準確把握學情，精準定位教學起點，在回顧平行四邊形定義的基礎上,引導學生把定義的文字語言表述轉化為圖形語言和符號語言，注重3種語言的相互轉化，體現初中階段學習要求與小學階段的不同，培養學生的抽象思維能力.結合圖形認識平行四邊形的對邊、對角、對角線等元素，為后續教學做好準備.

片段3觀察探索，發現性質.

教師提出問題“可以從哪些角度來研究平行四邊形的性質”，從而引導學生可類比等腰三角形性質的研究，從對稱性、邊、角等方面來探究.

師：平行四邊形是軸對稱圖形嗎，是中心對稱圖形嗎？

生1：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.

師：能找出它的對稱中心嗎？

生2：對稱中心是對角線的交點.

教師通過幾何畫板演示驗證平行四邊形的中心對稱性.

師：平行四邊形的邊、角有什么性質？

生(眾)：對邊平行.

師：說得對!定義具有雙重性，是定義，也是平行四邊形的性質.平行四邊形的邊、角還有其他性質嗎？

生(眾)：對邊相等、對角相等.

師：你們是怎么得到的？

生3：剛剛幾何畫板演示中，旋轉180°后得到的新圖形與原圖形重合，就說明對邊相等、對角相等.

評注類比研究等腰三角形的方法，明確探究平行四邊形性質的角度，滲透研究新知的一般方法.教師把研究對稱性作為性質探究的切入點，是經過深思熟慮的，有助于引導學生自然發現平行四邊形的對邊相等、對角相等.然后在教師步步遞進的追問中，學生自主觀察、猜想得到性質，為學生提供自主探索發現的空間，經歷知識的生成過程，且思維流暢.

片段4推理論證，形成定理.

教師指出，前面通過動態演示發現平行四邊形對邊相等、對角相等，但要判定這兩個結論的正確性還要通過步步有據的推理.為此，提出問題“求證：平行四邊形的對邊相等”.

在學生結合圖形寫出已知、求證后，教師提出問題：應如何證明這個結論？

生4：連接對角線就可以.

師：為什么要連接對角線？

生4：可以得到兩個三角形，只要證明他們全等，就能證明對邊相等.

師：非常好！通過添加對角線，構造全等三角形，就將四邊形問題轉化為三角形問題了，這是我們解決四邊形問題常見的方法.

形成證明思路后，先由學生獨立完成推理證明，再通過講評規范證明過程.然后由學生完成“平行四邊形對角相等”的證明，鼓勵學生采用多種證法，體會“殊途同歸”的證明策略.最后引導學生用符號語言表示平行四邊形的性質.

評注通過性質定理的證明，學生對性質的認識由直觀感受上升到理性分析，把合情推理和演繹推理有機結合.在證明性質定理時，通過追問“為什么要連接對角線”，在學生理解得并不深刻、明白但尚未悟透之時，引導學生進一步思考，把思維引向深入，揭示問題的關鍵，真正領悟把四邊形問題轉化為三角形問題這一解題策略，滲透化歸轉化思想.

3 教學思考

3.1 研究學情，準確把握新知起點

很多重要的數學概念、數學知識在教材體系中都是采用逐級遞進、螺旋上升的方式進行安排的.教師在備課時，要細致了解學生的知識基礎，深入研究教學內容，準確把握新知的教學起點.就本節課而言，平行四邊形的概念在小學階段已經用文字的方式呈現過，還通過“量一量”的方式得出了平行四邊形對邊相等這一性質.到了初中階段，該內容的學習不是小學階段的簡單重復，在學習深度和廣度上都有實質性的提高.

本節課教師對新知起點的把握非常恰當，沒有花過多的時間用在定義的引出上，而是關注定義的符號語言表示方法，突出幾何學習中3種語言的互相轉化，注重抽象思維能力的培養.在探究“平行四邊形對邊相等、對角相等”性質時，本節課不再采用“量一量”的方法去操作發現結論，而是利用“平行四邊形是中心對稱圖形”這一性質直接得到，這也是緣于教師對知識起點的準確把握.有效的課堂教學應當把準學生發展之脈，努力逼近學生認知的最近發展區，在學生已有知識結構中尋找最近生長點，順應學生已有認識，著眼學生發展.

3.2 理解教材，聚焦教學關鍵問題

課堂教學經常會內容繁雜，涉及多個方面，這就要求教師要真正理解教材，準確定位教學目標，分清教學主次，聚焦教學的關鍵問題，避免面面俱到.“平行四邊形的性質”是初中幾何中的一個關鍵教學點，除了在知識上起到承上啟下的作用外，更重要的是，這里是初中階段首次通過添加輔助線把四邊形問題轉化為三角形問題，滲透化歸轉化思想，這種轉化策略在以后的數學學習上極為重要.然而，筆者多次聽過“平行四邊形的性質”公開課，不少教師都忽視了這一點.或許是因為本節課的這種輔助線方法學生比較容易想到，有的教師認為沒必要去作深入分析，或許有的教師根本沒意識到這是本節課教學的一個關鍵節點，導致一個很好的教學契機就此“滑過”.

在本節課的教學“片段4”中，當學生回答“連接對角線就可以”時，教師沒有因為學生思路正確就此放過，而是通過追問“為什么要連接對角線”直擊教學關鍵，通過學生的回答揭示數學本質，把隱含的思路顯化出來，讓部分還似懂非懂的學生真正悟透，體會深刻.過多的教學內容往往會干擾學生對主干知識、核心內容的掌握，我們在教學時，一定要突出主干內容，聚焦能力發展，培養核心素養.

3.3 注重“套路”，追求知識自然生長

高效的課堂，應能有效激發學生思維的積極參與，起承轉合自然流暢，知識自然生長，教師猶如在講述一個個美麗動人的故事，娓娓道來，讓人賞心悅目，學生在不知不覺中獲取新知，提升能力.

追求知識自然生長，本節課體現在兩個方面：其一，課堂不是直接進入平行四邊形概念和性質的學習，而是通過梳理三角形知識體系，通過類比讓學生明確研究四邊形的一般“套路”，然后再通過與等腰三角形類比，讓學生明確可從對稱性、邊、角等方面來研究平行四邊形性質，從宏觀上把握整個知識體系；其二，在平行四邊形性質探究過程中，通過“觀察—猜想—驗證—證明”這樣層層遞進的安排，從直觀體驗到理性分析，從合情猜想到演繹證明，吸引著學生的智力參與，積極思考，把思維引向深入，自主完成知識體系的建構以及數學思想的參透、研究方法的歸納.特別是教師先安排“平行四邊形是中心對稱圖形”這一性質的教學，然后順勢而為，為學生自然發現“平行四邊形對邊相等、對角相等”創造條件，兩個環節之間無縫銜接，過渡無痕.

日常課堂教學都應該有條清晰的主線，以此帶動知識的自然生長，讓學生的思維在課堂激蕩，使知識與技能、過程與方法、情感與態度等目標順利達成[2].