用途廣泛的分式方程

江蘇省灌南縣初級中學 孟 廣

新課程標準對方程與方程組的要求是：能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型……能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程.分式方程指分母中含有未知數的方程，它是刻畫現實世界的模型之一，現實生活中的一些問題，由于題中的數量關系不同，已知與所求不同，所列出的方程模型也有所不同，有時列出的方程就是分式方程.分式方程是相對于整式方程而命名的一類方程，它的解法與整式方程是有區別的.如何列分式方程解應用題呢？其主要步驟包括：（1）審清題意，弄清題中的已知、未知及相互數量關系；（2）設未知數，找出題中關鍵的未知量并設為字母；（3）列分式方程，根據反映應用題全部含義的等量關系，列出分式方程；（4）解分式方程，并檢驗整式方程的解是否符合分式方程和題意；（5）簡要地寫出答案.那么應用題如何列分式方程去解決呢？下面做一探討.

一、分式方程在行程問題中的應用

行程問題是最常見的一類應用題，在行程問題中，如果已知路程，及兩個行駛速度之間的關系，或兩個行駛時間之間的關系，求時間或速度時，需要列分式方程解決.一般需要根據行駛速度之間的關系列出代數式，或根據行駛時間之間的關系列出方程.

例1在“要致富先修路”的思想指導下，近幾年云南的交通有了快速的變化，特別是“高鐵網絡”延伸到云南以后，許多地區的經濟和旅游發生了翻天覆地的變化，高鐵列車也成為人們外出旅行的重要交通工具.假期里小明和爸爸從昆明到某地去旅游，從昆明到該地乘汽車行駛的路程約為800km，高鐵列車比汽車行駛的路程少50km，高鐵列車比汽車行駛的時間少5h.已知高鐵列車的平均時速是汽車平均時速的2.5倍，求高鐵列車的平均時速.

解析：根據“汽車行駛時間-高鐵行駛時間=5”列分式方程，

設汽車的平均時速為xkm/h，則高鐵列車的平均時速為2.5xkm/h.

經檢驗，x=100是原分式方程的解，且符合題意，則2.5x=250.

答：高鐵列車的平均時速為250km/h.

評注：列分式方程解應用題，得到整式方程的解之后，一定要檢驗，檢驗包括檢驗這個解是否是分式方程的解，以及是否符合實際意義.

二、分式方程在工程問題中的應用

工程問題也是一類較常見的應用題，當已知中沒有甲、乙兩隊單獨工作時間，只是已知它們單獨工作時間之間的關系，求單獨工作時間時，需要列分式方程，一般根據“各部分工作量之和=總工作量”來建立方程，根據“工作效率=”列代數式.

例2“村村通”公路政策，是近年來國家構建和諧社會，支持新農村建設的一項重大公共決策，是一項民心工程、惠民工程.某鎮政府準備向甲、乙兩個工程隊發包一段“村村通”工程建設項目，經調查：甲、乙兩隊單獨完成該工程，乙隊所需時間是甲隊的2倍；甲、乙兩隊共同完成該工程需30天.若甲隊每天所需勞務費用為2400元，乙隊每天所需勞務費用為1500元，從節約資金的角度考慮，選擇哪個工程隊更合算？

解析：根據“甲、乙合作的工作效率×合作工作時間=1”列方程.

設甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成需要2x天.

經檢驗，x=45是原方程的解，且符合題意，此時2x=90.

選擇甲隊所需費用為45×2400=108000（元），選擇乙隊所需費用為90×1500=135000（元）.

108000＜135000，則應該選擇甲工程隊.

答：鎮政府應選擇甲工程隊.

評注：本題采用間接設未知數的方法.要找到合算的工程隊，必須得到這兩個工程隊單獨工作時間，于是設單獨工作時間為未知數.當然在工程問題中，設單獨工作時間為x，也是一種常見的設法.

三、分式方程在銷售問題中的應用

在日常生活中，銷售是不可回避的話題，當已知銷售總價，及銷售數量之間的關系或單價之間的關系時，需要列分式方程解應用題，一般根據銷售數量之間的關系列出分式方程，或根據銷售單價之間的關系列出代數式.需要用到的數量關系是：數量=

例3某智能手機越來越受到大眾的喜愛，各種款式相繼投放市場，某店經營的青春版手機去年銷售總額為50000元，今年每部銷售價比去年降低400元，若賣出的數量相同，銷售總額將比去年減少20%.

（1）今年青春版手機每部售價多少元？

（2）該店計劃新進一批青春版手機和成熟版手機共90部，且成熟版手機的進貨數量不超過青春版手機數量的兩倍，應如何進貨才能使這批手機獲利最多？已知青春版、成熟版手機的進貨和銷售價格如表1：

表1

解析：（1）根據“去年的銷售量=今年的銷售量”列方程.

設今年青春版手機每部售價x元，則去年售價每部為（x+400）元.

經檢驗，x=1600是原方程的根，且符合題意.

答：今年青春版手機每部售價1600元.

（2）設今年新進青春版手機a部，則新進成熟版手機（60-a）部，獲利y元.

由題意得y=（1600-1100）a+（2000-1400）（60-a）=-100a+36000.

由成熟版手機的進貨數量不超過青春版手機數量的兩倍，得60-a≤2a，則a≥20.

y=-100a+36000，則k=-100＜0，則y隨a的增大而減小.

則當a=20時，y最大，為34000元.則成熟版手機的數量為60-20=40（部）.

答：當新進青春版手機20部、成熟版手機40部時，這批手機獲利最大.

評注：本題已知的數量關系有兩個，分別是銷量之間的關系、單價之間的關系，這兩個關系都可以用來列方程，只是當其中一個用來列方程時，另一個就用來列代數式.

四、分式方程在圖文信息問題中的應用

圖文信息題以其生動活潑的形式深受命題人的喜愛，它更符合日常生活的實際，其形式多樣，有表格型的，有對話型的，有圖示型的，它要求學生有較強的讀圖讀表能力，能從多方面提取信息，綜合信息解決問題，是對學生能力的綜合考查.

例4七（3）班開展“誦讀經典，光亮人生”讀書活動，小智和小慧同學讀了同一本480頁的名著.根據下面兩個人的對話，求小慧每天讀這本名著的頁數.

解析：根據“小慧讀書時間-小智讀書時間=4”列方程.

設小慧每天讀這本名著x頁，則小智每天讀這本名著1.2x頁.

經檢驗，x=20是原方程的解，且符合題意.

答：小慧每天讀這本名著20頁.

評注：在本題的對話情境中，小智與小慧的對話，分別揭示了他們每天讀書頁數之間的關系，及讀書天數之間的關系.這兩種關系均可用來列分式方程，另一種用來列出代數式.

五、分式方程在調配問題中的應用

分式方程在調配問題中的應用，是指調配后，題中兩種量的比例關系發生了變化，根據調配后兩種量之間的比例關系可以建立分式方程.需要注意的是，調配方法，即人員或貨物的調配方向，調走的就減去，調入的就加上.

例5“蘇寧電器”家電部送貨人員與銷售人員人數之比為1∶8，由于今年4月以來家電的銷量明顯增多，經理決定從銷售人員中抽調22人去送貨，結果送貨人員與銷售人員人數之比為2∶5，求這個商場家電部原來各有多少名送貨人員和銷售人員.

解析：根據“調配后送貨人員∶調配后銷售人員=2∶5”列分式方程.

設原來有x名送貨人員，則有8x名銷售人員.

經檢驗，x=14是原方程的解，且符合題意，

則8x=112.

答：原來有14名送貨人員，有112名銷售人員.

欲列方程解應用題，首先列代數式表示其中的一些量，在表示這些量時，較多地運用了“a=bc”型的數量關系，如路程=速度×時間、工作量=工作效率×工作時間、總價=單價×數量、總產量=畝產×畝數等.當我們使用乘法時，得到的方程一般為整式方程，當使用除法時，得到的方程一般為分式方程.要熟練掌握分式方程的應用，需要在不斷的刷題過程中積累數學經驗，逐步提高解決問題的能力.