從設而求之到設而不求

◎ 王琳琳

在數學中，有一種可以與“方程思想”比肩的思想方法——“設而不求”。從字面意思上也不難理解他們之間的聯系與區別：兩者皆需設未知量，不同的是前者需將未知量分別求解出來，后者則只是將未知量作為“溝通”的橋梁，無需費力求解。這種解題思路，給人耳目一新的感覺，同時也可感受到數學之美。

案例一：設“K”法的妙用

在代數學習中學生會經常碰到連等式和連等方程的題，解決此類問題的一大法寶是解設“K”法。在學習比例式中的等比性質的證明時，這種方法給了我們很多的啟示。

我們不妨可以這樣大膽地說，凡是出現這樣比例式的證明，設元時往往可以按比值設元，這體現了“化分為整”的數學思路，問題很快得到解決。

設“K”法非常靈活巧妙，在一些表面看上去無比例式的證明中也適用，例如：三角函數中的一道證明——如圖：在Rt△ABC中，已知，求∠A的其他三角函數值。

思路一：(利用三角函數之間的關系)。

思路二：(設K法)

比較兩種方法，前者容易想到，但是對于初學三角函數的學生來說，運算上要求高，容易出錯，而且公式的記憶也比較難，易出現偏差。后者運算量小，思維量也不大，也很好地體現了數形結合的思想。

對于同類型的問題，如果做適當的變化，設“K”法能收獲同樣的效果。例：如圖：將原題中添加一條AB邊上的中線CD，加一條件，CD=5，其余條件不變，則這個三角形可解。我們來試一試。

首先在上一題的解答中，三角的三角函數值可求，也即三個角可以表示出來，由于三角函數值不特殊，初中階段我們尚且不會這種表示方法。

我們再來看邊的求法。這里依舊可沿用設“K”法，∵CD=5，∴AB=10又

這些都是設“K”法的簡單應用，在初中數學中，它是一種簡單高效的方法。設K而不求K，體現了數學中的大智慧。

案例二：固定結構的化簡

在學韋達定理的時候，我們知道，對于一元二次方程ax2+bc+c=0，若Δ≥0，則方程有兩個實數根，不妨設為x1，x2，則有。

我們總結這類問題的求法，關鍵在于將式子整理成含x1+x2和x·1x2的結構，而無需將x1，x2各自求出，這也是“設而不求”的精髓所在。

這樣的例子不一而足。我們可以看到“設而不求”的解題思路實際就是立足于數學中的整體思想。這種重要數學方法和技巧的掌握對于整個中學階段的學習都有舉足輕重的作用。到高中解析幾何中的圓錐曲線中就經常要用到這種方法，它能在最大程度上優化解題思路，減少計算量，提高解題效率。可謂解題中不折不扣的“跳板高手”。