淺談高中數學中圖示列舉分析的思想方法

◎ 管尚忠

圖示列舉分析法就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地進行分類來解決問題的一種數學方法。數學中的一些題型通過滲透圖示列舉分析的方法，可啟發和培養學生思維能力。筆者在此利用“類比數形結合”的思想介紹一種有利于發展教學思維、培養學生能力的典型形式——圖示列舉分析法的數學思想。

一、用圖示列舉分析法進行討論的思想方法

1.為何使用圖示列舉分析法

許多數學問題由于受到某些因素的限制，例如概念的不同，性質的不同等，不能按照統一的方法、標準和公式進行處理。因此有些問題我們可以選擇圖示列舉的方法進行分析討論。如數學中的某些概念、定理、性質、法則、公式是分類定義或分類給出的，在運用它們時可以適當地加以圖示列舉分析。這樣可以樹立劃分意識，訓練思維的嚴謹性，保證解題的正確與完整。

2.靈活運用圖示列舉分析的思想方法

(1)可通過“補集”間接求解；

(2)有條件時，減少分類尋求整體解決。

二、圖示列舉分析法在高中數學中的應用

1.推理中的圖示列舉應用

例如：甲、乙、丙、丁四位學生一起去向教師詢問數學競賽的成績。教師說“：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績。”看后甲對大家說“：我還是不知道我的成績。”根據以上信息，則誰可以知道自己的成績？

解：可以圖示分解如下：

由題意知甲說不知道自己成績即他看的乙丙一優一良，意味著甲跟丁也是一優一良。所以，乙和丁知道自己的成績。

2.映射和計數原理中的圖示列舉分析

例如：已知集合 A={a1，a2，a3}，集合 B={b1，b2}，則集合 A 到集合 B 能構成多少個不同的映射？

解析：如圖示：

集合A中的每個元素在B中都有2個不同的的對應關系，所以由分步計數原理得 N=2×2×2=23=8。

由此，通過列舉和圖示可知，由A中的元素選擇對應B中的元素，我們可以得出一般性的結論：若一輛公交車上有n個人，途經m個站點，則他們總共不同的下車方式有：N=mn種。即把結果看成是冪的形式，其中主選元素的個數作為指數，被選的元素個數作為底數。

則把這種計數原理歸納為：人選車站計數原理應用：某人有3個不同的電子郵箱，他要發5封電子郵件，則發送的方法種數為N=35=243。(看作：5封電子郵件選擇3個郵箱發送)

3.排列組合等問題中的圖示列舉分析

有約束條件的排列組合問題，通過圖示列舉，問題變得更簡單、思路更清晰。

例如：由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，且1，3都不與5相鄰的六位偶數共有多少個？

解析：依題意，按照題中的特殊元素1，3，5進行恰當地劃分為兩類：如圖示一類：1，3相鄰，但它們不與5相鄰(1，3相鄰作為一個元素與5插空)有

二類：1，3，5 三個都不相鄰(1，3，5 三個元素插空)有

∴六位偶數共有N=N1+N2=108(個)

4.在綜合信息的題型中尋求圖示列舉分析的方法解決

縱然在高考中會給出一些信息綜合題，但都離不開使用已學習過的知識點進行推理，加以圖示列舉的分析使問題簡單化，起到事半功倍的效果。

例如：定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，……，ak中0的個數不少于1的個數。若m=4，則不同的“規范01數列”共有多少個？

解析：依題意，{an}共有2m項，其中0的個數與1的個數各占一半。即當 m=4 時，a1，a2，a3……，a7，a8中 0 的個數與 1 的個數各有 4 個，且必有 a1=0，a8=1。

分析：①首項為0，末項為1，留中間六個空位可以一字排如圖示：

②考慮 a1，a2，a3不符合要求的，如

③考慮 a1，a2，a3，a4，a5不符合要求的，如下圖示，又因為 a8=1，故 a6，a7只能為0，即N3=2個

所以“，規范01數列”共有N=N1-N2-N3=20-4-2=14種。

數學題目是非常靈活的，做數學題時最重要的是學會方法。所以，筆者在這里闡述的圖示列舉分析思想方法，也是針對在解決數學問題中遇到的困難而提出的。其實很多種方法都是融會貫通、相互滲透的，雖然有時候圖示列舉分析思想方法也不一定是最好的辦法，但有些題目可能通過圖示列舉分析思想方法會使復雜問題更加簡單化。當然，最重要的是懂得活學巧用，具體問題具體分析，這樣做起來才會不吃力，才會游刃有余，使困難的數學問題變得更加容易。