圓錐曲線中的研究性學習案例

孔蕾

（江西省德興市第一中學，江西 上饒 334200）

在中學數學教學中，學生學習圓錐曲線知識，可以培養學生的思維和邏輯能力，為今后的數學學習打下堅實的基礎[1]。所以，在圓錐曲線教學中，根據橢圓、雙曲線、拋物線知識作為教學思路，并在教學中融入生活情景教學模式，讓學生在實際生活情景中，有利于掌握圓錐曲線知識。而且，為學生營造輕松活躍的課堂環境，引導學生進行探究性學習，并結合實際案例為圓錐曲線教學提供參考依據。在下文中，對研究性學習案例進行分析。

一、拋出問題

在進行圓錐曲線教學時，許多知識都可以解決生活實際問題，所以教師應利用該知識與生活實際應用之間的關系，引導學生在課堂教學中，對具體問題進行研究，讓學生在研究問題過程中，激發學習的興趣，并鍛煉學生分析、解決問題的能力。在講解拋物線知識時，筆者想學生提出以下問題：

（1）拋物線方程為x2=2y，一個圓的圓心正好在y軸的正半軸上，解答該圓的半徑r為多少？若r在什么范圍內，拋物線與圓發生相切，而相切位置坐標為多少？

（2）在拋物線x2=2y上，有一個定長為3的線段在移動，AB兩端分別在拋物線上，假設在AB的中點為M，解答點M到x軸最短距離為多少，并解答M點的坐標。筆者在講解該問題時，為學生創設情境環境，讓學生在情景環境內，更加直觀形象的解答該問題。筆者使用大小相同多個橢圓形酒杯、拋物線酒杯以及圓錐形酒杯，同時使用大小和長度不同的細棒，模擬線段AB在拋物線上移動過程。學生在看完教師的操作后，筆者將學生分成不同的小組，讓學生在小組內模仿教師的操作過程，使學生直觀的理解線段在拋物線上移動的過程。

二、問題的提出

學生在情景教學下解答問題時，教師向學生提出以下問題：將規格不同的玻璃球，長度不同的細棒，放入到橢圓形、拋物線形、圓錐形酒杯內，圓球和玻璃棒在杯中的位置關系是什么樣的。學生根據問題，會做出如下回答：一，不同規格的圓球會在酒杯底部保持相切的狀態；二，細棒會水平的保持在酒杯中；三，細棒可能會斜放在酒杯中。教師根據學生的回答，引導學生進行實際操作，讓學生通過試驗找到問題的答案。

三、問題的分析

在對問題分析時，筆者通過學生的操作，引導學生對試驗過程進行分析，要求學生將試驗觀察到的結果進行介紹，學生做出如下回答：玻璃球會與酒杯保持在相切關系，而細棒會斜放在酒杯內部和杯壁上。根據學生的回答，教師向學生提出，在現有的知識內，玻璃球為什么會與酒杯相切，在底部和杯壁上相切的條件是什么？學生根據教師提出的問題，對酒杯的杯口寬度、酒杯深度進行測量，拋物線形酒杯杯口寬4cm，酒杯深度為4cm；橢圓形酒杯杯口寬度為3.6cm，酒杯深度為9cm，中間位置寬度為6cm。通過對酒杯的測量發現，教師引導學生通過測量，可以為解決提出的問題有哪些作用。學生根據教師提出的問題，通過分析后回答教師的提問。

四、問題的探索

在解答該數學題目時，筆者通過對玻璃球在拋物線形酒杯內的情況進行分析，將杯底作為直角坐標系的原點，根據方程x2=2py可知，在點（2，4）上，根據拋物線方程可知，p=12。將圓的圓心設在y軸的正半軸上，并且圓通過坐標原點可知，方程為x2+（2yr）2=r2，將該方程帶入到拋物線方程內，得出y1=0，y2=2r21，而且為滿足玻璃球接觸到酒杯底部，r的范圍為0＜r ≤ 12cm。

五、問題的深入

在完成問題的解答后，筆者引導學生對細棒在酒杯中的情況進行深入的研究。如果將2cm粗細均勻的細棒放入在酒杯內，如果細棒在酒杯內保持平衡，該細棒會在酒杯內的什么位置。在對這個問題解答時，學生可以采用物理知識解答，由于細棒保持在平衡狀態，細棒的中心點應處在最低位置，線段AB中點M到x軸的距離應為最短。

六、回顧與反思

（一）過程與方法

在進行該知識點講解時，先圍繞圓的定義可知，在平面內兩個定點距離比在不等于1的情況下，引導學生對到兩個定點的距離和或差等于常數的點的軌跡進行探究，隨后將橢圓與雙曲面的知識引入到拋物線的概念中，進而講解橢圓、雙曲線的第二定義。

（二）傳統與創新

在對三種圓錐曲線概念講解時，傳統的教學思路是按照橢圓、雙曲線、拋物線的思路進行講解，逐一解決每個知識點問題。但是，傳統的教學方法不會培養學生的探究性學習能力。根據新課程教育改革標準，對教學方法進行創新改革，讓學生在生活實際問題中，培養學生自主學習、主動探究以及合作交流等學習能力，有利于學生掌握和理解該知識點。而且，將計算機技術引入到教學中，讓學生在電腦演示的輔助學習過程中，更加直觀的學習該知識點，進而提升課堂教學質量和效率[2]。

（三）問題與不足

在課堂教學中講解該知識點，配合電腦教學，使用幾何畫板等軟件，可以提升教學質量和效率。但是，許多教學資源匱乏的學校，學生無法通過計算機的方式學習該知識。因此，教師在教學中通常作為主導者，向學生講解該知識。如果在教學中，組織學生進行自主探究學習，既能鍛煉學生的動手能力，還能讓學生理解和掌握該知識點更加深刻，可以在該知識點講解時，符合新課程教育改革的要求[3]。

結束語：

綜上所述，在進行圓錐曲線知識教學過程中，教師可以采用提問的教學方式，引導學生進行研究性學習，并在教學中引入生活實際物體，讓學生自己動手操作，使學生在實際動手操作中，掌握和理解該知識點。另外，學生在對教師提出的問題進行探究時，教師可以融入其它學科的知識，讓學生增加解題思路，進而提升解題效率。而且，在教學中可以引入計算機技術作為輔助教學工具，通過計算機的展示，讓學生在生動形象的講解中，學習到該知識點的重點內容。