二次函數(shù)最值性質(zhì)的應(yīng)用

浙江省寧波市鄞州藍青學校 王科娜

在生產(chǎn)、科研和生活中，我們總想用最少的人力、物力、時間等來完成更多的事，收獲最大的效益，管理學把此稱為生產(chǎn)者利益的最大化和消費者效用的最大化，從數(shù)學的角度看就是最優(yōu)化問題，即在特定條件下求解目標函數(shù)的最大值或最小值.早在2000多年前，歐幾里得就指出，在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積最大，隨著科技的進步與生產(chǎn)經(jīng)營的發(fā)展，最優(yōu)化方法已被廣泛應(yīng)用于社會生活的各個領(lǐng)域，發(fā)揮著越來越重要的作用.初中階段學習的二次函數(shù)就是解決最優(yōu)化問題的一種工具，利用其最值的性質(zhì)可實現(xiàn)成本的最小化、利潤的最大化，求得線段的最小值、面積的最大值等.

一、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最大利潤

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為當a＞0時，函數(shù)有最小值，此時；當a＜0時，函數(shù)有最大值，此時當然求二次函數(shù)的最值也可以將其配成頂點式y(tǒng)=a（xh）2+k，當a＞0時，函數(shù)有最小值y=k，此時x=h；當a＜0時，函數(shù)有最大值y=k，此時x=h.利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最大利潤，是中考較常見的題型，主要考查學生根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實際問題，體現(xiàn)了新課程標準中“特別注重發(fā)展學生的應(yīng)用意識”的要求.

例1（2018·揚州改編）漆器是揚州的一大特色，揚州一網(wǎng)店專門從事一品牌的漆器筆筒銷售，其成本是30元/件，每天銷售的數(shù)量y與銷售的單價x存在著一次函數(shù)關(guān)系，如圖1所示.

圖1

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)籌劃一天漆器筆筒的銷售量大于或等于240件，當銷售單價為多少元時，其獲取利潤最大？最大利潤是多少？

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖像上兩個已知點的坐標，用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)一天漆器筆筒的銷售量不低于240件，可得自變量x的取值范圍，根據(jù)總利潤=每件利潤×件數(shù)，建立二次函數(shù)關(guān)系式，并將其配成頂點式，結(jié)合自變量的取值范圍求函數(shù)的最大值.

解：（1）根據(jù)題設(shè)可知：解得則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+700.

（2）由題意得-10x+700≥240，解得x≤46.

設(shè)利潤為w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，則拋物線開口向下，對稱軸為直線x=50，在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，即x＜50時，w隨x的增大而增大.又x≤46，則當x=46時，w最大=-10（46-50）2+4000=3840.

答：當銷售單價為46元時，每天獲取的利潤最大，最大利潤是3840元.

點評：在實際問題中，二次函數(shù)的最值還受實際情況的限制，要結(jié)合實際情況中自變量的取值范圍求最值.二次函數(shù)在自變量m≤x≤n的范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖像是拋物線的一段，最高點的縱坐標即為函數(shù)的最大值，最低點的縱坐標即為函數(shù)的最小值，根據(jù)自變量的范圍，拋物線上所取的形狀各異，下面是一些常見的情況：

圖2

二、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最小面積

二次函數(shù)最值性質(zhì)不僅可以確定銷售問題中的最大利潤，而且可以確定幾何圖形中最小面積，此時這個幾何圖形的面積往往可變，其原因是控制圖形的某些頂點是動點，故此類問題常與動點問題結(jié)合，其理念符合課程標準“發(fā)展學生空間觀念”的要求.

圖3

例2如圖3，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，動點M從點A開始出發(fā)，以1cm/s的速度沿著邊AO向其終點O移動，動點N從點O開始出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊OB向終點B移動，一個點到達終點時，另一個點也停止運動.如果M、N兩點分別從A、O兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts 時四邊形ABNM的面積為Scm2.

（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；

（2）判斷S有最大值還是有最小值，并求出這個值.

分析：（1）首先用含t的代數(shù)式表示OM、ON，然后根據(jù)“四邊形ABNM的面積”=△AOB的面積-△MON的面積”，可建立S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)線段OA、OB的長與點M、點N的運動速度，可得自變量的取值范圍；（2）可利用配方法把一般式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)解答.

解：（1）由題意得AM=t，ON=2t，則OM=OA-AM=18-t.

由四邊形ABNM的面積=△AOB的面積-△MON的面積，得

由題意得點M到達點O需要18s，點N到達點B需要15s.

因為M、N兩點分別從A、O兩點同時出發(fā)，一個點到達終點時，另一個點也停止運動，所以t的取值范圍是0＜t＜15.

（2）S=t2-18t+270=t2-18t+81-81+270=（t-9）2+189.

由a=1＞0，得S有最小值，這個值是189.

點評：二次函數(shù)取最值時對應(yīng)的自變量的值，恰好在t允許的范圍內(nèi)，所以二次函數(shù)y=a（x-h）2+k中最值k就是符合題意的最值，此種情況符合圖2中的第三個圖像.另外，對于幾何圖形中線段長、圖形面積的和差關(guān)系，需要通過觀察圖形得到，解答時要結(jié)合圖形.

三、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定線段最大值

中考壓軸題常為二次函數(shù)搭臺，幾何圖形唱戲，所涉及的問題類型較多，其中求線段長、三角形周長、三角形面積等問題，都可歸結(jié)為求線段長的最值問題，解決這類問題需要設(shè)出點的坐標，用坐標表示對應(yīng)線段的長，建立二次函數(shù)關(guān)系式求線段長的最值，需要運用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想去觀察和思考問題.

例2如圖4，對稱軸為直線x=-1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（-3，0）.

圖4

（1）求點B的坐標.

（2）點C是拋物線與y軸的交點，點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值.

分析：（1）由對稱軸的方程與點A的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性可得出點B的坐標；（2）首先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，進而求得直線AC的解析式，設(shè)出點Q的坐標，表示點D的坐標，利用QD的長就是它們縱坐標的差，建立二次函數(shù)關(guān)系式，進而求出最值.

解：（1）由點A（-3，0）與點B關(guān)于直線x=-1對稱，得點B的坐標為（1，0）.

（2）由拋物線過點（-3，0），且對稱軸為直線x=-1，得解得則拋物線的解析式為y=x2+2x-3，且點C的坐標為（0，-3）.

圖5

如圖5，由于點Q是線段AC上的動點，所以可設(shè)點Q的坐標為（x，-x-3），且-3≤x≤0.

由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D與點Q的橫坐標相同，點D的坐標滿足拋物線y=x2+2x-3，則點D的坐標為（x，x2+2x-3）.

由點Q在點D的上方，得QD=-x-3-（x2+2x-3）=-x2-

點評：如果點A在直線y=kx+b上，那么可設(shè)點A的坐標為（x，kx+b），如果點B在拋物線y=ax2+bx+c上，那么可設(shè)點B的坐標為（x，ax2+bx+c），這種設(shè)坐標的方法可以將動點的坐標用代數(shù)式表示出來，便于用點的坐標表示線段的長.同時與y軸平行的豎直線段的長，就用上面點的縱坐標減去下面點的縱坐標，與x軸平行的水平線段的長，就用右邊點的橫坐標減去左邊點的橫坐標.

函數(shù)最值問題的實際應(yīng)用，具有物理、幾何、經(jīng)濟學等方面的研究價值，通過判定最大值或最小值的變化情況，可為日常生活帶來優(yōu)化經(jīng)濟效益、減少成本等實際作用，讓函數(shù)最值問題運用到實際生產(chǎn)、生活中，以實現(xiàn)其實際意義，這是函數(shù)最值推廣的根本出發(fā)點.