習(xí)題教學(xué)中讓學(xué)生參與題目變式的嘗試

袁文平

【摘要】根據(jù)荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的觀點(diǎn)“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生.因此，我們在教學(xué)中可以試著讓學(xué)生成為改編的主體，讓學(xué)生真正成為題目的改編者，甚至創(chuàng)造者.

【關(guān)鍵詞】習(xí)題教學(xué);變式;改編;模型;經(jīng)驗積累

在平時的習(xí)題變式教學(xué)中，教師們慣用的是“題目—變式訓(xùn)練”模式，而變式的主體是教師，也就是教師本人將題目原型進(jìn)行變式，再讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，進(jìn)而達(dá)到鞏固的目的.做變式訓(xùn)練題，毫無疑問，學(xué)生是喜歡的.如果學(xué)生成為題目的改編者，那么是不是更有味道呢？對于這類嘗試，我通過長期的教學(xué)實(shí)踐，取得較好的效果.我以浙教版教材中的一道習(xí)題和資料中的一道習(xí)題為例，大膽進(jìn)行了讓學(xué)生參與題目變式的嘗試，下面來談?wù)勛约旱囊恍┦斋@與感想.

一、一道教材習(xí)題引起的改編大潮

1.教材習(xí)題展示

浙教版八年級（下）數(shù)學(xué)教材95頁中有這樣一道題目：如圖1，已知E，F(xiàn)分別是ABCD的邊BC，AD上的中點(diǎn)，求證：AE=CF.

題目分析：本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，對于這道題的證明比較容易，這里就不詳談了.這道題可以通過改變E，F(xiàn)的位置進(jìn)行變式，從而引發(fā)學(xué)生思考.

2.追問引發(fā)新思考

教師追問：請大家判斷四邊形AECF的形狀.

學(xué)生：平行四邊形（回答并證明）.

教師：對于這一題，大家發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E和點(diǎn)F是比較特殊的：E，F(xiàn)分別是ABCD的邊BC，AD上的中點(diǎn).那么，同學(xué)能否變動E，F(xiàn)的位置，使得四邊形AECF仍然是平行四邊形呢？（引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，逐步思考，一共衍生出了如圖所示的幾種情形）

學(xué)生1：如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且BE=DF.

學(xué)生2：如圖3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是∠BAD，∠BCD的平分線與ABCD的邊的交點(diǎn).

學(xué)生3：如圖4，AE⊥BC于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F.

學(xué)生4：如圖5、圖6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對邊的延長線上，滿足：BE=DF.

3.層層推進(jìn)，思維再度提升

教師：在上面的問題中，點(diǎn)E，F(xiàn)在平行四邊形的對邊上，能否將之移到對角線上呢？如圖7，連接ABCD的對角線BD，我們在BD上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CE，AF，CF.當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)滿足什么樣的特殊位置，使得四邊形AECF是平行四邊形呢？

受前面的啟發(fā)，學(xué)生層層遞進(jìn)，逐步思考，又一共衍生出了如圖所示的幾種情形.

學(xué)生1：如圖7，AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的平分線.

學(xué)生2：如圖7，當(dāng)∠DAF=∠BCE.

學(xué)生3：如圖7，AE∥CF.

學(xué)生4：如圖7，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F.

學(xué)生5：如圖8，E，F(xiàn)在線段BD兩端的延長線上，且BE=DF.

以上這些學(xué)生的猜想都是正確的，也有一些學(xué)生提出的是命題不正確的，例如，圖7中，AE=CF.通過學(xué)生命題，然后學(xué)生質(zhì)疑，這也是一種非常好的教學(xué)手段.對于圖8，還有學(xué)生提出更多的猜想，例如：AE∥CF，也可使得四邊形AECF是平行四邊形.

以上這些變式題目的產(chǎn)生，實(shí)際上結(jié)合了教材和作業(yè)本中多道題目.這些變式題使得題目、知識更系統(tǒng)化，能起到舉一反三、觸類旁通的作用，更有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

二、高階思維的碰撞，改出經(jīng)典

1.例題展示

如圖9所示，△ABC中，過點(diǎn)A分別作∠ABC，∠ACB的外角平分線的垂線AD，AE，D，E為垂足.

求證：

（1）ED∥BC;

（2）ED=12（AB+AC+BC）.

題目分析：很明顯，本題有“角平分線+垂線=等腰三角形”的模型，因此，如圖10，分別延長AD和AE與直線BC分別交于點(diǎn)G，H，則△ABG和△ACH都是等腰三角形，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得DE是△AGH的中位線，故第（1）小題得證.對于第（2）小題，AB=BG，AC=CH，所以AB+AC+BC=GH，由中位線定理即可得證.

2.橫向聯(lián)系，引導(dǎo)改編

改編1：

在教學(xué)中，我讓學(xué)生思考，能否將本題進(jìn)行改編.由于沒有方向，學(xué)生自然不知道如何改編，所以改編本題，要么改編題目，要么改變圖形.于是，我引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)審題，注意題目中的“兩外角”的平分線，一學(xué)生隨口提出，把“兩外角”改成“兩內(nèi)角”，就在他這一聲提示下，學(xué)生紛紛畫圖，得到如下的圖形（圖11）.

畫好后，有學(xué)生提出疑問，原題中的結(jié)論還成立嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析：方法類似，延長AD和AE，交BC于點(diǎn)G，H，則可證CA=CH，BA=BG，DE是△AHG的中位線，所以結(jié)論（1）：ED∥BC.結(jié)論（2）變?yōu)椋篋E=12HG=12（BG+CH-BC）=12（AB+AC-BC）.

非常有意義的一個結(jié)論，讓學(xué)生來改編題目比解題的效果更好，學(xué)生更容易找到成就感！

改編2：

教師：兩外角平分線和兩內(nèi)角平分線已經(jīng)解決了，同學(xué)們就沒有其他的想法嗎？

學(xué)生：一內(nèi)一外的角平分線！

教師：那么一內(nèi)一外的角平分線的情況下又有什么樣的奇跡誕生呢？請仿照上面的改編完成你們的猜想吧！

類似于上面的探究，如圖12，結(jié)論（1）：DE∥BC.

結(jié)論（2）：DE=12HG=12（BC+CH-BG）=12（BC+AC-AB）.

以上兩個改編，完全可以當(dāng)作考試題型出現(xiàn)，也是比較常見的題型.

三、反 思

讓學(xué)生來參與題目變式，類似于近期比較火熱的“學(xué)生說題”，但又不同于說題，這是所有學(xué)生都能參與的正常的教學(xué)活動，有利于發(fā)展學(xué)生的思維高度和廣度，更能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.那么，在平時教學(xué)中應(yīng)該注意些什么呢？

1.注重發(fā)散思維的訓(xùn)練

發(fā)散性思維的培養(yǎng)是素質(zhì)教育的核心.培養(yǎng)這種思維能力，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性、求異性、創(chuàng)新性.因此，我在教學(xué)中注重加強(qiáng)對學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)，有意識、有步驟地擴(kuò)大思路，讓學(xué)生從多角度思考問題，從而達(dá)到訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的目的.

2.注重數(shù)學(xué)基本模型的積累，滲透核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)的一部分，數(shù)學(xué)模型的類型也有很多，本文所說的模型是指一些基本圖形.例如，片段二中就用到了“角平分線+垂線=等腰三角形”的模型，再如，三角形全等、相似的一些基本模型等.幾何綜合題往往因為圖形結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化而成為學(xué)生的一類難題，但是，如果在解題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的幾何圖形分解成一個個簡單的基本模型，學(xué)生就能快速找到解題的突破口.例如，在片段二中，學(xué)生能捕捉到“角平分線以及角平分線的垂線”這一信息，那么可以快速找到本題的解決方法.

3.引導(dǎo)學(xué)生做一個喜歡研究題目，善于總結(jié)的學(xué)生

在日常的解題教學(xué)中，我們要選取一些經(jīng)典的試題作為素材，通過弱化或者強(qiáng)化題目條件、改變圖形、聯(lián)想等方式，巧妙地產(chǎn)生新問題.教師只有在課堂上善于發(fā)現(xiàn)新問題，善于思考題目，善于改編題目，才能引導(dǎo)學(xué)生，并激發(fā)學(xué)生的積極性，從而讓學(xué)生的思維活躍起來，使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感！

【參考文獻(xiàn)】

[1]邵子軒. 例談解題教學(xué)中的模型延伸[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（08）：36-39.