關于教材中三角形有關內容探索活動的設計研究（三）

劉憲升

[摘要]在通過折疊拼成平角驗證三角形的內角和的驗證方法的教學實驗中得到：折疊銳角三角形紙片比折疊其他形狀的三角形紙片容易;展示折疊結果或折疊過程及結果對學生有幫助，比起展示銳角三角形，展示直角或鈍角三角形的折疊結果或折疊過程及結果對學生的幫助更大;而折疊帶有折疊線的三角形紙片，除個別學生外都能折疊成功，失去了探究的意義。針對以上現象，對驗證方法的完善給出了相應的建議。

[關鍵詞]三角形;內角和;猜想;驗證

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0012-05

一、問題的提出

研究（二）對教材中設計的“三角形內角和等于180°”的探究活動做了分析。文中指出，通過折疊將三個角拼成平角的驗證方法，如在三角形紙上不畫出折疊的虛線，則具有較強的技巧性和較高的難度，易讓學生對數學產生畏懼心理;若畫出折疊的虛線，則又變成了機械式的操作活動，失去了探究的意義。其實，這些結論不僅來源于分析，更重要的是來自筆者的教學實驗。本文就對教學實驗及結果做逐一分析。

二、實驗方法

1.樣本的選擇與分布

以青島西海岸新區某學校兩位教師所教四年級4個班（1班、2班、3班、4班）的學生作為研究對象。在升入四年級前的暑假，該校根據學生三年級的成績重新分班，故各班情況沒有明顯的差異;另外，對四年級上學期期末四個班的數學成績進行數學統計檢驗后發現，各班之間也沒有顯著性差異。因此，所選樣本具有較強的代表性。再者，為便于比較研究和提高課堂效率，各班均按學生學號最后兩位數除以3，余數相同的歸為一個小組，各組分別抽取不同形狀的三角形紙片，根據三角形紙片的形狀，將三組簡記為：銳角組、直角組、鈍角組（各班各組人數分布見表1）。

2.實驗的實施

教學按正常的教學計劃，于2019年4月23日在四個班進行。為避免學生課堂上看教材或個別學生提前預習教材影響實驗結果，在2019年4月19日放學時就把學生的教材收了上來，發給學生學案，以代替教材。當課堂上提出“三角形的內角和等于180°”的猜想后，緊隨其后的是以下折疊操作驗證（下面簡稱“測試”）。

測試1：給各組學生每人發一張對應形狀的三角形紙片，即銳角、直角、鈍角組分別發圖1、圖2、圖3所示的三角形紙片，讓學生進行折疊。

測試2：給各組學生按測試1的要求每人發一張對應形狀的三角形紙片，讓學生進行折疊，并據研究需要進行展示：

（1）在多媒體屏幕上展示銳角三角形的拼成結果圖（圖4）;

（2）在多媒體屏幕上展示直角三角形的拼成結果圖（圖5）。

測試3：按測試1的要求，給各組學生每人發一張對應形狀的三角形紙片，讓學生進行折疊，并據研究需要進行展示：

（1）在多媒體屏幕上展示銳角三角形的折疊過程及拼成結果圖（圖6）;

（2）在多媒體屏幕上展示鈍角三角形的折疊過程及拼成結果圖（圖7）。

測試4：給測試班各組學生每人發一張帶一條折疊線的對應形狀的三角形紙片（圖8），讓學生進行折疊。

測試5：給測試班各組學生每人發一張帶三條折疊線的對應形狀的三角形紙片（圖9），讓學生進行折疊。

說明：（1）測試要求學生把三角形紙片通過折疊（不準撕，也不準剪）將三角形三個內角拼在一起，看能不能拼成平角;

（2）為了提高課堂效率，盡可能通過測試比較發現影響折疊成功與否的因素，也為避免不同班間的差異，將題目搭配成四組（每組3題），再讓四個班與四組題進行對應（測試題分布見表2）。

（3）每個學生都折疊3次，每次折疊時間6分鐘，教師及時收集學生的折疊結果，然后發放下一次折疊的材料，整個過程大約20分鐘。

三、實驗結果

為敘述方便，學生折疊后能拼成平角稱為成功（簡稱“成”）;拼不成則稱為“失敗”（簡稱“敗”）。

1.測試1的實驗結果

測試1給出的三角形紙片不畫線，也不展示結果，一方面是看學生在沒有提示的情況下到底能不能折疊成功，以及有多大比率的學生能折疊成功;另一方面也是為了考察四個班及不同組間的差異情況（學生折疊成敗情況見表3）。

由表3可以看出，四個班學生折疊銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的總成功率分別為35.53%、18.42%、20.83%;不區分三角形形狀，總的成功率為25%，只有四分之一的學生能折疊成功。這說明如果不展示拼成結果，也不畫出折疊的線，只提供三角形的紙片讓學生折疊，能折成平角還是難度比較大的;也說明折疊銳角三角形紙片比折疊其他形狀的紙片容易。那是否存在顯著性差異呢？我們進行了統計檢驗。

首先，四個班折疊同形狀三角形小組之間進行比較檢驗，銳角組之間、直角組之間、鈍角組之間的x²值分別為0.6255、0.9076、0.2853;四個班不區分性狀總體之間比較，x²=0.1912。這些值均小于臨界值X_0.05[df=3]=7.815，故不管是同種形狀之間還是總體之間，四個班不存在顯著性差異。

其次，四個班折疊不同形狀三角形的小組之間進行比較。四個班總體上銳角組與直角組、銳角組與鈍角組之間的X²值分別為6.1263、4.1804，均大于臨界值X^0.05[df=1]=3.841，說明折疊銳角三角形紙片的成功率顯著高于折疊其他三角形紙片。而比較折疊直角三角形與鈍角三角形，X²=0.1366，小于臨界值，說明折疊直角三角形與鈍角三角形紙片的難度沒有顯著性差異。

由上可見，在不展示折疊結果及過程，也不畫出折疊線的情況下，學生折疊銳角三角形紙片的成功率顯著高于折疊其他形狀的三角形紙片;學生折疊同形狀的三角形紙片之間及總體成功率之間均不存在顯著性差異（這也為我們分班進行測試和分析提供了依據），但能折疊成功的學生僅占四分之一，多數學生不能折疊成功。

2.測試2的實驗結果

測試2的結果見表4。

由表4可以看出，1、3兩個班折疊銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的總成功率分別為50%、39.47%、41.67%;若不區分形狀，總的成功率為43.75%，還不到人數的一半。還可看出，1班的成功率高于3班;兩個班及總的成功率也都高于測試1。那是否有顯著性差異呢？我們進行下面的比較檢驗。

（1）兩個班折疊同種形狀三角形紙片間的比較分析

兩個班的銳角組之間、直角組之間、鈍角組之間分別進行比較檢驗，X²值分別為0.1056、1.0231、1.0625，均小于臨界值X^0.05[df=1]=3.841，說明兩個班折疊同種形狀的對應小組之間無顯著性差異。兩個班不區分形狀的總體成功率經比較檢驗，X²=0.9149，也不存在顯著性差異。因此，雖然1班折疊直角、鈍角三角形紙片的成功率比3班高不少，看起來展示直角三角形紙片的折疊結果（1班）比展示銳角三角形紙片的折疊結果（3班）的幫助大，但整體上并沒導致顯著性差異。

（2）兩個班測試1與測試2的比較分析

總體上，學生折疊銳角三角形、鈍角三角形紙片與測試1比較，X²值分別為1.3206、2.7153，均小于臨界值X_0.05[df=1]=3.841，說明展示結果后，折疊這兩種形狀紙片的成功率沒有明顯提高;折疊直角三角形紙片的成功率與測試1比較，X²=5.0313>X_0.05[df=1]=3.841，說明展示結果后，折疊直角三角形紙片的成功率有顯著提高。不區分三角形的形狀，兩個班總體成功率與測試1比較，經X²檢驗，X^0.01[df=1]=6.6352=10.8280.001[df=1]=10.828，存在顯著性差異。這說明展示結果后，折疊的總成功率有顯著提高。可由于1、3班分別展示的是直角和銳角三角形的折疊結果，它們各自的影響程度到底如何呢？為此，我們對同班的兩次測試進行比較。

比較1班的測試1與測試2，折疊銳角三角形、直角三角形、鈍角角三角形紙片的對應小組之間進行比較，X²值分別為0.4373、5.4625、3.3978。可見，折疊直角三角形紙片兩次測試之間的X²值大于臨界值X^0.05（df=1）=3.841，說明展示直角三角形的折疊結果，對學生折疊該類型紙片的成功率有顯著的幫助，對折疊鈍角三角形紙片幫助也比較大，而對折疊銳角三角形紙片幫助不大。但比較不區分形狀的兩次測試，X²=6.5109>X^0.05（df=2）=5.991，存在顯著性差異，說明展示直角三角形的折疊結果可以顯著提高折疊成功率，只是對折疊不同三角形紙片的幫助程度不同。

比較3班的測試1與測試2，折疊銳角三角形、直角三角形、鈍角角三角形紙片的對應小組之間進行比較，X²值分別為1.8188、1.4387、0.5714，均小于臨界值X_0.05（df=1）=3.841，說明展示結果后，雖然折疊的成功率有了提高，但沒有顯著性提高。不區分性狀兩次測試總體之間的比較，X²=2.60830.05[df=2]=5.991，也不存在顯著性差異，說明展示銳角三角形的折疊結果雖對折疊有幫助，但沒有顯著提高折疊成功率。

由上可見，展示折疊結果對學生折疊有幫助，但展示直角三角形的比展示銳角三角形對學生的幫助更大。可是，從兩個班折疊總的成功率43.75%來看，還是有超過一半的學生不能折疊成功。

3.測試3的實驗結果

測試3的結果見表5。

由表5可以看出，2、4兩個班折疊銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的總成功率分別為63.16%、52.63%、58.33%;若不區分形狀，總的成功率為58.04%。還可看出，兩個班的成功率都高于測試1，4班的成功率高于2班，這說明展示折疊過程及結果對學生有較大的幫助，但到底有沒有顯著性差異，我們進行下面的比較檢驗。

由上可見，展示折疊過程與結果，總體來說對學生折疊成功都有極大的幫助，而展示鈍角三角形的比展示銳角三角形的對學生的幫助要大得多。可是，從兩個班折疊總的成功率58.04%來看，還是有四成多的學生不能折疊成功。

4.測試4與測試5的實驗結果

測試4與測試5的結果見表6。

由表6可以看出，不管是測試4還是測試5，所測兩個班學生折疊的總體成功率都在94.64%以上;四個班總體折疊的成功率達到95.54%。另外，對四個班折疊同種形狀和不同形狀三角形紙片的成功率之間，以及四個班整體成功率之間進行X²檢驗（其值不再一一列出），均不存在顯著性差異。說明折疊帶有折疊線的三角形紙片，除了個別動手能力確實差一些的學生外，基本都能折疊成功。這是比較符合實際情況的。

四、討論與建議

1.折疊三角形紙片拼成平角的探究活動對學生發展的意義不大

由上面的實驗結果可以看出：首先，在不展示折疊結果及過程，也不畫出折疊線的情況下，學生折疊三角形紙片拼成平角比較困難。有四分之三的學生不能折疊成功，在課后調查發現，能折疊成功的學生大多數是在課外輔導班或家長的指導下折疊過。其次，展示折疊結果對學生雖然有幫助，但還是有超過一半的學生不能折疊成功;在展示折疊過程及結果的情況下，能折疊成功的學生不到六成，這其中還有進行第二次折疊經驗的因素存在。因此，這樣的探究活動對不少學生學習數學的信心是個打擊，更重要的是，它重在考察學生的動手能力，對思維的啟迪作用不是很大。第三，如果給學生的三角形紙片帶有折疊線，哪怕是一條線，除了個別學生外都能折疊成功，這就變成了一種機械式的操作。因而，此驗證方法對學生的發展意義不大。

另外，展示折疊結果或展示折疊過程及結果的設計，雖然在一定程度上能促進學生思考，但是展示不同形狀的三角形對學生的啟發也不同。展示銳角三角形的折疊結果或折疊過程及結果，不如展示直角或鈍角三角形的對學生的啟發大。這是因為，對于銳角三角形紙片，無論先折疊哪個角，也無論先往哪條邊上折疊，都能將三個角拼成一個平角，而折疊直角或鈍角三角形紙片，只有先用最大角的頂點往對邊上折才能折疊成平角。因此，展示直角和鈍角三角形中的一種三角形的折疊結果或折疊過程及結果，可啟發學生先折疊大角，進而應用到其他三角形紙片的折疊上。而不管展示何種形狀的折疊結果或折疊過程及結果，對學生折疊銳角三角形的啟發都不是很大。

2.建議

首先，驗證三角形內角和猜想的方法，還是引導學生剪下三角形紙片的兩個角，然后將三個角拼成一個平角最佳。這樣學生好想、好操作，可大大提高課堂效率。研究（二）中提到的人教版教材只設計了這一種驗證方法，顯然還是符合學生實際情況的。

其次，建議教材編寫時去掉折疊拼成平角的方法。因為，教材編寫不是獵奇，不是弄一些巧法、妙法來炫耀或為難學生，進而使學生對數學產生恐懼心理。若要保留此方法，一是可以作為課外活動內容;二是作為課堂內容時，展示直角或鈍角一種三角形紙片的折疊過程及結果，以促進學生思考。蘇教版教材展示鈍角三角形的折疊結果對學生來說還是有較強啟發性的。

第三，教材編寫時應去掉帶有折疊線的設計。因為這變成了純粹的機械式操作，不能啟發學生思考，沒多大意義，它的作用也就是讓學生在課堂上“忙活一陣”，體現“課堂氣氛活躍”。

（責編 金鈴）