情境代入法在應(yīng)用型本科《線性代數(shù)》課程教學(xué)中的實施

劉曉燕

摘 要：《線性代數(shù)》課程在內(nèi)容上缺乏趣味性是講授該課程的一大難點，本文通過研究相關(guān)案例，將案例的分析方法引入到對知識點的講解當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)可以有效提高課堂教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。

關(guān)鍵詞：情境代入 法;《線性代數(shù)》課程教學(xué)

中圖分類號：G642? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：1006-3315（2020）1-129-002

1.線性代數(shù)的教學(xué)背景與現(xiàn)狀

《線性代數(shù)》是本科院校理工類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課。相對于另一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課《高等數(shù)學(xué)》而言，它的內(nèi)容要少的多，但是很多學(xué)生還是覺得難以入門[1]。這主要是是因為《線性代數(shù)》從一開始就是很多抽象概念，給初學(xué)者設(shè)置了許多的攔路虎。雖然有很多的學(xué)者在課程內(nèi)容設(shè)置上對其進(jìn)行了調(diào)整，但是由于初接觸者必須先掌握其特定的運算法則與相關(guān)定義，定義的抽象性就決定了前期的引入還是有其難處。

研究性教學(xué)是當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一大熱點，數(shù)學(xué)史的研究培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)知識的研究培養(yǎng)學(xué)生“研究性學(xué)習(xí)”的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和可持續(xù)發(fā)展的能力[2]。在線性代數(shù)的課程教學(xué)改革中，案例教學(xué)，情境代入教學(xué)法都能夠很好的補充課程理論充分，應(yīng)用不足的缺陷，將線性代數(shù)中的知識完美地應(yīng)用于實例研究當(dāng)中，是值得廣泛推廣和運用的教學(xué)手段。

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，分析理論與工具的進(jìn)步，線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)，金融，控制等方面都有著極其重要的地位與作用。學(xué)好線性代數(shù)是掌握一般分析方法的理論前提和基礎(chǔ)，是進(jìn)一步深化學(xué)習(xí)的有效工具。

2.情境代入在課程教學(xué)中的實施

在現(xiàn)行的主流教學(xué)過程中，還是以定義引入為主，以解決線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題為主線，輔以特征值和特征向量的性質(zhì)，最后以二次型的標(biāo)準(zhǔn)化過程為目標(biāo)，串聯(lián)起整個線性代數(shù)的知識內(nèi)容。單就知識內(nèi)容而言，線性代數(shù)相對來說較為獨立，用不到前期所學(xué)的微積分部分的內(nèi)容，這對很多學(xué)生而言事件好事，因為很多的學(xué)生對于需要用到微積分來解決問題的學(xué)科往往感到頭疼。

《線性代數(shù)》課程教學(xué)中一個需要主要解決的問題就是線性方程組的求解，整個課程幾乎都是圍繞這個內(nèi)容展開。但是很多教材都是一開始便對行列式以及矩陣這兩個學(xué)生不熟悉的內(nèi)容進(jìn)行了詳盡的闡述，然后才開始運用這些知識來解決線性方程組的求解問題。如果我們可以直接從線性方程組，或者多元一次方程組入手，以大家熟悉的高斯消元法為切入點，引出方程組的求解方法會更容易讓學(xué)生接受。

線性代數(shù)從計算層次來說只需要用到小學(xué)階段十進(jìn)制的加減乘除四則運算，但是運算量卻是隨著階數(shù)的增加呈級數(shù)遞增趨勢。以一個三階行列式計算為例，只需要計算6個3元素相乘之和，但是四階行列式就需要計算個4元素相乘之和，五階行列式就需要計算個5元素的乘積之和……行列式的計算從定義式來說是繁復(fù)的，但是如果可以指導(dǎo)學(xué)生將計算進(jìn)行公式化處理寫入計算機，以當(dāng)前計算機處理運算的速度，這些運算根本就不值一提了。

在行列式的計算過程中，如果不使用定義式進(jìn)行計算，那么就可以根據(jù)性質(zhì)來對行列式進(jìn)行處理，其中最重要也是最常用的一個性質(zhì)就是將行列式某一行的k倍加到另一行，行列式的值不變。這也是矩陣的初等行變換里的運算是一樣的，只不過在行列式里面，這個性質(zhì)是拿來做行列式運算，保證其運算的有效運行。而在矩陣?yán)锩妫@只是一種變形方式，保障矩陣的形式可以變化成需要的形式。

從該課程的整個知識體系來說，初等變換是其中最重要的一個處理手段。無論是向量組的線性相關(guān)，線性無關(guān)性判斷，向量組里面極大無關(guān)組的尋找，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，還是特征值的計算，正交變換的確定，以及行列式的簡便運算等，都需要用到初等變換。初等變換涉及到的計算并不難，但是過程卻很繁瑣。一個階的矩陣，一行初等變換下來要做m次加法運算，整個矩陣就需要做次的加法。當(dāng)然，在現(xiàn)在的教學(xué)條件下，計算次數(shù)多并不是一個問題。此時引導(dǎo)學(xué)生自己去掌握一些計算處理軟件，如Matlab，Lingo等，這樣將對學(xué)生的主動學(xué)習(xí)起到很好的促進(jìn)作用。當(dāng)然，有條件的院校，完全可以根據(jù)自身條件開設(shè)相關(guān)的實驗課程。

隨著信息化時代的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)問題滲透于工科課程的很多方面。特別是在線性代數(shù)課程中，網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的滲透表現(xiàn)的更為突出。為了讓學(xué)生了解科學(xué)前沿問題并提高學(xué)習(xí)興趣，在講授矩陣特征值與特征向量的概念、計算方法和幾何意義時，引入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點重要性的排序和同步問題，舉例說明特征值和特征向量在其中的應(yīng)用，以此將網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中的研究問題滲透到線性代數(shù)的教學(xué)中來[3]。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還能夠提高理論學(xué)習(xí)的理解效果。

情境教學(xué)的重要手段之一就是案例教學(xué)。線性代數(shù)的理論知識由于其獨立性，基本是自成體系，所以除了以前所學(xué)的數(shù)字的四則運算是熟悉的，其他基本都是新概念，要學(xué)生理解起來難度是相當(dāng)大，所以引入案例分析十分必要。當(dāng)然，在設(shè)置案例的過程中，必須結(jié)合學(xué)生的所學(xué)專業(yè)，學(xué)校的培養(yǎng)目標(biāo)，綜合考慮教學(xué)的條件，選擇較為普遍的事件引入概念，或介紹較為前沿的研究成果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。例如，可以運用經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的投入產(chǎn)出模型，構(gòu)建矩陣的思維模式[4];可以通過對能量圖的計算，將與矩陣特征值相關(guān)聯(lián)的譜理論進(jìn)行推廣。比如在對矩陣的分析中，可以引入人員分配問題，讓學(xué)生對矩陣有一個直觀的感受與概念。在對行列式的計算進(jìn)行講解前，結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》里面所涉及到的向量積的概念，可以直觀地解釋三階行列式的按行展開。降階是行列式計算里面的一個重要處理思路，而降階跟高等數(shù)學(xué)積分運算里面的降次處理手段相結(jié)合，讓學(xué)生體會到降階可以極大簡化運算，減少運算次數(shù)。

3.情境代入教學(xué)的優(yōu)點與限制

通過情境代入教學(xué)，就是通過線性代數(shù)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，使用行列式或者矩陣來刻畫和分析各種實際問題，這樣不僅可以極大地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，還可以擴(kuò)展學(xué)生的視野，提升學(xué)生的知識層次。通過情境代入式教學(xué)方法，可以將線性代數(shù)里面枯燥的理論轉(zhuǎn)化為對實際問題的探究。這一方法的使用可以有效地將抽象概念與定理進(jìn)行具體化，使得相關(guān)的知識點更加通俗易懂。

情境代入的教學(xué)方法的優(yōu)點是顯然的，但是情境教學(xué)的實施也有其局限性。其一，對于學(xué)生而言，很多學(xué)生始終對數(shù)學(xué)類課程抱著難學(xué)的偏見，一開始就拒絕各種輸入，這是數(shù)學(xué)類課程教學(xué)中經(jīng)常會遇到的一個現(xiàn)象;還有學(xué)生缺乏動手能力，或者對新知興趣不大，這也會讓教師的教學(xué)熱情減退。其二，對教師而言，要施行情境代入式的教學(xué)模式，需要教師對各種數(shù)學(xué)類處理軟件有著相當(dāng)?shù)牧私猓硗猓残枰處煂Ω鞑煌瑢I(yè)學(xué)科知識與線性代數(shù)的發(fā)展前沿動態(tài)有所掌握，這樣才能在課堂上如行云流水，將線性代數(shù)這門基礎(chǔ)課講清楚，講好，讓學(xué)生能聽得進(jìn)去，進(jìn)而可以運用線性代數(shù)的相關(guān)理論做一些事件以及應(yīng)用分析，這也算是對教師的較高層次的教學(xué)要求。

4.結(jié)語

在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，普遍存在課程理論性太強，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)參差不齊，應(yīng)用推廣起來難度較大等現(xiàn)實問題。加強教學(xué)效果的主要方式可以使用案例引入，通過對案例的分析引出線性代數(shù)的相關(guān)理論。有條件的院校可以結(jié)合計算機教學(xué)，開設(shè)相關(guān)的計算機編程教學(xué)的課程，運用MATLAB這一數(shù)學(xué)軟件，實際操作一下如何使用矩陣解決問題的方法，促進(jìn)教師對學(xué)生掌握線性代數(shù)知識把握的程度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)思維模式，擴(kuò)展學(xué)生的視野，將線性代數(shù)這一門跟現(xiàn)代技術(shù)結(jié)合緊密的學(xué)科知識掌握好。更進(jìn)一步地，可以讓學(xué)生對現(xiàn)代科學(xué)的前沿研究有一定的了解。而這些對教師而言，可以提升自身對學(xué)科知識的理解，于學(xué)生而言，更是為他們打開了一扇通往運用技術(shù)處理實際問題這條道路的入口。

參考文獻(xiàn)：

[1]李尚志.線性代數(shù)精彩應(yīng)用案例（之一）[J]大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（03）：1-8

[2]閔蘭，陳曉敏.《線性代數(shù)》研究性教學(xué)案例[J]西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，35（06）：206-208

[3]湯龍坤.線性代數(shù)教學(xué)中網(wǎng)絡(luò)科學(xué)問題的滲透[J]高教學(xué)刊，2019（05）：59-61

[4]趙春芳.基于實際應(yīng)用的線性代數(shù)教學(xué)理論研究[J]山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報，2019，36（02）：140-141