用大觀點引領數學教學——“新加坡第十三屆數學教師大會”述評

陸 珺，鮑建生

用大觀點引領數學教學——“新加坡第十三屆數學教師大會”述評

陸 珺1，鮑建生2，3

（1．蘇州大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215006；2．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；3．上海市核心數學與實踐重點實驗室，上海 200241）

數學教師大會是新加坡數學教師專業發展的重要活動．新加坡第十三屆數學教師大會共設置7個主題報告，22個工作坊和9個專題報告．圍繞“數學中的大觀點”開展的主題報告和工作坊內容豐富多元，涵蓋數學、教材、教學、評價等多個領域．新加坡數學教師大會這一專業發展活動形式，為廣大研究者思考如何創立教師專業發展的品牌活動，持續穩妥地服務于區域性的廣大數學教師帶來啟示．

大觀點；數學教學；MTC；新加坡

1 MTC簡介

數學教師大會（Mathematics Teachers Conference，簡稱MTC）是新加坡數學教師專業發展的重要活動，由新加坡南洋理工大學國立教育學院數學與數學教育學術組（Mathematics and Mathematics Education Academic Group，簡稱MME）和新加坡數學教育工作者協會（Association of Mathematics Educators，簡稱AME）共同主辦，意在通過對話和工作坊的形式為新加坡數學教師和教育部的工作提供專業支持．其每年固定于新加坡中小學學期二和三之間假期第一周的周四舉行．每屆會議，來自新加坡各小學、中學、初級學院和其他學校（私立學校、國際學校、特殊教育學校等）的數百名數學教師共赴盛會，他們或是自愿報名，或由學校派遣．自2017年新加坡數學教師的專屬最高榮譽——“數學卓越教學獎（Excellence in Mathematics Teaching Award，簡稱EMTA）”設立以來，MTC開幕式上便設置了一幕重頭戲——公開表彰榮獲EMTA的教師．該獎項的6人評選委員會由兩位教育部專家，兩位MME學者和兩位AME成員組成，計劃每年從全國各所學校推薦的候選教師中評選2~5位以出色的教學表現和專業水準贏得學生愛戴和同行尊敬的數學教師．

2 會議概況

第13屆MTC在南洋理工大學國立教育學院舉行，其7個主題報告和22個工作坊的主講人是新加坡國內的20位學者和來自澳大利亞、加拿大、日本、美國、馬來西亞的5位學者，另9個專題報告或由MME成員同新加坡教育部、南洋理工大學、國立大學的學者合作，或由一線數學教師、團隊負責人等主講，與會教師共計744人．主辦方希望所安排的海外學者的報告有助于拓寬教師視野，更希望國內學者的報告能與教學產生直接的相關性和可行性，因而將大會主題定為“數學教學：數學中的大觀點（Mathematics Instruction: Big Ideas in Mathematics）”．他們認為，大觀點是在學生學習中居于中心地位的，且能將多樣化的數學概念聯結為統一整體的那些清晰的、主要的概念．借助中心概念的可視化，主題方面的一致與聯結，以及水平之間的連續性，大觀點可用于指導教師發展學生深刻穩定的數學理解．大觀點之“大”是一種隱喻，意指其跨越主題和水平的范圍之大．理解大觀點是為了更好地教學，最終促進學生更好地學習．

廣為人知的是，新加坡學生的數學成績歷來為世界所矚目，其數學教學隨之成為國際學界競相研究的熱點．那么，作為數學教師專業發展年度活動國家層面的MTC，自然不乏特色與價值．

3 主題報告

大會的7個主題報告中有一個面向全員的45分鐘開場報告和面向小學、中學、初級學院數學教師的各兩個55分鐘報告．

3.1 開場報告

Jung Younbo奉獻了題為“1+1=3：在第四次工業革命時代以交流的視角再看數學教育”的開場報告．他指出，當社會進入融合了心理世界和數字世界的第四次工業革命時代后，一些帶有破壞性方法的新思想隨之產生，并以技術革新的方式被運用到教育中，如虛擬現實的大量開放的在線“慕課”課程和人工智能型的數字家庭教師．這些技術對未來的教與學會產生什么結果與影響？緊跟技術進步的學習能否從根本上改變日常的課堂學習方式？教師將受到哪些影響？太多的問題在等待回答．他建議以交流的視角重新看待整個教育過程，使用一種包括發送人、收件人、信息和傳輸通道在內的基礎性交流模型的通盤考慮的方法以代替著眼于局部過程的方法，才有助于思考什么是數學教育這一根本性問題，并更好地理解該如何引導教育改革．

3.2 面向小學數學教師的主題報告

來自澳大利亞的Chris Hurst認為要關注小學數學中的大觀點，應突破內容按年級分配的線性的課程編排方式，采用一種有更多概念參與的教學方法來代替以往的程序化教學方法．他總結了遵循大觀點編排的數學課程的教學優勢：第一，教師對大觀點內外的聯系知道得越多，他/她的理解就越深刻，也就越有可能把這種聯系清楚地教授給學生；第二，大觀點之間相互聯結的性質可以促進學習遷移并減輕記憶負擔；第三，高效的教師知道如何使大觀點跨越等級水平，從而與教學主題相聯系，如何在各級水平上發展概念，以及如何將這些概念在先前和后續的等級上接軌．他的報告還強調教師要通過教學大的過程性觀點來教學大的內容性觀點，要思考小學數學中可能有哪些大觀點，要注意識別用于支撐一些大觀點的細微內容，要考慮基于大觀點構建的課程的可能面貌．

Chan Chun Ming Eric援引教學大綱中“建立聯系可視為觀察和聯結數學思想的一種能力”之說法，指出乘法中的基本思想可用于傳達乘法性質的意義及討論乘法、除法、面積和數字模式間的相關性概念，而識別數學概念的不同表征間的聯系則會影響教學，使其轉向于支持數學的有意義學習．

3.3 面向中學數學教師的主題報告

來自加拿大的David Wagner以“數學：面向負責任的公民”回應聯合國提出的可持續發展目標框架．他認為數學教學的意義在于改變課堂的交流活動，重新考慮數學樣例的背景和反思“對于數學而言，什么是最為必要的”．他認同那些鄭重擔負起社會和環境需要的數學教師為可能的第一步和后續步子所作的改變和反思，其整體是一個面臨各種可能性的充滿挑戰的領域．

Chua Boon Liang探討了解構大觀點的視角與路徑．他指出數學中的大觀點，不論在幫助學習者發展對于數學內容的深刻認識方面，還是在幫助教師創造概念與技能之間的聯結以使數學成為一致性觀點的集合方面，都是必要的基礎材料．學生在數學學習中需有大觀點的意識，才不至于把數學簡單地看成是一些不連貫的概念的集合．數學教師需理解這些大觀點并轉化到教學行動中．他還就如何進行大觀點的概念教學為中學教師作了例證分析．

3.4 面向初級學院數學教師的主題報告

Koh Khee Meng是一位在新加坡備受喜愛的大學數學教師．他指出，在數學發展的歷史長河中有無數的突破性思想，數系、三角函數、對數、笛卡兒坐標系、極限和微積分基本定理是屬于A水平數學內容的突破性思想．他通過報告帶領教師領略這些思想在數學發展中的重要性及其影響，以點燃聽眾的數學教學激情．

現任MME負責人Tay Eng Guan作了題為“教授數學：一個對大觀點的適度呼喚”的報告．他呈現了一些貫穿在初級學院數學教學大綱中的大觀點實例，如“解方程”包括求解線性、二次、聯立、三角和微分方程等．事實上，學生應掌握的是所有這些方程通常包含單個變量，或被表示為一個數字區間，或為另一個變量的表達式，以及公式法中包括配方、因式分解等適量的代數處理．

4 工作坊

大會面向小學、中學、初級學院數學教師各開設8個、10個和4個工作坊，每個持續活動兩小時．

4.1 面向小學數學教師的工作坊

Cheng Lu Pien通過系列活動的開展，將一些觀點集中到如何清楚地學習數學這個問題上．現場教師在參與她設計的小學數學課堂的多樣化任務實踐中，逐漸將關注點轉向其中的大觀點和數學過程．

來自澳大利亞的Chris Hurst給予教師“動手”機會，通過思考小學數學中可能存在的大觀點（先呈現已收集的不同人對大觀點和/或關鍵性理解的建議），解構關鍵概念的數學內容知識，識別影響大觀點的細微內容，舉例說明大觀點的發展及其是否為課程內容構成樣例，在小組活動中探索一個大觀點的發展等活動帶領教師走近大觀點．

Lim Li Gek Pearlyn與教師分享了一些有趣的教學觀點，包括用與數學主題相關的魔術導入新課，用新聞或戲劇溝通數學與真實的生活，設計開放題以鼓勵學生建構數學知識．

來自日本的Pauline Anne Therese M. Mangulabnan展示了日本小學數學課堂中兩個體現探究長度與課堂合作的教學實例．她帶領教師仔細觀察這兩則教學如何植入到需要的課程中以發展學生的概念知識和程序性數學技能．

來自美國的Padmanabhan Seshaiyer帶來的觀點是，若將數學建模作為一個大觀點較早引入小學數學課程，不僅有利于提升批判性思維、創造性、協作和交流能力等21世紀的核心能力，且有利于STEM課程中跨學科主題的融合．他為教師講解小學級別的數學建模過程，講解如何培育學生的數學素養，如何在真實世界和數學之間建立聯系，如何進行以學習者為中心的課堂管理等．

Cynthia Seto和Choon Ming Kwang討論了大觀點的3種不同類型：關于內容的大觀點、關于領域的大觀點和關于有效學習的大觀點，幫助現場教師學習如何以大觀點為教學焦點去引導學生將數學看作一致的、統一的整體而非零碎的知識片段，以及如何用大觀點來反思個人的教學意圖．

來自馬來西亞的Teoh Kim Hong就如何提供用于促成數學知識聯結的合適的任務作了分享．這些任務傾向于鼓勵學生質疑，而質疑將引發學生為促進有意義學習中的理解而展開討論．

Yeo Kai Kow Joseph認為等價是小學數學中的一個大觀點，因為等價意味著可將看似不同的表征整合為實則相同的觀點．他與教師分享該看法并呈現實例，另討論教師為促使學生去探索與等價相關的所有對象而可在教學中開展的各種活動．

4.2 面向中學數學教師的工作坊

Choy Ban Heng事先通知教師帶上最新版教學大綱，在介紹了一種用于支持學生觀察和領會大觀點的基于學科思維的四維度方法之后，他引導教師用該方法關注教學大綱中的大觀點并為之設計相應的教學任務．

Dindyal Jaguthsing指出，因注意力常被引向程序性操作，學生總是僅關注怎么做而忽視為什么這么做，而后者對于發展他們用于觀察不同概念之間聯系的推理能力有重要影響．因此他建議使用一些易于理解的典型問題來促進學生的數學推理能力，如此才能為各級學業水平的學生實現發展程序性技能和增進概念理解的雙重目的．

Leong Yew Hoong認為大觀點之所以重要是因為其一旦被忽視，其它知識點都無法被理清．因此教師在開始某一主題的教學時，應盡早挖掘其中的大觀點，且要不斷擴大視閾，在教學大綱框定的其它主題中尋找這些大觀點．這是教師目前需要強化的方面．

Low Leng認為教師需要在教學方法上作些改變，要將數學知識呈現為一個一致的、相互聯結的知識整體．因此她強調了一些可用于不同內容背景的有效教學和學習的大觀點，讓教師探索如何用大觀點串接不同的教學活動，以使學生獲得內部聯系更加緊密的數學主題知識．

來自日本的Pauline Anne Therese M. Mangulabnan給教師觀看幾位日本高中數學教師如何利用或獨立或協作的探究來設計教學單元．這些設計巧妙地運用了不同的數學背景和經歷來幫助學生增長主題知識．她提醒現場教師觀看時特別留意其中的數學任務和在更新設計后的單元教學中與鼓勵深度探究時學生的反應．

來自美國的Padmanabhan Seshaiyer將數學建模視為一個大觀點，其包容開放性結論、提出問題的策略、創造力等多種特質且背景真實．他通過探究活動幫助現場教師理解數學模型在數學教與學中的重要性，區分數學建模與問題解決中的模式化數學的差異，并分享對兩者都起決定作用的最優化的數學實踐．

來自加拿大的David Wagner圍繞聯合國提出的可持續發展目標框架，討論數學任務設計的原則，并使教師在小組合作中嘗試基于這些原則去設計練習和做出評價．

Wong Khoon Yoong認為數學中的大觀點或基本理解是共存于不同主題的核心概念和原則，如算術和代數中的等價，算術中的模式等，而類似的大觀點同樣存在于教師的教學方法和評價方式之中．因此他以中學數學課程中的統計為主題，帶領教師探索其在數學、教學、評價3個不同領域中的大觀點及其相互間的聯系，以此豐富教師對數學教學內容知識的認知．

Yap Von Bing聚焦于經驗性問題的數學建模教學，即在告知數據的基礎上明確變量，要求學習者設計感興趣的問題．在他看來，雖然問題的范圍可能受到較多限制，但這是值得推廣的任務，因為它不僅可與后續H2水平（新加坡初級學院的A水平數學分H1、H2和H3幾種不同難度．H1內容最少，難度最低；H3最難，只為少數數學成績突出的學生開設．）的概率模型接軌，還能使學生在統計和數據科學中得到更高級的訓練．

Yeo Boon Wooi Joseph就如何在課堂教學中滲透大觀點給出建議，包括怎樣設計包容大觀點的足夠豐富的數學任務．現場教師通過小組合作對他的建議進行提煉，并就一些大觀點在課堂教學中的具體滲透策略開展頭腦風暴．

4.3 面向初級學院數學教師的工作坊

Ho Weng Kin認為計算不該是大多數教師和學生眼中瑣碎、平凡的數學內容，而是一個可追溯至古代文明的數學中的大觀點．他帶領教師對計算何以是數學中的大觀點以及如何欣賞A水平數學課程背景下的計算展開探索．

Victor Tan指出大多數的線性代數概念是彼此聯通的，他以拓展課程的“矩陣和線性空間”主題為例，向教師展示如何使用幾個大觀點對該主題下的十幾個子主題進行聯結．

Toh Tin Lam為教師介紹了與數學有關的大觀點，以及如何以一種既促進數學學習，又遵循大觀點的方法來教授數學．他的方法聚焦于大觀點，卻不向學生的數學考試成績妥協．其中所有的舉例和例證都來自A水平數學中的微積分內容．

Zhu Ying為促進現場教師對有助于提升統計素養和統計思維的統計關鍵概念的理解，分享了她對一些主題的研究，包括哪種平均數的性能最優、變量的測量、假設檢驗、回歸分析中的相關性和因果關系，如何用統計的眼光去了解世界，等等．

5 專題報告

大會共安排9個專題報告，每個45分鐘，包括MME團隊（其中少數成員是來自MME以外的高校或新加坡教育部的學者）的項目介紹，第一屆EMTA的3位獲獎者的經驗分享，還有新加坡數學會和出版社組織的報告．

5.1 MME團隊的項目介紹

現任MME學術帶頭人Berinderjeet Kaur代表她的研究團隊與觀眾分享了在研項目——“新加坡中學稱職教師的數學課程實施研究”的一些初步發現．該項目受新加坡教育部資助，包括“稱職教師數學課程實施中的教學方法”和“稱職教師數學課程實施中的教材使用”兩項子研究．另探討一個項目層面的研究問題：與Schoenfeld所推崇的充滿數學味的課堂教學方法相比，新加坡中學稱職教師的教學方法有何不同？研究手段包括視頻拍攝和問卷調查兩部分，預計有30名教師和600名學生參與到多機位和多角度的視頻拍攝中，另有600名教師參與到自我報告式的問卷調查中，目前已有20名教師和300名學生參與了視頻拍攝．

Lee Ngan Hoe所在團隊承擔的項目為“建構主義視角下新加坡中學數學課程的學習設計”．他們認為，采用建構主義視角下的學習設計，不僅可觀察與中學數學教學大綱對應和與教學目標對應的學習設計的二階段發展過程，還可觀察教師知識的發展過程．他們在報告中分享了一則已完成的設計任務，并為教師展示使用過程，以便為在中學數學課堂內開展建構主義視角下的學習設計提供一些參考．

Toh Tin Lam領導了一項由新加坡國立教育學院資助的“A水平微積分教學研究”．該研究目的包括：了解學生在不同學習階段的A水平微積分知識情況；了解講座、個別輔導、課堂教學等不同形式下的微積分教學方式；了解教師對A水平微積分內容的理解及其教學信念，終極目標是要基于已有文獻中的相關研究和對當前微積分教學情況與現實教學約束下的理想情況間的差距的認識，去發展一個微積分教學模型．

Choy Ban Heng團隊的項目是“加強教師的數學學習經驗與其數學教學的融合”．他們認為，這種融合首先是教學方法層面的需要，教師應將教學實踐轉向更為互動的形式，通過思維構建來發展學生的數學能力．項目的誕生源于數學任務設計中豐富的數學學習經驗和充分的數學討論的需要，以及評價學生的推理能力并反映其思維方式的需要．他們通過該項目提議，為小學數學教師加強數學學習經驗與數學教學的融合而發展一個全新的學習框架．借助報告，他們分享了關于這一提議的初步想法，以期獲得現場教師的一些反饋．

5.2 EMTA獲獎者的經驗分享

來自CHIJ（Kellock）小學的Arif Hong Chu Sen為小學數學教師帶來“形成性反饋與學生參與”的報告．她先引用John Hattie的“在為掌握目標的從容教學中，在反饋的獲得與找尋中，在積極、熱情、癡迷的學習過程中”這一表述來解析可視化教與學可能發生的時刻，后與教師分享如何使用形成性評價中的反饋來呈現可視化的教與學，以及如何轉化學生的學習策略以促進概念理解．

來自Yuan Ching中學的Chew Chong Kiat為中學數學教師帶來“給予反饋”的報告．他指出，學生通常只知訂正錯誤而不去關注教師反饋，而教師往往也不清楚自己的反饋能對學生產生多少幫助．僅有的反饋，不外乎是些“√”與“×”，分數與等級．即便是稍有一些具體評語，大部分也是針對結果，少有能關注過程或觸動學生的．他在報告中就如何利用Hattie提出的4種反饋水平來指導反饋作了分享，以幫助現場教師理解在數學教學中有效使用每一級反饋水平的時刻與方法，以及需要借助的輔助手段和方法．

來自St Andrew’s初級學院的Eng Kai Seng為初級學院數學教師帶來“Eng老師，您肯定是開玩笑吧？”的報告．他與現場教師分享自己身為數學教師的諸多快樂瞬間，令聽眾驚訝于看似無法快樂的場合何以能產生快樂，從而去搜索自己教學中的快樂瞬間．他希望通過該過程讓現場教師明白：數學教師的快樂其實遠多于自己的想象，并且這種快樂是能夠被傳遞的．

5.3 新加坡數學學會的報告

與應試學習不同，課題研究是為訓練學生的創造性工作能力，因而數學課題指導不同于傳統的課內教學．在新加坡數學學會組織的“談談中學數學研究課題的指導——再看獲獎選手與聯賽”的報告中，來自國家初級學院的課題指導者與其學生一同向觀眾展示了他們獲得的2018新加坡數學節銀獎的數學課題．在課題指導教師分享課題指導經驗后，新加坡數學節的組織者還具體介紹了新加坡的數學課題競賽．

5.4 Marshall Cavendish出版社的報告

Michelle Choo曾是一位小學數學老師，現在是Marshall Cavendish出版社的數學教輔用書策劃人．她以“共贏的合作伙伴：在數學教學中與家長合作”為題作了專題報告．她指出，實證研究已證明來自家長的支持與家長對待數學的態度，與孩子的數學成績存在著正相關．很多家長都渴望能夠把控孩子的學習路徑，監控學習進度，給予必要的引導和數學學習資源方面的支持．然而通常情況下，家長的做法都比較愚蠢．她在報告中講述了通過深度訪談獲知的家長在渴望給予孩子數學學習幫助時的掙扎與痛苦，促使他們將研究聚焦于家長能夠給予何種支持以及如何輔導家長盡可能地了解數學學習，以便為孩子提供真正的幫助．她號召現場的教師加入他們的團隊，一起幫助家長成為那個有能力在孩子數學學習道路上給予充分鼓勵和支持的人．

6 特色與啟示

曾有中國學者諄諄告誡：“數學教學要把握大觀點和核心概念．以大觀點和核心概念統帥數學教學過程，是數學教學的又一個特色之處，也是‘教與數學對應’原理的具體體現……教師要創造性地教，就不但要研究學生的學，更要研究數學，把握教材．把握數學和駕馭教材的前提，是把握數學的大觀點和核心概念．”[1]因而，第十三屆MTC主題鮮明與立意深遠是值得肯定的．所有主題報告和工作坊均圍繞大會主題而展開，眾多主講人的學術背景與研究視角之差別使得研究成果豐富多元，宏觀的方向引領或細微的教學指導涵蓋數學、教材、教學、評價等多個領域．反觀國內，雖然“大觀點”一詞于研究者們并不陌生，但不論是在學界還是一線，似乎都未曾深入人心，這是需要反思的．

MTC是一面折射新加坡數學教師專業發展活動樣貌的鏡子．會議的29個主題報告和工作坊中，9個海外學者專場占比近1/3，一天日程內便為一線教師提供諸多與海外學者面對面交流的機會，可見MTC本身是教師發散思維，開闊視野的平臺．再從一線教師與專家學者輕松平等地交流并給予積極熱情的反饋來看，類似的專業引領與學術共享似已成為家常便飯．此外，專題報告內容亦頗為豐富．MME團隊的項目介紹讓教師有機會了解和學習國內高校學者的在研項目；EMTA獲獎者的經驗分享為教師近距離地傳遞榜樣的力量；數學學會與出版社的報告令教師感受到專業團體的存在及其觸手可及的服務．這一切無疑都是教師專業發展的助推力，且年復一年地供給著新加坡數學教師．

總之，新加坡優質的數學教育支撐起MTC的文化傳承，MTC繼而滋養其數學教育百尺竿頭．那么，對照這個560萬人口的城市國家，在國內擁有等量人口的教育發達地區的城市里，學習新加坡人務實高效的精神，創立類似的數學教師專業發展活動，持續穩妥地服務于區域性的廣大數學教師，或許是廣大學者可為亦應為之事．

致謝：文章寫作得到新加坡南洋理工大學國立教育學院數學與數學教育學術組教學助理Wong Lai Fong女士的熱情幫助，在此表達誠摯謝意．

[1] 涂榮豹，王光明，寧連華．新編數學教學論[M]．上海：華東師范大學出版社，2006：68．

Using Big Ideas to Guide Mathematical Teaching——A Summary of the 13thMathematics Teachers Conference in Singapore

LU Jun1, BAO Jian-sheng2, 3

(1. Soochow University, School of Mathematical Sciences, Jiangsu Suzhou 215006, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

The Mathematics Teachers Conference (MTC) is an important professional development activity for Singapore mathematics teachers. There were seven keynote lectures, twenty-two workshops, and nine special sessions at the 13th MTC. All the keynote lectures and workshops focused on the theme of “big ideas in mathematics” and had abundant and varied content which covered several domains, such as mathematics, textbooks, instruction, evaluation, and so on. The form of professional development activity of the MTC in Singapore helps us to think about how to conduct effective professional development activities for teachers so as to serve local mathematics teachers in an ongoing basis.

big ideas; mathematical teaching; MTC; Singapore

G

A

1004–9894（2020）05–0098–05

陸珺，鮑建生．用大觀點引領數學教學——“新加坡第十三屆數學教師大會”述評[J]．數學教育學報，2020，29（5）：98-102．

2020–02–10

上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地、上海數學教育教學研究基地2016年度重點項目——數學教師的實踐知能和教師專業發展者的現狀調查（16048/002）；上海市科學技術委員會資助課題——核心數學與實踐（13dz2260400）

陸珺（1984—），女，江蘇蘇州人，博士，主要從事數學課程與教學論研究．

[責任編校：周學智、陳漢君]