融數學史于中學數學課堂教學的思考

胡鑫鑫

(喀什大學數學與統計學院，新疆喀什，844008)

1972年，在第二屆國際數學教育大會上成立了數學史與數學教育關系國際研究小組(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM)，標志著數學史與數學教育關系成為一個學術研究領域與課題。[1]這為數學課堂教學邁入新的領域奠定了基礎。2003 年，教育部制定的《普通高中數學課程標準(實驗)》指出，“數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用……尋求數學進步的歷史軌跡，激發學生對數學創新原動力的認識”[2]。之后，高中數學設置了“數學史選講”等專題，這為數學史進入課堂教學提供了有利契機。

近年來，隨著新課改的深入開展，很多教師已在課堂教學中滲入數學史知識，但教學大多只是停留在以附加的方式講授數學故事，刪減后對課堂效果毫無影響。在這樣的背景下，如何將數學史融于課堂教學以提高教學效果顯得尤為重要。

一、數學史的教育價值

(一)重現數學家的精神，激勵學生不斷進取

米勒曾說過：“揭示歷史上著名數學家的失敗，比介紹他們的成功更能讓數學教師獲益?！盵3]正如米勒所講，失敗可以讓教師和學生明白，任何一個定理、公式的取得并不是一蹴而就的，而是在前人失敗的基礎上發展而來的。要想充分利用好這類內容的教育價值，教師可以在教學中滲透數學史料。數學史料的價值一方面體現在以閱讀材料的形式附加在課本中，讓學生了解數學家的偉大成就；另一方面體現在讓學生感受到數學家探索過程的艱辛以及遭遇失敗后永不放棄的品質。數學家也會遭遇困境，但他們在遇到問題時首先想到的不是退縮而是解決問題，這會激勵學生勇于面對問題、想辦法解決問題。由此可以看出，失敗之中也蘊含著潛在的教育價值，它可以鼓勵學生不斷進取。

(二)創設新穎情境，激發學生好奇心

課堂情境的創設會對一節課的教學質量產生重要影響。新穎的情境問題不僅能使學生將專注力集中于課堂，還能讓學生感受到數學的獨特魅力。教學眾數時，教師如果直接給出眾數的概念，會顯得很突兀。教師可以以數學史小故事“唯一機會”為引子，創設新穎情境，激起學生的好奇心。

伯羅奔尼撒戰爭中，雅典的軍事同盟普拉提亞戰敗，伯羅奔尼撒人便在城外筑起高墻，想要將敵人困死在城內。不久后，城中食糧短缺，普拉提亞人打算做梯子翻過敵人的圍墻。梯子的高度要和圍墻一樣高才可能翻過圍墻，普拉提亞人準備通過數圍墻磚塊的層數來計算圍墻高度。同一時間內，很多人數了城墻上磚塊的層數，結果卻不同。問：如何確定磚塊層數？在這個問題中，選擇眾數是普拉提亞人逃生的唯一機會。[4]

了解這則故事后，學生會驚嘆于數學應用之廣泛，體會到數學不是課本上一個個冰冷的定理和公式，而是存在于生活各處。這節課中，教師通過趣味故事將生活情境與數學問題緊密聯系，激發學生的好奇心，引導學生積極尋求解決問題的方法。

(三)查明文化起源，預測認知困難

數學家克萊因指出：“歷史上的大數學家遇到的困難，恰好是學生(在學習數學的過程中) 經歷的障礙。另外，學生克服這些困難的方式與數學家用過的方式是大致相同的。”[5]由此可見，學生學習新知識所面臨的困惑也可能是歷史上的數學家曾面臨的問題。基于此，教師可以通過數學史再現歷史上數學知識的發生發展過程，了解數學家在創造知識過程中所遇到的困惑，促使學生更好地把握教材的重點難點，進而提高課堂效率。

例如，幾乎每個學生都知道“一個非零數除以零”是沒有意義的，但古代數學家對零的運算卻產生了很大的困惑。數學家婆羅摩笈多在其著作《婆羅門修正體系》中討論了負數和零的法則，其中有0÷0=0；數學家摩訶毗羅在《計算及方法綱要》中給出了a÷0=a的運算法則；數學家釋律帕提給出了a÷0=0(a≠0)的法則；婆什伽羅在《莉拉沃蒂》中提出了八個與零有關的法則，其中有(a×0)÷0=a(a≠0)。即便在近代，人們對“除以零”的運算仍有困惑。[4]看起來如此簡單的知識點原來是許多數學家的困惑，只有當教師了解到這一數學史料后，在講解這部分知識時才會想到學生可能也有同樣的疑惑。因此，課堂上教師不能只是單一地傳授“一個非零數除以零是沒有意義的”，而要重點講解其內在原因，從根本上消除學生的疑慮，以防止學生計算時出現更大的錯誤。

歷史就像一面鏡子，讓后人可以了解前人在探索過程中遭遇的問題。以史為鑒，教師了解歷史便可以更好地了解學生的認知，在教學過程中適時性地增加相關史料的講授以減少學生學習上的困惑。

二、數學史融于課堂教學的方式

融數學史于數學課堂教學，若只是陳述歷史事件，就難以發揮其真正價值。教師可以重構數學史知識，運用數學史講解知識的歷史淵源。這樣，學生對課堂知識的理解會更加深刻。反過來，通過課堂知識詮釋數學史，也會使數學史發揮更大的教育價值。

(一)情境引入，學習數學概念

運用數學史引入新課，可以為數學學習增添樂趣，有益于學生對數學概念的理解。教學中位線時，中位線這一概念比較抽象，直接引入會比較突兀，學生也不容易接受，教師可以通過“土地分割”的故事激發學生的好奇心。

在巴比倫兩河流域，有四位兄弟本來相安無事地生活著，直到一天他們父親的去世打破了這一平靜，大家為了分割父親留下的一塊土地而爭論不休。土地為三角形形狀，請同學們利用所學的數學知識設計方法幫助這四位兄弟解決矛盾，回歸平靜的生活，同時也要對自己設計的方法有所說明，來說服四兄弟停止爭論。[6]

通過數學史設計問題，學生會產生濃厚的興趣，進而積極探索。教師可以先讓學生自己尋求解決問題的辦法，再根據學生的思考情況引出中位線這一概念，之后講述歷史上劉徽如何運用中位線推導三角形面積公式。講授歷史上數學家對中位線的應用可以讓學生對中位線有更加清晰的認識，輔助學生理解中位線。

(二)改編歷史名題，鞏固課堂新知

新穎的教學過程有利于學生掌握知識，同樣，有效的課后練習可以幫助學生更好地鞏固知識。教師在設置課后練習時應避免機械重復，可將數學史改編到練習中。以二元一次方程組為例[6]：

(1)“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問：雞兔各幾何？”(《孫子算經》)

(2)“今有牛二、羊五直金九兩，牛五、羊二直金十二兩，問牛羊各直金幾何？”(《九章算術》)

第一個“雞兔同籠”問題是比較經典的問題，學生可以根據以前所學知識運用一元方程解決。在學完本節課知識后，教師可以讓學生嘗試用二元一次方程組求解。第二個問題相對第一個問題較為復雜，學生一開始習慣運用一元方程列式子，算式可能比較復雜，甚至無法計算。這便會引起學生的思考，是否可以根據課上所學運用二元一次方程組解決：題目中有兩個未知量，那就設兩個未知數，進而根據題目列方程求解。這兩個問題的設置遵循循序漸進的原則，不是直接要求學生運用二元一次方程組，而是有一個知識的過渡，遵循學生的認知特點，給予學生消化新知識的時間，幫助學生通過練習達到掌握知識的目的。

改編數學史于練習題中，不僅可以讓學生鞏固課堂知識，也可以讓學生感受到數學的魅力。教師還可以給學生講解題目的出處，使學生感受到不同時代、不同國家的歷史文化，體會數學文化的多元性。

三、運用數學史傳承人文精神

(一)獲得真知，戒驕戒躁

數學的嚴謹性和邏輯性可以有效訓練學生的思維能力。例如，在證明數學定理時，學生要有嚴密的邏輯思維和推理能力。在推理過程中，學生首先要找到已知條件與結論之間的內在聯系，然后按照邏輯一步步地證明。整個過程中，學生嚴謹認真的態度尤為重要，中間每一步推理失誤都可能與結論失之交臂。通過學習數學史，學生可以了解數學家之所以取得偉大成就，是因為他們對問題的執著、對科研的嚴謹以及對數學真正的熱愛。這樣，當學生研究問題時便不會心浮氣躁，遇到困境時也不會輕易放棄。

(二)訓練思維，發展心智

數學學習過程中經常會出現一題多解的情況，但有的學生受思維定式影響，經常局限于一種思路。這時，教師可以介紹相關數學史實，讓學生從中找到更多精彩的內容和豐富多彩的方法。多樣的解題思路可以幫助學生走出思維定式，一定程度上也可以促使學生接納他人的想法。這一學習品質在生活中同樣需要：每個人的生活環境不同、想法不同，學生應該接受多樣性的存在。因此，學生學習數學史不僅可以訓練思維，還可以學會尊重與包容，從而促進心智發展。

(三)培養興趣，深入探究

因為抽象性，數學對很多學生來說是較為枯燥的學科。教師可以借助數學史激發學生的學習興趣，挖掘學生的學習潛力，促使學生積極主動地發現與感受數學的魅力。偉大的數學家陳景潤在哥德巴赫猜想方面做出了巨大貢獻，但他并不是一開始便鐘愛數學，而是偶然聽了沈元教授講授數學課后愛上了數學。課堂上，沈元教授講了如下故事：200年前有個法國人發現了一個比較有趣的現象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89。每個大于4的偶數都可以表示為兩個奇素數之和。因為這個結論沒有得到證明，所以還是一個猜想。大數學家歐拉說過：雖然我不能證明它，但是我確信這個結論是正確的。它像一個美麗的光環，在我們不遠的前方閃耀著炫目的光輝……[7]這一偶然的機會令陳景潤對數學產生了濃厚的興趣，從此沉迷于圖書館查找、閱讀大量書籍，為他以后的研究奠定了基礎。當前教學中，大多數學生只是沉浸于題海中，為了做題而做題。教師若在教學中加入數學史的內容，學生可能會緣于一個故事或一段歷史，真正愛上數學。

四、結語

愛因斯坦說：“教育不是用好勝心去誘導學生的競爭心理，而是要用好奇心去激勵學生的科學興趣。”[8]融數學史于數學課堂教學可以讓學生明白數學并不是一門枯燥無趣的學科，而是一門富有豐富內涵的有趣的學科。融數學史于數學課堂教學可以提高學生的學習積極性，激發學生學習數學的興趣，促進學生正確數學觀念的形成；也可以激勵教師深入學習數學史，運用數學史武裝教學，不斷提高自己的教學技能。只有不斷將數學史與實踐結合起來，才能更好地促進數學史的蓬勃發展，為現代教學課堂提供更加豐富的素材。