淺談拉格朗日中值定理在證明等式中的應用

張煜銀 田旭昌

【摘要】拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，建立起了函數值與導數之間的定量關系，成為我們討論由導數的已知性質推斷函數所具有的性質的有效工具.本文主要描述了拉格朗日中值定理的內容，同時結合實例對拉格朗日中值定理在證明等式中的應用進行探究.

【關鍵詞】拉格朗日中值定理;證明等式;應用探究

在微積分中，羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理一般都稱為微分中值定理，這一組定理是微分學的理論基礎，而拉格朗日中值定理更是微分中值定理的核心，具有承前啟后的作用，是羅爾定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，更是泰勒公式的弱形式（一階展開式），它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系.拉格朗日中值定理的應用十分廣泛，比如，在求極限、證明等式、證明不等式、研究單調性、導數估值方面都具有重要的意義，通常能將問題化難為易，下面主要對拉格朗日中值定理的內容以及在等式的證明方面進行詳細的闡述.

一、拉格朗日中值定理的內容

定理?如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，那么至少存在一點ξ∈（a，b），使得：f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

拉格朗日中值定理又稱為有限增量定理，其結論稱為拉格朗日公式，還有以下幾種等價形式：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），a<ξb都成立，而ξ是介于a與b之間的某一定數.

二、運用拉格朗日中值定理證明等式

（一）證明恒等式

眾所周知，如果函數f（x）在某個區間I內是一個常數，那么f（x）在此區間內的導數就恒為零.事實上，它的逆命題也成立，即：如果f（x）在某個區間I內的導數恒為零，那么f（x）在I內是一個常數.這個結論稱為拉格朗日中值定理的推論.

例1?證明當x≥1時，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

證明?當x=1時，等式顯然成立，當x>1時，令 f（x）=arctanx-12arccos2x1+x2，

f′（x）=11+x2-12·-11-（2x1+x2）2·2（1+x2）-4x2（1+x2）2

=11+x2+1+x2x2-1·1-x2（1+x2）2=0.

由拉格朗日中值定理的推論可知，f（x）≡C（C為常數）.

令x=3，代入上式可求得C=π4.

綜上所述，當x≥1時，arctanx-12arccos2x1+x2≡π4.

（二）證明含單中值的等式

在一些證明題中有時會出現這樣的情形：“如果抽象函數f（x）滿足一系列條件，需要證明至少存在一點ξ∈（a，b），使得含有f′（ξ）或者f″（ξ）的表達式等于0”.解決這類題型，關鍵在于構造合適的輔助函數，常用的方法是從結論入手，推測出輔助函數F（x）的形式.其步驟主要有三步：① 將結論中的ξ改為x，得到一個關于x的新方程G（x）=0;② 通過對方程G（x）=0進行變形、求不定積分等構造出輔助函數F（x），這一步主要是將f（x）的導數進行降階，使方程的最高階數降低一階，需要注意的是，通常對方程 G（x）=0兩邊求不定積分后出現的任意常數C需要省略;③ 驗證構造的輔助函數F（x）滿足拉格朗日中值定理的條件，然后證明相應的結論.

例2?設f（x）在[0，a]上連續，在（0，a）上可導，且f（a）=0，證明：存在一點ξ∈（0，a），使得f（ξ）+ξf′（ξ）=0.

分析?將結論中的ξ換成x，等式變成f（x）+xf′（x）=0，對等式兩邊同時求不定積分可得xf（x）=C，從而可構造輔助函數F（x）=xf（x）進行證明.

證明?設F（x）=xf（x），則F（x）在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一點ξ∈（0，a），使得F（a）-F（0）=F′（ξ）（a-0），由f（a）=0可知，F（a）=F（0）=0，則F′（ξ）=0，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，故原結論得證.

（三）證明含雙中值的等式

有時一些證明題中還會出現更復雜的情形：“如果抽象函數f（x）滿足一系列條件，需要證明存在兩點ξ，η∈（a，b），使得含有ξ，η的導數滿足某個方程”.解決這類題型，需要兩次運用拉格朗日中值定理，同時要設法在ξ與η之間建立一座“橋梁”，建立起ξ與η之間的某種關系.其方法步驟主要有三步：① 從結論中的等式出發，將分別含有ξ與η的表達式放到一起;② 分析式子的特征，通過求不定積分等構造出輔助函數F（x）;③ 對F（x）兩次運用拉格朗日中值定理，分別得到關于ξ與η的兩個表達式，然后整理可得相應的結論.

例3?設函數f（x）在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f（0）=0，f（1）=13，證明：存在ξ∈0，12，η∈12，1，使得f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2.

分析?首先將結論進行移項得（f′（ξ）-ξ2）+（f′（η）-η2）=0，再將ξ與η換成x后發現兩部分具有相同的結構特點f′（x）-x2，積分求出輔助函數為F（x）=f（x）-13x3，然后在兩個子區間分別運用拉格朗日中值定理，最后對兩個等式進行整理即可證明.

證明?設F（x）=f（x）-13x3，則F（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一點ξ∈0，12，使得F12-F（0）=F′（ξ）12-0，

即2f12-112=f′（ξ）-ξ2，①

同理，至少存在一點η∈12，1，使得

F（1）-F12=F′（η）1-12，

即-2f12+112=f′（η）-η2.②

由①+②可得：f′（ξ）-ξ2+f′（η）-η2=0，

即f′（ξ）+f′（η）=ξ2+η2，故原結論得證.

三、結束語

在微積分中，拉格朗日中值定理是一個十分重要的知識點，涉及的領域十分豐富廣泛.本文主要探究了拉格朗日中值定理在證明等式方面的應用，此外還可以研究函數的一些其他性質，這些都需要我們從更多的角度去觀察、審視，真正體會到拉格朗日中值定理的重要價值.同時，通過探究，有助于開闊我們的數學視野，發展我們的數學思維能力，對拉格朗日中值定理也會有更加深入的認識.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.微積分（第三版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）：上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]李延波，刁爽.拉格朗日中值定理的應用[J].廣西師范學院學報（自然科學版），2017（2）：133-136.