估算認識的兩個誤區

夏冰

【摘要】部分小學教師對估算的認識還存在兩個誤區：一是認為估算只有好與壞之別，沒有對與錯之分;二是認為估算是粗略的計算，估算結果只能是粗略值而不能是精確值.這兩種認識都是錯誤的，這主要是由于小學教師對估算概念的認識不夠清晰而造成的.本文將結合實例來加以說明.

【關鍵詞】小學;教師;估算;認識;誤區

一、估算存在的兩個誤區

《小學數學課程標準（2011版）》加強了估算在小學的教學[1]，將“數量的估計”作為重要的教學內容，并在不同學段提出不同的要求.在小學校舉行的教學比賽或觀摩討論課，也多選擇估算這一內容來進行.隨著教師對估算教學的不斷重視，對估算教學的研究不斷深入，大部分教師對估算教學誤區進行了研究，特別是對估算認識中出現的問題進行了探討和糾正.如司繼偉糾正了“估計值不是要得到的最終答案”“估算沒有標準答案”等錯誤認識[2].在對小學數學教學進行調研時，筆者了解到部分小學教師對估算還存在兩個的誤區：一是認為估算只有好與壞之別，沒有對與錯之分;二是認為估算是粗略的計算，只能估算出近似值而不能是精確值.這也反應部分小學教師對估算的概念還不夠清晰，對估算的評價標準還不夠明確.以下筆者結合實例來澄清這兩個問題.

二、估算不僅有好壞之分，還有對錯之別

例1 估算8×12.

教師與學生共同討論，其估算方法大致分為以下三種：

法一：把8取整，估算結果為120.此估算方法稱為增大取整.

法二：把12取整，估算結果為80.此估算方法稱為減小取整.

教師指出，后一種估算比前一種估算好，這兩種方法都叫做取整方法，是小學估算的主要方法.

法三：若把8和12都取整，其結果為100，此估算方法最好，稱為調整（調小增大）.

以上三種方法都是正確的估算，但方法有好壞.

什么叫估算方法的好壞呢？我們用估算的值與精確值之差的絕對值和精確值的比的大小來衡量，一般來講，比值越小，估算方法就越好;比值越大，估算方法就越壞.這樣來看，“法一”的比值為0.25;“法二”的比值為0.17;“法三”的比值為0.04.所以“法三”最好，“法一”最壞.這是當前多數教師對估算的認識.

現在我們來考慮以下兩個問題：

問題1：甲估算8×12的值是小于150;

問題2：乙估算8×12的值大約是150.

甲和乙都是把8取10，把12取15，這樣估算的結果都是150，那么這種方法在這兩種情境中得到的估算結果是否有好壞之分，對與錯之別呢？這就需要弄清估算的概念，才能回答這個問題.

那么什么是估算的概念呢？沈威、曹廣福在研究了司繼偉等人對估算認識的成果后進一步指出：“估算是主體結合數學情境運用已有數學計算經驗產生一個相對快速且滿足一定條件的、與計算有關的、判斷的心理加工過程[3].這是估算概念的最新定義.該定義對小學教師和學生而言，還不夠通俗易懂.因此我們可以這樣給出估算的概念：在一定范圍內對數值的大小給出的一個粗略估計叫做估算.這里的“一定范圍”分兩種情況：一為指定范圍，二為常識范圍.一般來講，估算有一個明確的指定范圍，如“比什么數大（小）”.如果沒有明確的指定范圍，則有常識范圍，如“大約是多少”.也就是說估算總是在“一定范圍”內進行的，這種范圍要么是指定的，要么是常識的，但都有范圍，這一點要明確.如果估算的值在“一定范圍”內，則估算有好壞之分，如果估算的值超過了這個范圍，則該估算是錯誤估算，這就有對錯之別.

例1中的“一定范圍”是“常識范圍”，即是80到120的開區間.所以他們有好壞之分.問題1的“一定范圍”是小于150，是“指定范圍”.在該范圍內也有好壞之分.而問題2的“一定范圍”則是“常識范圍”，是80到120的開區間.150超過了這個范圍，所以它是錯誤估算，這就沒有好壞之分，只有對錯之別了.因此判斷估算的對與錯、好與壞，主要看估值是否在“一定范圍”內，若估算之值在其內，即是正確估算，則估算有好壞之分，如果估算之值不在其內，則是錯誤估算.因此估算不僅有好壞之分，也有對錯之別.

三、估算也可以估算出精確值

對于第二個誤區“估算結果只能粗略值而不能是精確值”，我們來討論下列問題：

例2 估算35×45.

這里要用到一個估算結論：兩數之積，以平均數自乘為最大.兩乘數離平均數越遠，其積越小.如8×12的積，以平均數10自乘（10×10）為最大.8×12就比9×11小.

“常識范圍”是辯證的.35×45的常識范圍可以是大于1 200小于2 000，也可以是大于1 400小于1 750.依據當事人的估算認知水平而定.我們使用調整的方法：將35調小為30，將45調大為50，因此得到35×45>30×50=1500，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 525.

也可以這樣估算：將35調大為40，將45調小為40，所以35×45<40×40=1 600，由于5×5=25，因此估算35×45大約是1 600-25=1 725.

首先明確“一定范圍”是“常識范圍”，即大于1 500小于2 000，或大于1 400小于1 750.1 525在這個范圍內，1 725也在這個范圍內，所以這兩種估算都是正確的.而后一種方法卻估計出了精確值.以此方法，我們也可估算出35×35為1 225，也是正確估算.至此我們認為，估算也可以估算出精確值.

根據估算方法好壞的概念，能估算出精確值的估算就是最好的估算.所以，估算的結果可能是一個粗略值，也可能是精確值.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]司繼偉.小學估算教學的常見誤區及對策[J].學科教育，2002（5）：27-30.

[3]沈威，曹廣福.數學估計及中國數學課程標準對其的培養要求[J].數學教育學報，2015（4）：37-43.

[4]鄧丹丹.走出“估算教學”的誤區[J].數學教學通訊，2016（7）：36，46.