探究一類解析幾何最值問題解法

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

一、典型題目

2.(2017年全國高考數學理科Ⅰ卷第10題) 已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( .

A.16 B.14 C.12 D.10

二、試題分析

從高考題題號我們不難發現，這兩道題分別是當年全國高考數學理科卷的把關題、重要題.題目綜合考查直線和橢圓、拋物線的知識，背景簡單，問題樸實，本質相近.學生上手容易，深入難，得高分更難，對學生的運算能力要求較高，若直線方程形式選擇恰當，可以大大減小難度.反之，一籌莫展.

三、解法探究

解答此題的一般思路是先求出焦點坐標，再設直線PQ的斜率為k，用點斜式(特殊情況,另行說明)寫出直線PQ的方程，然后將直線代入曲線，利用韋達定理、弦長公式求出|PQ|，借助兩直線的垂直關系，同理求得|MN|.最后建立四邊形PMQN的面積關于k的函數，求其最值，得解.事實上，這種方法學生很難處理最后的函數關系以及最值求解，導致前功盡棄！(有興趣的老師可以試一試)

通過研究發現，直線標準式參數方程是解決此類與“長度”相關的解析幾何最值問題的好辦法.

1.介紹直線參數方程

2.應用直線參數方程

例1(2005年全國高考數學理科Ⅱ卷第21題)

整理得(1+cos2θ)t2+2sinθt-1=0，由韋達定理得

由已知得，直線MN與直線PQ垂直，則直線MN的傾斜角為θ±90°，則

評析此法避開了直線斜率存在與不存在引發的討論.S與θ的函數關系簡單明了，思路連貫，解答所用知識都是最重要、最常見，學生易于掌握的的內容.最重要的是最值容易求得.此法有效避開了傳統解法的繁雜運算，不失為一種捷解！

例2 (2017年全國高考數學理科Ⅰ卷第10題)

整理得sin2θt2-4cosθt-4=0，

由已知得，直線AB與直線DE垂直，則直線DE的傾斜角為θ±90°，則

所以選A.

例3已知F為拋物線C:y2=2x的焦點，過F作直線l，與C交于A、B兩點，則三角形OAB面積的最小值為.

整理得(sin2θ)t2-(2cosθ)t-1=0，

四、總結提升

對于直線與圓錐曲線相交，并且是以長度為基礎的最值問題，解答方法較多.其中利用直線的標準式參數方程作答最為簡捷.解題步驟是：先找到直線經過的定點，再設定直線的傾斜角，再寫出直線標準式參數方程，然后聯立直線和曲線，依靠韋達定理，應用參數t的幾何意義得到弦長，最后借助三角函數求得最值.

變式題已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點(B,E在第一象限)，則四邊形ADBE面積的最小值為____.

略解由例2解答知，

一般地,由直線參數方程易得：若MN，PQ是過拋物線y2=2px的焦點F的兩條互相垂直的弦，則|MN|+|PQ|的最小值為8p；四邊形ADBE面積的最小值為8p2(N，Q在第一象限).

波利亞說過：中學數學教學的首要任務是加強解題訓練.但是數學教師如何才能讓教學不掉入“題海”之中呢？關鍵在于對問題的全面深入研究，教給學生最為簡捷的方法，使之能成為學生的技能，在解題中能熟練運用！使學生能舉一反三，觸類旁通.達到“做一題，會一片，懂一類”的效果.只有這樣，我們才能保證教學的有效性.