他山之石，也可攻玉

葛雨春

[摘? 要] 類比是運用已有的學習經驗去解決新的類似問題的一種學習方法. 其作為數學學科最重要的思想方法之一，讓學生掌握類比的方法，是幫助學生構建認知圖式、提高問題解決能力的重要途徑. 文章以初中幾何為例，探討了幾種類比方法的實踐應用.

[關鍵詞] 初中數學;類比思想;初中幾何;課堂教學

類比是一種學習的方法. 在數學領域，類比作為數學思想之一，占據著重要的地位，影響著學生學習數學的全過程. 類比思想的具體表現，可通過學生學習的不同階段反映出來. 其中，在小學階段，類比的主要特征是模仿;在初中階段，類比的主要特征是運用學習經驗，解決同類問題;在高中階段，類比的主要特征是知識遷移;而在大學階段，類比則表現在能力遷移層面. 由此可見，讓初中生掌握類比的思想方法，對他們當下以及未來的學習和成長具有重要的意義. 類比的方法有很多種，教師可以引導學生在解決不同問題時運用不同的類比方法，以此拓寬學生的視野，培養學生的靈動思維. 本文以初中幾何為例，探討了幾種類比方法的應用.

圍繞“線少”與“線多”進行類比

幾何的研究重點是空間結構，而構成空間結構的要素之一，是“線”. 對于初中生來說，初次接觸難度較大的幾何知識時，他們往往會對錯綜復雜的幾何線感到力不從心，進行計算時容易出錯，主要原因在于，初中生缺少縝密的思維，分析問題時缺乏條理性，難以區分相似問題之間的差異，過于依賴概念或定義，從而加大了解題的難度. 為此，教師可從“線”出發，引導學生圍繞幾何線展開類比：首先明確“線”在問題中所表達的含義;其次，理順解題思路.

例1? 如圖1，點D在△ABC的邊AB的延長線上，AE和BE分別平分∠CAB和∠CBD. 設∠C=x°，∠E=y°，求證：y=■x.

分析？搖 很多學生在解決這一問題時，容易把注意力放在“∠C=x°，∠E=y°”這一已知條件上，分析“AE和BE分別平分∠CAB和∠CBD”與“∠C=x°，∠E=y°”之間的關聯性，而忽略了“線”在這一問題中所占據的重要地位. 嚴格來說，“線”是構成“角”的重要前提. 分析本題中包含了幾條線，及它們的主次，“線”越多，本題的難度越大，而探析主要“線”與“y=■x”之間的聯系，才是解決這一問題的正確突破口，如AE和BE對∠CAB和∠CBD的影響. 在這樣的前提下，我們可以引導學生回歸到最初的解題思路上，從而分析已知條件.

解答？設∠CBE=∠DBE=a°，∠CAE=∠EAB=b°，則有2a=2b+x，a=b+y. 所以2（b+y）=2b+x，解得y=■x.

例2？搖 如圖2，點D在△ABC的邊AB的延長線上，AE和AF三等分∠CAB，BE和BF三等分∠CBD. 設∠C=x°，∠E=y°，試用x表示y.

分析 此題與例1相比，明顯加大了難度. “AE和AF三等分∠CAB，BE和BF三等分∠CBD”，隨著“線”的增多，角也增多了，學生分析問題的過程也將更加煩瑣. 為此，教師可以引導學生運用已有的學習經驗，借鑒解決例1的思路和方法，仍然從“線”入手，首先分析本題中包含了哪些“線”及其主次，如此題仍然以△ABC為研究對象，但增加了AF和BF兩條線，雖然如此，仍然可以采用相同的方法來解決本題.

解答設∠CBF=∠FBE=∠EBD=a°，∠CAF=∠FAE=∠EAD=b°，則3a=3b+x，a=b+y. 所以3（b+y）=3b+x，解得y=■x.

初中生的幾何知識基礎較為薄弱，缺乏對數學思想方法的認識及應用能力，為此，教師可從類比思想的簡單應用入手，首先讓學生了解什么是類比思想方法，其次由淺至深，引導學生以“線”為切入點，從“線少”向“線多”類比，逐漸加大解題難度，讓學生通過類比不斷提高能力層次，從而提高學生的問題解決能力.

圍繞“形內”與“形外”進行類比

“形”是幾何的靈魂，學習初級幾何知識或解決簡單的幾何問題時，無論是平面圖形還是立體圖形，都需要先從“形”入手，分析幾何圖形的特征，梳理已知條件，來確定解決問題的思路和方法. 而“形”也是數學的另一個思想方法——數形結合的構成要素之一，以形定數，以數解形，使抽象的數學問題具象化，對提高學生的解題效率具有重要意義. 因此，教師可圍繞“形”引導學生進行類比，以培養學生的數學思維.

例3？搖 如圖3，在△ABC中，D，E分別在AB和AC上，如果沿著DE折疊△ABC，點A恰好落在△ABC內的點F處，求證：∠1+∠2=2∠DAE.

分析此題最大的特點是涉及的角眾多. 面對本題，學生易被折疊前與折疊后△ABC的變化及其角的相互聯系所誤導，從∠ADE和∠DFE的視角來分析本題，而忽略了所有計算活動都在△ABC的形內完成，即點A落在點F上之后，∠DFA，∠DAF與∠1，∠2之間的關聯. 因此，教師可以引導學生以“形”為切入點，運用所學的翻折變換相關知識，來解決“形”的折疊問題.

解答？搖 連接AF，則∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠1+∠2=∠DFE+∠DAE. 又由翻折知∠DFE=∠DAE，所以∠1+∠2=2∠DAE.

例4 （在例3圖形的基礎上，由“形內”向“形外”拓展）如圖4，在△ABC中，D，E分別在AB和AC上，沿著DE折疊△ABC，使點A落在△ABC外的點F處，探究∠1，∠2，∠BAC三者之間的關系.

分析 本題的突破口仍然在于點A與點F的重疊上，然而，即便有了例3的解題經驗，但慣性思維會使初中生仍然將注意力停留在∠ADE和∠DFE層面，而忽略了點F在△ABC外，以及折疊后出現的∠DFA和∠DAF. 與“形內”解題不同，在“形外”解題時學生會遇到很多的隱性條件，尤其是因幾何圖形變化而衍生出新的圖形. 如本題中，沿DE向外折疊，連接AF后便給出了解題的基本方向，即∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF.

解答連接AF，則∠1=∠DFA+∠DAF，∠2=∠EFA+∠EAF. 所以∠2-∠1=∠EFA+∠EAF-∠DFA-∠DAF=∠EFD+∠EAD. 由翻折知∠EFD=∠EAD，所以∠2-∠1=2∠EAD=2∠BAC.

對于初中生來說，“形內”解題難度較小，關鍵在于學生能否建立起“形”的概念，能否在面對一道幾何題時首先由“形”入手，建立起契合幾何知識特性的解題觀，進而通過類比遷移，運用幾何的思想方法，來解決學習和生活中遇到的幾何問題. 因此，圍繞“形內”與“形外”進行類比，是提高學生數學素養的重要途徑.

圍繞“一般”與“特殊”進行類比

在幾何圖形中，一般圖形所涵蓋的范圍較大，如正方形、長方形、三角形等. 相較之下，特殊圖形往往是由一般圖形變化而來的，如上述案例中的圖形折疊. 因此，教師可以引導學生圍繞“一般圖形”與“特殊圖形”進行類比，充分運用已有的知識經驗，簡化遇到的幾何問題，用類比的思想方法進行數形結合，從而降低解題難度，提高解題能力.

例5如圖5，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點P在BC上，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，求證：PD+PE=CF.

分析面對這道幾何題，教師可以引導學生從三角形的概念入手，首先將該題轉化為一般圖形，運用之前學過的幾何基礎知識，從垂直的角度，先連接AP，然后通過分析圖形得出PD，PE，CF均為三角形的高這一結論，最后通過計算確定三者之間的數量關系.

解答？搖 連接AP，因為S■+S■=S■，又PD，PE，CF分別是△APB，△APC和△ABC的高，所以■·AB·PD+■·AC·PE=■·AB·CF. 又AB=AC，所以PD+PE=CF.

例6？搖 （在例5的基礎上，教師可以將一般圖形轉化為特殊圖形）如圖6，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點P在BC的延長線上，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，探究PD，PE，CF之間的數量關系.

分析 嚴格來說，初中生對幾何中一般圖形的認識和理解根深蒂固，相關概念較為簡單，因此能夠充分地應用于解決新問題中. 如例5，△ABC作為“一般圖形”，學生對相關概念較為熟悉，能夠從PD，PE，CF入手，通過三角形的高來化解問題. 而轉化圖形（例6）后，學生通過已有經驗，運用類比的方法來解決關于“特殊圖形”的復雜問題，也會更加得心應手，且能提高解題的準確度和有效性.

解答 連接AP，因為S■+S■=S■，又CF，PE，PD分別是△ABC，△ACP和△ABP的高，所以■·AB·CF+■·AC·PE=■·AB·PD. 又AB=AC，所以CF+PE=PD.

一般來說，初中生的數學思維模式還較為簡單，對于已經接觸過的數學思想方法，很多時候還不懂得如何運用，為此，教師可以立足初中生的實際情況，由簡入繁，讓學生圍繞“一般”和“特殊”進行類比，以此來鞏固學生的已學知識，幫助學生建立新的認知圖式.

結語

在教學實踐中，可應用的類比方法還有很多，如幾何圖形的“同側”與“異側”類比，點、線、面的類比，圖形構成元素的類比，等等. 總之，作為一線教師，應充分認識類比思想在初中生學習數學過程中的重要性，進而因地制宜，靈活運用數學類比思想方法，為學生打造一個類比遷移的學習平臺，從而為學生當前和以后的學習奠基，推動學生在數學的道路上一路前行.