淺談高等數學中的思想方法及其教學建議

■張芙敏

（浙江東方職業技術學院）

數學是一門非常重要的學科，它與人類的生活和發展密不可分，社會主義現代化建設的各行各業都需要數學。認識數學、研究數學、應用數學到什么程度，主要看人們對數學思想方法掌握得怎么樣。[1]數學的顯性知識點如概念、定理、公式等可能會隨著時間的推移被淡忘，但基于顯性知識的數學思想方法它將化為內生知識可隨時隨地發生作用。數學思想方法對人的能力的培養及素質的提高都具有非常重要的作用。因此在高職高等數學教學中，我們應加強滲透數學思想方法的教學。

1 高等數學中數學思想方法的主要內容

所謂“思想”是：客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。而“方法”是：關于解決思想、說法、行動等問題的門路、程序等。

數學思想方法是人們對數學內容本質的認識，是對數學知識的抽象與概括，屬于對數學規律的理性認識的范疇[2]。

高職《高等數學》教學內容主要包含函數與極限，導數與微分，導數的應用，不定積分、定積分、定積分的應用等。其中的數學思想方法可分為三類：一是思想觀點類。如：函數思想，極限思想，轉化思想，方程思想，數形結合思想等。二是思維方法類。如：猜想，歸納（從特殊到一般），分析與綜合，抽象與概括，觀察，類比，演繹與證明等等。三是技能技巧類。如：換元法，配方法，待定系數法，有理化，坐標法等等。

2 高等數學教學過程中滲透數學思想方法教學的建議

在高等數學教學過程中數學思想方法教學是一項長期且需不斷挖掘的工作，需要教師們不斷總結、學習、分享。如何在高數教學過程中滲透數學思想方法，筆者認為應做到以下幾點。

2.1 教師在思想上應重視數學思想方法教學

只有思想重視，才有行動支持。數學知識，如概念、定理、公式，都明顯地寫在教科書上，大綱有要求，肯定不會被忽視，而數學思想方法是隱于知識教學過程中，教學大綱考綱都不會被呈現，容易被忽視甚至忽略。所以教師只有在思想上重視數學思想方法教學，才會在教學過程中滲透數學思想方法教學。

教師在備課時可注意該知識點相關的數學思想方法，并從教材中不斷挖掘、提煉，并將該知識點涉及的數學思想方法與該知識點一同納入教學目標中，這樣在做教學設計時必會設計好滲透數學思想方法的教學。

如在講導數的概念時，教師不僅要解決函數在某一點的導數“是什么”的問題，更要解決的是“是怎樣想到的”問題及在概念形成過程中所體現的極限思想。如導數定義引例中一例子。

已知自由落體運動的路程s與所經過的時間t的關系是：

求：（1）3秒到3+Δt秒的平均速度；

（2）3秒時的瞬時速度。

在解該題時，教師不能只滿足解出題目結果，而應將它的3秒時的瞬時速度如何實現等于3秒到3+Δt 秒的平均速度的這個思維過程傳給學生，也就是其中涉及的極限思想得讓學生感受到。

2.2 教師在教學中應注意數學思想方法教學的反復性

數學思想方法尤其是思想觀點類的，它具有高度的抽象性，沒有固定的形式，有時只是一種思想意識，它需要教師反復滲透，不斷讓學生體會，才能逐漸被學生掌握。因此，教師在教學過程中，當遇到類似數學思想方法時，應不失時機地告訴學生，讓學生不斷體會，領悟，深化，才能達到有意地，自覺地應用此思想方法。

例如前面提到的極限思想，當講到定積分的概念時，又會涉及。教師應抓住時機，讓學生再次體會、領悟。如：

【例2】 求曲邊梯形的面積。

解題主要過程：（1）分割——分曲邊梯形為n個小曲邊梯形

（2）近似代替——用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積

（3）求和——求n個小矩形面積之和

（4）取極限——由近似值過渡到精確值

其第四步就涉及極限思想，在講到該點時，要注意讓學生體會、領悟極限思想。當然，此時已是第二次講到該思想方法，教師在教案設計時要注意以引導為主，讓學生自己想到此思想方法，培養學生潛意識里會應用此思想方法的能力。

2.3 教師在教學中應注意數學思想方法教學的系統性

數學思想方法教學的系統性需從縱橫兩個方面去把握：縱向是這一數學思想方法在教學過程中可以借助哪些知識點來滲透；橫向是這一數學知識點可以進行哪些數學思想方法的滲透。教師在教學中應注意從縱橫兩個方面對數學思想方法教學進行系統研究，從而能循序漸有的放矢的讓學生掌握相應的數學思想方法。下面以縱向為例。比如構造函數思想，它是一種重要的數學思想方法，在高等數學解題中經常用到。高等數學教學中涉及該思想方法的有以下幾個知識點：

（1）零值定理。

如：【例3】證明方程x5-3x+1=0在區間（0，1）內至少有一個根。

證明：令f(x)=x5-3x+1，則f(x)在[0,1]上連續。

又f (0) =1,f (1) =-1，

根據零值定理，有ξ∈(0,1)使f(ξ)= 0。

即 方程x5-3x+1 = 0在區間（0，1）內至少有一個根ξ。

（2）最值問題——最小成本最大利潤問題。

教師只有清晰課程中數學思想方法的系統內容，才能在教學過程中更加自如地滲透數學思想方法的教學。

總之，數學思想方法是以數學知識點為基礎又高于數學知識點的一類隱性的數學知識。數學思想方法教學的重要性也已被越來越多的教學工作者們所重視。如何在教學中滲透數學思想方法仍是一個任重道遠的重要課題，需要廣大教學工作者們投入更多的時間和精力去共同探討和研究。