用方程解決問題的“基礎、能力與思想”

摘 要：方程是學生認識數量關系過程中的一個飛躍與轉折點，列方程解決問題，打破了傳統的用算術方法的解答，讓學生經歷用字母表示未知數并參與計算，使數量關系等在邏輯思維層面更加簡單。列方程解決問題給學生又提供了解決問題的另一種策略，這種策略既是學生解決問題能力發展的需要。然而在實際教學中，學生的思考方式往往和代數思想存在著矛盾，我們發現學生主動用方程解決問題的意識比較淡，方程思想扎根淺。這對小學生思維發展而言，在學習列方程解應用題的時候自然會遇到很多困惑。

關鍵詞：方程，基礎，數學

從算術到代數，是學生認識現實世界數量關系過程中的一個飛躍，也是小學生學習數學的一個轉折點。用方程解決問題是小學階段數學教學的一個重要環節，列方程解決問題改變了以往解決逆思維題目用算術方法解答而學生很難理解的困惑，它符合學生的認知規律和知識基礎，易于學生運用知識的遷移、結合正向思維正確解決問題。方程解決問題邏輯思維顯得更加簡單順利但為什么學生不喜歡使用呢？原因出在哪里？我們調查一些學生了解出在的問題與困惑，歸納如下：格式要求太煩瑣、等量關系找不到、方程優勢悟不到，我們根據教材的特點，依據學段目標，學生的學情，針對以上現象，對列方程解決問題作了一些教學方法等的探索和嘗試。

一、 重視方程的來源基礎，為學生“愿學”掃平障礙

方程知識是“數與代數”領域的重要內容，而用“字母表示數”是列方程的基礎。因此教師要重視這部分內容的教學，做一個有心人，結合新知學習，概念建立和練習設計等環節培養學生把未知數和已知數放在同等地位，逐漸培養學生“愿學”的意識。

（一）讓學生認同用字母表示數或者表示關系

加法運算定律、乘法運算定律、減法性質、除法性質、計算公式等，如果這些讓學生用文字表述出來，大部分表述不清楚，有的時候還會混淆，非常難記。但是學習了用字母表示數后，如果將這些用字母表示出來，學生十分喜歡，因為用字母表示簡潔、明了，便于記憶。在這樣的訓練與熏陶下，學生慢慢地被接受，也慢慢地喜歡上用字母表示數。

（二）讓學生經歷構建數量關系代數式的過程

1. 學會用字母表示關系

如：小明今年a歲，媽媽比小明大20歲，媽媽今年幾歲？a+20既表示媽媽的年齡，也表示媽媽比小明大20歲。從這里，學生發現含有字母的式子不僅可以表示數量也可以表示兩者之間的關系。這一過程，恰恰是列方程解決問題一個不可或缺的部分。學生在經歷的過程中，學會用字母表示的同時理解并掌握它的意義，讓代數思想慢慢地融入學生的數學世界里。

五年級列方程解決問題是起始階段，因此在教學中，可設計一些練習，為列方程解決問題作鋪墊。練習內容可設計如下：

用含有字母的式子表示下列數量關系。

①比x少20的數是（ ? ）。

②比x的5倍多3的數（ ? ）。

③c與9的和的8倍是（ ? ）。

④一支鋼筆x元，一塊橡皮y元。15支鋼筆需要（ ? ）元，30元能買（ ? ）塊橡皮。30支鋼筆和50塊橡皮一共（ ? ）元。

⑤小明家的書房的面積是n平方米，客廳的面積是書房的3倍，書房和客廳的面積一共是（ ? ）平方米。客廳的面積比書房多（ ? ）平方米。

雖然學生對方程有了一定的基礎，但六年級也不可忽視，因此也可設計以下內容進行練習：

①甲數是x，乙數是甲數的2/3，乙數是（ ? ）。

②一本故事書有x本，小紅看了這本書4/8，還有（ ? ）沒有看。

③六年級4個班共做了x面紅旗，其中1班做了1/6，2班做了2/9，3班做了4/15，1班和2班一共做了（ ? ）面，3班做了（ ? ）面，4班做了（ ? ）。……

這樣的練習，旨在讓學生慢慢地習慣將未知數參與列式。在訓練中，學生的抽象概括能力得到提升，符號意識得到增強，為后續列方程解決問題打下基礎。

2. 經歷用數學語言敘述出代數式

培養學生把未知數x和已知數放在同等地位來分析，并能正確、熟練地列出代數式。因此，在課堂教學中應強化以下兩點：

（1）訓練學生對代數式和數學語言進行“互譯”。

例如：把下列代數式用數學語言表述出來：①5x-6，②5×6+4x。用代數式表示出下列數量關系：①x與8的和，②15與y的商，③x與9的積。

（2）訓練學生把日常語言“翻譯”為代數式。

比如：“羊的只數比牛的5倍少28只”，先用數學語言表述出“比某數的5倍少28”，再用代數式表示，“5x-28”。其意義在于讓學生真正明白每個代數式所表示的實際意義，為學習列方程解決問題減緩了學習的坡度，化解部分難點，掃除其中的障礙。

二、 以構建等量關系式培養學生代數能力

列方程解決問題的關鍵是在于能根據實際問題找出數量間的相等關系，而同一個實際問題等量關系關系式變化很多。因此，教學中應重點教給學生從實際問題中分析數量關系的方法，讓學生掌握基本規律，形成正確的解題思路。這樣不僅僅是學到列方程解決問題的本領，還學到了根據等量關系，選擇方法的一些技巧。

（一）培養學生尋找等量關系的能力

培養學生尋找等量關系是基礎的能力。分析數量關系是列方程解決問題的關鍵，著力培養學生尋找等量關系的能力是教學的重點。

1. 從常見數量關系中尋找等量關系

如：路程=時間×速度，工作總量=工作效率×時間，總價=單價×數量，以及各種形體周長的計算公式。經常性的復習一些常見的等量關系，有利于學生列方程時尋找等量關系。

此外，還可以從常見的“和、差、倍、分”問題入手尋找等量關系。教材中最基本最常見的數量關系：單價×數量=總價、速度×時間=路程、速度和×時間=路程、工作效率×工作時間=工作總量等，這幾個數量其實與生活息息相關，理解起來比較容易。

2. 利用數形結合尋找等量關系

數和形在客觀世界中是不可分割地聯系在一起的，數形結合的思想常常貫穿在數學教材之中。一般地，學生在感知問題情景的基礎上，畫出示意圖，采用數形結合的方法分析數量關系。

如：小紅從家出發，以每小時4千米的速度向郊外走去，3小時后，小芳也從小紅家騎自行車以每小時10千米的速度也向郊外騎去，多長時間后小芳能趕上小紅？

通過畫線段圖，幫助學生進一步抓住問題本質，把數量間內在的關系清楚地表達出來，從而更準確地列方程就顯而易見了。

（二）訓練學生列方程的能力

訓練學生列方程的能力，最基本的就是訓練學生用綜合分析法列方程，這是和尋找等量關系緊密結合進行的。所謂綜合法列方程，就是先假定題目中某一未知數為x，根據這個數與其他的已知數、未知數的關系，列出代數式，再根據題意找出等量關系，列出方程。

1. 利用關鍵字句的等量信息列方程。

解決問題有時盡管簡簡單單的幾句話，但大部分題目會出現一些特殊的關鍵的句，如果能抓住這些關鍵句解題就會很順利。在教學中，培養學生尋找關鍵句，并做一些特殊記號，會提高解題能力。

如：五年級教材例2。在教學中，首先讓學生找到關鍵句“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”。然后讓他們寫出等量關系，通過分析、比較得出最簡單的等量關系，再做一些通俗易懂的記號，列出最簡單的方程。如“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”這個關鍵句可寫成以下形式，雖不太嚴密，但確實很有效，學生理解容易。

2. 利用不變關系模型列方程。

利用所學的列代數式的基礎，將其最終用數學符號語言表示出來，列出方程解決問題。例如在期末復習時出現這樣一道題目：一件標價640元的服裝，在經物價部門審核后，價格降至240元，仍可獲利20%。那么如果以原價出售，則商家可獲利多少元？

在這個問題中，涉及成本、原價與現價三種價格，單位“1”是成本，獲利20%其實是現價與成本比較的結果，而獲利是原價與成本比較的結果，因此，求成本是多少是這個問題解決的關鍵。

在解決這個問題的過程中，采用何種設元方法存在爭議。有的建議采用了直接設元法，設獲利為x，也有采用了間接設元法，并用640-x的形式表示出了進價來計算，有些教師認為這樣的同學在數量關系的掌握上更清楚。對這樣的觀點，我們不以為然。在分數解決問題題中，我們一般設單位“1”為未知數來解題，這不僅因為題中分數與百分數的理解往往都是基于單位“1”的，而且在方程與函數觀念中，單位“1”的量往往作為題中的自變量，而其他的量是與其相對的應變量，準確尋找自變量是建立函數關系式的關鍵之所在（即成本的（1+20%）=售價，這樣的關系是不變的），是學生代數思維能力發展的一種體現。將簡單問題復雜化，這是小學方程認識中的一大誤區，也正是前述學生的困惑所在。

三、 比較體驗，感悟方程思想

由于受到知識水平和思維能力的限制，中、低年級學生解決問題的策略比較少，往往是以算術為主。學生已將這種方法視作經典，甚至是唯一。而“列方程解決問題”的策略，這種思維方式與算術方法有很大不同，學生在學習的過程中感受方程的思想，體會方程的價值，感悟到方程的魅力。

（一）正逆對比，體會優勢

科技書有1200本，故事書比科技書的2倍少4本，故事書有多少本？

故事書有1200本，故事書比科技書的2倍少4本，科技書有多少本？

這一組一正一反的兩道相關類型的題目，互相受干擾。這兩個問題的關鍵句相同，因此等量關系也相同：科技書×2-4=故事書的本數。第2題中未知數與已知數都參與運算，學生往往會列：1200÷2-4或1200÷2+4，等等。這一問題讓學生體會用算術法解決容易出現錯誤，而用方程解決則比較容易理解，方法簡單，正確率高，這正是用方程解決問題的優勢所在。

（二）難易比較，體會價值

方程最大的優勢就是用它來解決問題的實用性。當學生對方程有一定的基礎后，可練習一些簡單的題目，讓他們發現算術和方程一樣的簡單。當學生沉浸在成功的喜悅里，然后一百八十度大轉彎，讓學生做一些比較復雜、有難度的題目。如：“丟番圖最著名的墓志銘”為例：“丟番圖的一生，幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又過了七分之一才結婚，五年后生子，子先父四年而卒，壽為其父之半。”用算術計算的方法很難算出丟番圖的年齡，而用方程x/6+x/12+x/7+5+4+1/2x=x，由此知道丟番圖享年84歲。當學生在用方程解決了某個實際問題的后，所帶來的愉悅感，“原來方程這么有用！”，這才是方程最直接、最真實的實用性表現。

（三）方法比較，感悟思想

方法比較一般是指對于同一題目用多種方法進行解答，然后通過分析比較篩選找出最佳方法。解決問題學生一般會出現算術解或方程解。如：“雞兔同籠”，在教學中，筆者首先給予學生充分的探究空間，組織學生進行討論研究，出現了列表、假設、方程，抬腿法等方法并一一寫在黑板上，然后利用學生生成的資源進行比較分析。“你認為哪種方法更容易理解？”學生在交流和碰撞中領悟到：“方程法”其實是把“未知數”看成“已知數”，順向思維，而“算術法”逆向思維，理解起來更困難一些，還容易出錯，所以“方程法”比“算術法”更“好理解”。通過這樣的對比，有助于學生體會方程的價值，實現學生由“算術思維”向“代數思維”的轉變。

方程，它的引入讓學生踏上了數學學習的新領域，是數學思想方法認識上的一次飛躍，它將使學生發現和提出問題，分析和解決問題的能力，以及思維的靈活性提高到一個新的水平。

參考文獻：

[1]惠君玲.例談小學數學列方程解應用題的有效教學策略[J].新課程導學：八年級中旬，2016（3）：24-26.

作者簡介：

潘梅紅，浙江省紹興市，浙江新昌縣七星小學。