一題多解的案例分析

許華

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】I992-7711（ 2020） 06-17（）-02 一、問題背景

立體幾何是高考的重要考查內(nèi)容，分值22分左右，約占全卷分值11% - 18%。為了研究近五年新課標I卷對立體幾何各類題型的考查要求，整理統(tǒng)計情況如下：

叢知識點分布情況看，無論理科還是文科，近五年新課標I卷在立體幾何的考點較集中。主要考核：空間幾何體的三視圖、空間幾何體的表面積和體積、證明線線垂直、線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系以及求角的問題。理科常考空間幾何體與點、線、面之間的位置關(guān)系以及角的問題，考查理科生的空間概念和邏輯推理能力;文科在空間幾何體的考查力度較大，側(cè)重考查文科生的空間概念。

因此，對應(yīng)考點進行針對性的復(fù)習備考，可以提高教學的有效性。

二、案例分析

例題：（2019屆廣州市高三年級調(diào)研測試理科數(shù)學第16題）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為____。

師：本題滿分5分，區(qū)均分0.33分。今天這節(jié)課我們一起來回顧一下這道考題，歡迎同學們積極分享。三視圖還原直觀圖是一個難點，同學們有什么解題思路？

生1：初步判斷出該幾何體是由長方體切割而成，可以還原這個長方體。目前只可以做到這步了。

師：你的想法非常好，本題可以借助長方體特有的屬性去思考。立體幾何的問題通常可以轉(zhuǎn)化為運用空間向量解決，而建立一個適當?shù)淖鴺讼悼梢允沟糜嬎愀雍啽悖瑢W們有什么想法嗎？大家思考三分鐘。

生2：考慮到是△ABC直角三角形，外接圓圓心在斜邊AB的中點K處，四面體P- ABC外接球的球心與外接圓圓心連線垂直平面△ABC，建立空間直角坐標系K-xyz，球心在z軸上。設(shè)定球心0（0，O，z），只需找一個等量關(guān)系求解即可。如：∣OP∣=∣OB∣

師：你的想法很好！請同學們完成后續(xù)步驟。（約5分鐘后展示學生答題情況）

生2：（解法1）如圖，建立空間直角坐標系K-xyz，球心在z軸上。

生3：我的是純幾何思路，用了勾股定理。0點位置有兩種情況，不過解答過程是一致的。最后由于解出OK=3/2>1=PD，所以解法2圖2情況實際不存在，舍去。

生4：老師我又想到了一種。（解法3）首先，需要把圖補成三個棱長為1的正方體。易證DV垂直平分PA，PA上面a，P、A實際上關(guān)于面a對稱，所以點A和點到面a上任意一點的距離相等，因此球心在面a上，又因為球心在直線KO上，所以球心就是面a跟K0的交點O，所以KO=3/2.

師：你非常善于觀察空間結(jié)構(gòu)，通過增補法轉(zhuǎn)化成熟悉的幾何結(jié)構(gòu)。一題多解拓寬了同學們的思維，法三計算簡便，答案呼之欲出。同學們，我們研究四面體體積時常常會考慮等體積法，選擇更合適的底和高進行計算，有什么思路嗎？

生5：可以選擇△PAC為底，高BC ⊥面PAC.

師請同學們重新繪制圖形（約3分鐘后展示學生答題情況）

生5：我把圖再還原成直三棱柱，等價于求該三棱柱的外接球。

師：你的思路很清晰！請同學們完成后續(xù)步驟。（約5分鐘后展示學生答題情況）

生6：老師，怎么求△PAC的外接圓？我們好像沒有接觸過求非直角三角形外接圓的練習。

師：其實同學們曾經(jīng)學習過一個與求的外接圓半徑有關(guān)的公式，大家再想想。

生7：正弦定理，sA =2R，三角形中任意一邊與其對角的正弦值的比值就是該三角形外接圓的直徑。

師：很好！請同學們完成后續(xù)步驟。（約5分鐘后展示學生答題情況）

生7：求直三棱柱外接球問題，球半徑、三角形外接圓半徑和球心距滿足勾股定理，找出這三個量就能建立等量關(guān)系。此外，已知△PAC三邊，用余弦定理可求任意角，再用正弦定理求出△PAC外接圓半徑。

師：請同學們總結(jié)下本題的收獲。

生8：我覺得這道題盡管有不同的解法，但是首先需要畫出正確的直觀圖，其次，就是這道題是有一定運算量的，考試時完成了試卷的基礎(chǔ)題目后可以耐心地去解答，其實并不是很難，不應(yīng)該放掉它。另外，今天我運用正弦定理解決了求外接圓半徑的問題，感覺挺有收獲的。

生9：運用多種解法解這道立體幾何題，考查了數(shù)學綜合解題能力，加深了我對這道題目的理解，我會把這些解法記到方法積累本。

師：本題主要難點：第一、三視圖轉(zhuǎn)化成直觀圖;第二、如何找球心，找到后還需要建立等量關(guān)系。前三種解法分別對應(yīng)了立體幾何的向量法、綜合法和幾何法;第四種解法重新選擇三棱錐的底和高，把問題轉(zhuǎn)化回同學們熟悉的直三棱柱求外接球球心問題，另外我們還使用了正弦定理，求三角形的外接圓半徑。建議同學們課后做好錯題方法積累。

三、立體幾何教學的幾點思考

（一）培養(yǎng)學生學習興趣，提高動手能力、畫圖能力和空間想象能力

“現(xiàn)代心理學表明，表象的獲得在于對實物的感知，特別是視覺感知，感知的多樣性直接影響著獲得表象的多樣性。”[1]教學要生活化，充分利用身邊事物讓學生直觀感知，粉筆盒，卷紙，雪糕桶，金字塔讓學生對長方體、圓柱體、圓錐、四棱錐有了具象的認識，兩兩垂直的三個平面可以聯(lián)想課室里的墻角等。除了教具，PPT、幾何畫板、教學視頻等都可以幫助學生直觀、形象地理解抽象的立體幾何問題。高一新課應(yīng)遵循考綱要求，循序漸進教學，幫助學生樹立空間概念，培養(yǎng)學生的空間現(xiàn)象能力，如：要求學生按指定數(shù)據(jù)制作柱、錐、臺模型，完成后教師與學生們共同去對每個模型評比。又如：教導(dǎo)學生如何正確畫圖，反復(fù)訓練強化，提高畫圖準確度和速度。提高學生數(shù)學學習積極性，同時提升了學生的空間想象能力，加強了對柱、錐、臺表面積、體積計算中各個量內(nèi)在關(guān)系的認識。

（二）培養(yǎng)學生邏輯思維能力

教師應(yīng)重視每節(jié)課的課堂引入，引起學生的興趣，也要注重知識間的過渡銜接。每個定理的推導(dǎo)證明要有理有據(jù)，定理的文字表述必須嚴謹。學生能熟練寫出每個定理的文字語言、圖形語言、符號語言，三種語言能靈活轉(zhuǎn)化。在教學中，教師引導(dǎo)學生做好總結(jié)歸納，形成完整的知識網(wǎng)絡(luò)，解題時，學生能從知識網(wǎng)絡(luò)中有目的地快速提取相關(guān)知識。通過反復(fù)地的訓練，鞏固加深對定義、定理的理解，明確每個定理的使用條件和結(jié)論。教學中應(yīng)注重培養(yǎng)學生書寫規(guī)范的解題步驟，明確求解的方向，有目標地運用相應(yīng)的定理，幫助學生逐步形成周密的邏輯思維。

（三）一題多解的教學價值

（1） -題多解有助于學生對數(shù)學知識的理解與運用 b

如解法4中，正弦定理學生日常訓練僅停留在a/sinA=b/sinB的運用，a/sinA的比值就是2R（三角形外接圓直徑），考前沒有訓練到位。但是通過這節(jié)課的深入學習，對正弦定理的運用會更熟練，這也是對原有認知的鞏固和提升。李士教授認為，理解數(shù)學知識的意義在于建立的表象越熟悉、越精致、越準確，就越容易記憶，也越容易提取。[2]如：解法4中重新選擇底面和高，再還原直三棱柱，問題瞬間轉(zhuǎn)化為學生熟悉的求直三棱柱外接球問題。

（2） -題多解有助于學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法理解與運用

案例中四種解法均巧妙運用了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。如三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化，平面問題與空間問題的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想滲透在立體幾何問題和求解過程中。

解法1是向量法的運用，解法2是綜合法的運用，解法3建立在解法1和解法2基礎(chǔ)之上，是幾何法的運用，充分利用立體幾何知識，降低了計算難度上的要求。解法4靈活轉(zhuǎn)換底和高，問題轉(zhuǎn)化為學生熟知。對學生各種數(shù)學思想的培養(yǎng)要滲透在日常教學中，通過一題多解的訓練，加強學生對數(shù)學思想和數(shù)學方法的理解與運用。學生總結(jié)反思，深化認識，探索方法之間的差異與共同點，循序漸進地探尋最簡潔有效的解法。

（3） -題多解延伸思維的廣度，拓展思維的深度

數(shù)學教學中的一題多解是發(fā)散思維的具體體現(xiàn)，教學中加強一題多解的訓練，通過綜合運用各方面知識解決問題可以開拓學生思路，引導(dǎo)學生更深入地研究問題，培養(yǎng)學生鍥而不舍的鉆研精神和靈活多變的分析問題和處理問題的能力。[3]

（4）激發(fā)學生的學習興趣，活躍課堂氣氛

學生積極分享見解，相互啟發(fā)，共同發(fā)展，同學們暢所欲言、各抒己見，形成積極良好的學習氛圍。不同的角度詮釋、不同的思維碰撞，學生成為課堂的主體，使得學習變得更加快樂，收獲更加豐碩。

【參考文獻】

[1]葉弈乾，何存道，梁寧建.普通心理學（修訂版）[M].上海：華東師范大學出版社，1999（3）：253-257.

[2]李士.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001

[3]潘杰，蘇化明.一道考研數(shù)學試題的多種解法[J].高等數(shù)學研究，2009，12（2）：62-64.