應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐

楊志堅(jiān)　胡新啟

摘 要 本文通過(guò)對(duì)“數(shù)值分析”課程教學(xué)模式的探索，給應(yīng)用數(shù)學(xué)其它專業(yè)課的設(shè)計(jì)方面提供了可借鑒的素材，為如何培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才提供了重要的研究思路。

關(guān)鍵詞 應(yīng)用數(shù)學(xué) 人才培養(yǎng) 數(shù)值分析

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.02.024

Exploration and Practice of Training Model of Top Talents

in Applied Mathematics

YANG Zhijian， HU Xinqi

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）

Abstract By exploring the teaching mode of "numerical analysis"， this paper provides reference materials for the design of other specialized courses of applied mathematics， and provides important research ideas for how to cultivate top talents of applied mathematics.

Keywords Applied Mathematics; cultivation of talents; numerical analysis

應(yīng)用數(shù)學(xué)作為聯(lián)系數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用的紐帶在大數(shù)據(jù)信息時(shí)代變得越來(lái)越重要，如何培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才成為目前極為重要和緊迫的問(wèn)題，具有重大的社會(huì)意義和應(yīng)用價(jià)值。

由于應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)的理論和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題都需要有深入的認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致了應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)拔尖人才的培養(yǎng)不同于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)，有其自身的專業(yè)特點(diǎn)。國(guó)內(nèi)的高校由于拔尖人才的培養(yǎng)起步較晚，并沒(méi)有特別區(qū)分應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才和基礎(chǔ)數(shù)學(xué)拔尖人才的培養(yǎng)模式，導(dǎo)致應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才培養(yǎng)在國(guó)內(nèi)高校存在一些不足和誤區(qū)。境外許多高校在這一方面特別是在本科生專業(yè)課教學(xué)方法上有許多相對(duì)成熟的經(jīng)驗(yàn)，但是由于中外學(xué)生的教育背景不同，中外高校師資存在差異等原因，這些相對(duì)成熟的經(jīng)驗(yàn)并不能原封不動(dòng)地搬入國(guó)內(nèi)的高校，需要具體分析中外高校教育環(huán)境與教育背景的不同，給出國(guó)辦高校應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才培養(yǎng)的具體策略和教學(xué)方法。

本文以“數(shù)值分析”這門應(yīng)用數(shù)學(xué)的專業(yè)必修課為切入點(diǎn)，探討了應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)拔尖人才的培養(yǎng)模式，通過(guò)研究國(guó)內(nèi)外高校的教育模式與部分國(guó)外高校在該專業(yè)課上的教學(xué)方法和培養(yǎng)模式的區(qū)別，同時(shí)結(jié)合武漢大學(xué)弘毅學(xué)堂數(shù)學(xué)班的具體情況，設(shè)計(jì)出“數(shù)值分析”課程教學(xué)模式，并期望對(duì)如何培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才提供新的思路。

1 “數(shù)值分析”課程教學(xué)特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀分析

“數(shù)值分析”是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一門專業(yè)必修課，主要研究用計(jì)算機(jī)編程來(lái)求解科學(xué)與工程中的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的數(shù)值近似解及其理論的學(xué)科，是計(jì)算數(shù)學(xué)的主體部分，簡(jiǎn)稱數(shù)值計(jì)算方法。數(shù)值分析的目的是設(shè)計(jì)及分析一些計(jì)算的方式，針對(duì)一些問(wèn)題得到近似但夠精確的結(jié)果。該課程既有數(shù)學(xué)類課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有實(shí)用性和實(shí)驗(yàn)性等技術(shù)特征，它是一門理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的課程。該課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計(jì)算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。

該課程的特點(diǎn)是：方法是近似的，但要有可靠的理論分析（包括收斂性和穩(wěn)定性），要有較好的計(jì)算復(fù)雜性（包括時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度），并且要有數(shù)值實(shí)驗(yàn)，面對(duì)計(jì)算機(jī)編程，需要上機(jī)實(shí)習(xí)。應(yīng)用該課程解決實(shí)際問(wèn)題的通常步驟是：分析實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型、選擇數(shù)值方法進(jìn)行算法設(shè)計(jì)、編寫程序、上機(jī)計(jì)算結(jié)果。

通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握各種常用的數(shù)值算法，并能對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行理論分析，以達(dá)到提高學(xué)生在算法設(shè)計(jì)和理論分析的能力的目的，從而進(jìn)一步提高學(xué)生在獨(dú)立思考、綜合分析和解決問(wèn)題的能力。本課程的主要內(nèi)容包括：求解線性方程組的數(shù)值解法、計(jì)算矩陣特征值和特征向量、非線性方程和非線性方程組的迭代算法、插值與擬合、數(shù)值微積分、常微分方程和偏微分方程數(shù)值解等問(wèn)題。

通常認(rèn)為人類的計(jì)算能力是計(jì)算工具和計(jì)算方法效率的乘積，提高計(jì)算方法的效率與提高計(jì)算機(jī)硬件的效率同樣重要，科學(xué)計(jì)算已經(jīng)成為繼實(shí)驗(yàn)和理論研究之后的第三種研究方法，并廣泛用于科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的各種領(lǐng)域中。

（1）教學(xué)內(nèi)容多，教學(xué)學(xué)時(shí)少。原來(lái)該課程講授為90學(xué)時(shí)，現(xiàn)在減少為60甚至48學(xué)時(shí)。由于教學(xué)內(nèi)容多，且其中許多理論及計(jì)算公式的推導(dǎo)極為繁瑣，導(dǎo)致教師必須對(duì)部分內(nèi)容有所取舍，疲于趕進(jìn)度，從而使得無(wú)法詳細(xì)地講解全部?jī)?nèi)容，且講授的內(nèi)容也不容易被學(xué)生接受，教學(xué)效果有待提高。長(zhǎng)期以來(lái)，普遍感覺(jué)到該課程內(nèi)容多、學(xué)生的負(fù)擔(dān)重、教學(xué)枯燥乏味、學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高等，這些都一直困擾著該課程的教學(xué)。

（2）授課內(nèi)容過(guò)于數(shù)學(xué)化，理論知識(shí)與具體問(wèn)題脫節(jié)。本課程是一門理論與實(shí)踐并重的課程，而傳統(tǒng)的教學(xué)模式側(cè)重于計(jì)算方法理論的講解，大部分的教學(xué)時(shí)間花在了計(jì)算公式的推導(dǎo)和理論的講授上，非常注重理論的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性，淡化了實(shí)用性與實(shí)踐性相結(jié)合的特征，忽視了該課程與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合的特點(diǎn)。相對(duì)整個(gè)教學(xué)過(guò)程，課堂教學(xué)時(shí)間所占比重較大。這也導(dǎo)致了大部分學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論的掌握與對(duì)實(shí)際應(yīng)用的處理的嚴(yán)重脫節(jié)，使得相當(dāng)比例的學(xué)生學(xué)完了全部課程后還是無(wú)法解決實(shí)際中碰到的問(wèn)題。

（3）實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)顯著缺乏。同樣由于學(xué)時(shí)減少的原因，無(wú)法安排時(shí)間充足的實(shí)踐環(huán)節(jié)，從而使得學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)沒(méi)有深刻的體會(huì)，也無(wú)法全面理解并運(yùn)用課程中的算法。另一方面，一些教材為了滿足數(shù)值計(jì)算應(yīng)用中的不同需求和不同條件，將過(guò)多的注意力放在算法原理的精確描述上，特別是問(wèn)題的解的存在性和算法的收斂性分析上，這也使得學(xué)生試圖通過(guò)計(jì)算機(jī)算出某個(gè)結(jié)果從而獲得某種滿足感的愿望難以實(shí)現(xiàn)。

（4）教學(xué)手段和方法單一，板書與多媒體課件關(guān)系處理不當(dāng)。雖然在本課程教學(xué)中可視化水平在逐漸提高，但是實(shí)際中在面對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)概念及重要的結(jié)論時(shí)，還是難以比較直觀地展示給學(xué)生，使得學(xué)生無(wú)法真正理解相關(guān)結(jié)論，只能被動(dòng)地硬性記憶這些結(jié)論。另一方面，對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，沒(méi)有吃透算法，認(rèn)為算法僅僅是一個(gè)流程圖，由于缺乏對(duì)編程的具體體驗(yàn)，當(dāng)面對(duì)具體的編程時(shí)，仍然感覺(jué)無(wú)從著手?？傊谔岣呃蠋熤v課時(shí)的圖形顯示水平方面還有很大的提升空間。

（5）考核方式不盡合理。傳統(tǒng)的考試方法是閉卷考試，這不一定能夠考出學(xué)生的真實(shí)水平。原因在于，部分學(xué)生可能通過(guò)考前突擊復(fù)習(xí)順利過(guò)關(guān)，甚至取得高分，這也導(dǎo)致部分學(xué)生不愿意花更多時(shí)間深入思考，并且閉卷考試也無(wú)法考核學(xué)生的動(dòng)手能力，無(wú)法通過(guò)考核檢查學(xué)生是否深刻地理解了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，也無(wú)法達(dá)到提高學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力的目的。

2 “數(shù)值分析”改革的思考與探索

“數(shù)值分析”課程改革是一個(gè)系統(tǒng)工程，筆者在教學(xué)實(shí)踐中側(cè)重在教材改革、教學(xué)手段與方法等多方面作了一些探討。

在教學(xué)過(guò)程中，我們進(jìn)行了這些方面的改革，如：將更多內(nèi)容以多媒體形式展現(xiàn)，如相關(guān)背景知識(shí)的講解、數(shù)值計(jì)算方法的幾何描述、實(shí)際算例的計(jì)算演示、誤差效果的比對(duì)、動(dòng)態(tài)展示一些應(yīng)用實(shí)例等等，幫助學(xué)生增加感性認(rèn)識(shí)。改革考核方式，除了傳統(tǒng)的閉卷考試外，增加了上機(jī)考試與研究報(bào)告考核等。增加實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)，讓學(xué)生有更多機(jī)會(huì)動(dòng)手解決實(shí)際問(wèn)題，以達(dá)到提高學(xué)生的實(shí)際操作能力、實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力和分析解決問(wèn)題的能力的目的。

除了進(jìn)行上述改革外，我們還特別在如下幾個(gè)方面進(jìn)行了一些探索：

（1）小班教學(xué)。將原來(lái)大班教學(xué)改為不超過(guò)30人的小班教學(xué)，更容易了解到每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況并給予及時(shí)的指導(dǎo)。

（2）雙語(yǔ)教學(xué)。課程教材選擇采用經(jīng)典的英文教材并輔助以中文參考書，在課堂講授方面采用中文講授、英文板書的雙語(yǔ)模式，一方面可以用中文更加清楚地介紹方法的由來(lái)和想法，另一方面培養(yǎng)學(xué)生閱讀英文教材的能力。通過(guò)將經(jīng)典理論講精講透，使學(xué)生既能感受到數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、又能感受數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)性及并能在算法實(shí)現(xiàn)的創(chuàng)造性有所提升，以培養(yǎng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）案例驅(qū)動(dòng)。課程教學(xué)在介紹每一個(gè)算法時(shí)從實(shí)際出發(fā)，以例子為先導(dǎo)，采用先進(jìn)實(shí)際案例，讓學(xué)生先了解實(shí)際背景，并引導(dǎo)學(xué)生找到合適的方法，這種方式也有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)家們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)的一些原創(chuàng)思維。在每次講授完成一個(gè)算法后還要求同學(xué)們能夠自己進(jìn)行上機(jī)實(shí)踐并找出最有效的程序?qū)崿F(xiàn)方法。通過(guò)這種方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟到計(jì)算科學(xué)來(lái)源于實(shí)際且應(yīng)用于實(shí)際的內(nèi)涵。

以下是一些可以用作案例的問(wèn)題，如：數(shù)值天氣預(yù)報(bào)、太空船的軌跡、模擬汽車撞擊來(lái)提升汽車受到撞擊時(shí)的安全性、對(duì)沖基金利用數(shù)值分析工具來(lái)計(jì)算股票的市值及其變異程度、航空公司決定票價(jià)、飛機(jī)、人員分配及用油量、保險(xiǎn)公司進(jìn)行精算分析等。

（4）分組討論。將整個(gè)班級(jí)劃分成若干小組，在授課老師和助教的帶領(lǐng)下對(duì)于某些較為困難的內(nèi)容或者開放性的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分組討論，將討論的結(jié)果形成最終報(bào)告并制作PPT給其他同學(xué)進(jìn)行展示，以培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)初步開展科學(xué)研究工作，并對(duì)學(xué)生的綜合能力（包括科研水平與創(chuàng)新能力、分析解決問(wèn)題的能力、實(shí)際動(dòng)手的能力、展示自我才藝的能力等）進(jìn)行有效的鍛煉。

通過(guò)上述多個(gè)方面的教學(xué)改革與探索，使得枯燥的理論知識(shí)可以很好地與實(shí)際結(jié)合，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且大大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，讓學(xué)生可以更早地了解并參與到科學(xué)研究中去，極大地提高了學(xué)生多方面的能力。

3 結(jié)束語(yǔ)

國(guó)內(nèi)許多高校對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程設(shè)置具有重分析、輕數(shù)值的特點(diǎn)，對(duì)于定理極其證明比較關(guān)注而不太注重上機(jī)實(shí)踐與方法的具體應(yīng)用。國(guó)（境）內(nèi)外著名高校在應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才培養(yǎng)模式上雖然各不相同，但可以發(fā)現(xiàn)都有如下共同點(diǎn)：

（1）注重講授算法的方法以及算法實(shí)現(xiàn)后所帶來(lái)的新的困難;

（2）比較復(fù)雜的理論證明通常不在課程中給出，而是以作業(yè)或者項(xiàng)目的形式讓有興趣和能力的學(xué)生自己完成;

（3）授課的許多內(nèi)容來(lái)自于各種應(yīng)用問(wèn)題，包括在科研中產(chǎn)生的具體問(wèn)題，從而將所講授的方法真正應(yīng)用于一些實(shí)際問(wèn)題。

應(yīng)用數(shù)學(xué)不同于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，在專業(yè)必修課的內(nèi)容上不能一味強(qiáng)調(diào)理論的完整性，而應(yīng)該輔助于大量的實(shí)際應(yīng)用背景，做到案例驅(qū)動(dòng)課程內(nèi)容。通過(guò)這些理論和應(yīng)用相結(jié)合的教學(xué)模式，讓同學(xué)們?cè)谠搶I(yè)必修課中不僅學(xué)到了數(shù)學(xué)理論，更能夠了解數(shù)學(xué)方法如何應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，從而有助于培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的拔尖人才。

通過(guò)對(duì)“數(shù)值分析”課程教學(xué)模式的探索，給應(yīng)用數(shù)學(xué)其它專業(yè)課的設(shè)計(jì)方面提供了可借鑒的素材，為如何培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)拔尖人才提供了重要的研究思路。

本課題受教育部高教司2018年“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖人才培養(yǎng)計(jì)劃”研究課題資助，課題編號(hào)為20180902

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