應用數學拔尖人才培養模式的探索與實踐

楊志堅　胡新啟

摘 要 本文通過對“數值分析”課程教學模式的探索，給應用數學其它專業課的設計方面提供了可借鑒的素材，為如何培養應用數學拔尖人才提供了重要的研究思路。

關鍵詞 應用數學 人才培養 數值分析

中圖分類號：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ?DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.02.024

Exploration and Practice of Training Model of Top Talents

in Applied Mathematics

YANG Zhijian， HU Xinqi

（School of Mathematics and Statistics， Wuhan University， Wuhan， Hubei 430072）

Abstract By exploring the teaching mode of "numerical analysis"， this paper provides reference materials for the design of other specialized courses of applied mathematics， and provides important research ideas for how to cultivate top talents of applied mathematics.

Keywords Applied Mathematics; cultivation of talents; numerical analysis

應用數學作為聯系數學理論和實際應用的紐帶在大數據信息時代變得越來越重要，如何培養應用數學拔尖人才成為目前極為重要和緊迫的問題，具有重大的社會意義和應用價值。

由于應用數學專業對數學的理論和實際應用問題都需要有深入的認識，導致了應用數學專業拔尖人才的培養不同于基礎數學和其他自然科學，有其自身的專業特點。國內的高校由于拔尖人才的培養起步較晚，并沒有特別區分應用數學拔尖人才和基礎數學拔尖人才的培養模式，導致應用數學拔尖人才培養在國內高校存在一些不足和誤區。境外許多高校在這一方面特別是在本科生專業課教學方法上有許多相對成熟的經驗，但是由于中外學生的教育背景不同，中外高校師資存在差異等原因，這些相對成熟的經驗并不能原封不動地搬入國內的高校，需要具體分析中外高校教育環境與教育背景的不同，給出國辦高校應用數學拔尖人才培養的具體策略和教學方法。

本文以“數值分析”這門應用數學的專業必修課為切入點，探討了應用數學專業拔尖人才的培養模式，通過研究國內外高校的教育模式與部分國外高校在該專業課上的教學方法和培養模式的區別，同時結合武漢大學弘毅學堂數學班的具體情況，設計出“數值分析”課程教學模式，并期望對如何培養應用數學拔尖人才提供新的思路。

1 “數值分析”課程教學特點及教學現狀分析

“數值分析”是數學的一個分支，它是應用數學的一門專業必修課，主要研究用計算機編程來求解科學與工程中的數學計算問題的數值近似解及其理論的學科，是計算數學的主體部分，簡稱數值計算方法。數值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，針對一些問題得到近似但夠精確的結果。該課程既有數學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性等技術特征，它是一門理論性和實踐性都很強的課程。該課程中所講述的各種數值方法在科學與工程計算、信息科學、管理科學、生命科學等交叉學科中有著廣泛的應用。

該課程的特點是：方法是近似的，但要有可靠的理論分析（包括收斂性和穩定性），要有較好的計算復雜性（包括時間復雜度和空間復雜度），并且要有數值實驗，面對計算機編程，需要上機實習。應用該課程解決實際問題的通常步驟是：分析實際問題，建立數學模型、選擇數值方法進行算法設計、編寫程序、上機計算結果。

通過該課程的學習，使學生熟練掌握各種常用的數值算法，并能對求解過程進行理論分析，以達到提高學生在算法設計和理論分析的能力的目的，從而進一步提高學生在獨立思考、綜合分析和解決問題的能力。本課程的主要內容包括：求解線性方程組的數值解法、計算矩陣特征值和特征向量、非線性方程和非線性方程組的迭代算法、插值與擬合、數值微積分、常微分方程和偏微分方程數值解等問題。

通常認為人類的計算能力是計算工具和計算方法效率的乘積，提高計算方法的效率與提高計算機硬件的效率同樣重要，科學計算已經成為繼實驗和理論研究之后的第三種研究方法，并廣泛用于科學技術和社會生活的各種領域中。

（1）教學內容多，教學學時少。原來該課程講授為90學時，現在減少為60甚至48學時。由于教學內容多，且其中許多理論及計算公式的推導極為繁瑣，導致教師必須對部分內容有所取舍，疲于趕進度，從而使得無法詳細地講解全部內容，且講授的內容也不容易被學生接受，教學效果有待提高。長期以來，普遍感覺到該課程內容多、學生的負擔重、教學枯燥乏味、學生的學習積極性不高等，這些都一直困擾著該課程的教學。

（2）授課內容過于數學化，理論知識與具體問題脫節。本課程是一門理論與實踐并重的課程，而傳統的教學模式側重于計算方法理論的講解，大部分的教學時間花在了計算公式的推導和理論的講授上，非常注重理論的嚴謹性和完整性，淡化了實用性與實踐性相結合的特征，忽視了該課程與計算機緊密結合的特點。相對整個教學過程，課堂教學時間所占比重較大。這也導致了大部分學生對基礎理論的掌握與對實際應用的處理的嚴重脫節，使得相當比例的學生學完了全部課程后還是無法解決實際中碰到的問題。

（3）實踐教學環節顯著缺乏。同樣由于學時減少的原因，無法安排時間充足的實踐環節，從而使得學生對實驗沒有深刻的體會，也無法全面理解并運用課程中的算法。另一方面，一些教材為了滿足數值計算應用中的不同需求和不同條件，將過多的注意力放在算法原理的精確描述上，特別是問題的解的存在性和算法的收斂性分析上，這也使得學生試圖通過計算機算出某個結果從而獲得某種滿足感的愿望難以實現。

（4）教學手段和方法單一，板書與多媒體課件關系處理不當。雖然在本課程教學中可視化水平在逐漸提高，但是實際中在面對一些重要的數學概念及重要的結論時，還是難以比較直觀地展示給學生，使得學生無法真正理解相關結論，只能被動地硬性記憶這些結論。另一方面，對部分學生來說，沒有吃透算法，認為算法僅僅是一個流程圖，由于缺乏對編程的具體體驗，當面對具體的編程時，仍然感覺無從著手。總之在提高老師講課時的圖形顯示水平方面還有很大的提升空間。

（5）考核方式不盡合理。傳統的考試方法是閉卷考試，這不一定能夠考出學生的真實水平。原因在于，部分學生可能通過考前突擊復習順利過關，甚至取得高分，這也導致部分學生不愿意花更多時間深入思考，并且閉卷考試也無法考核學生的動手能力，無法通過考核檢查學生是否深刻地理解了相關知識點，也無法達到提高學生實際動手能力的目的。

2 “數值分析”改革的思考與探索

“數值分析”課程改革是一個系統工程，筆者在教學實踐中側重在教材改革、教學手段與方法等多方面作了一些探討。

在教學過程中，我們進行了這些方面的改革，如：將更多內容以多媒體形式展現，如相關背景知識的講解、數值計算方法的幾何描述、實際算例的計算演示、誤差效果的比對、動態展示一些應用實例等等，幫助學生增加感性認識。改革考核方式，除了傳統的閉卷考試外，增加了上機考試與研究報告考核等。增加實驗學時，讓學生有更多機會動手解決實際問題，以達到提高學生的實際操作能力、實驗動手能力和分析解決問題的能力的目的。

除了進行上述改革外，我們還特別在如下幾個方面進行了一些探索：

（1）小班教學。將原來大班教學改為不超過30人的小班教學，更容易了解到每個學生的學習狀況并給予及時的指導。

（2）雙語教學。課程教材選擇采用經典的英文教材并輔助以中文參考書，在課堂講授方面采用中文講授、英文板書的雙語模式，一方面可以用中文更加清楚地介紹方法的由來和想法，另一方面培養學生閱讀英文教材的能力。通過將經典理論講精講透，使學生既能感受到數學邏輯的嚴謹性、又能感受數學理論的系統性及并能在算法實現的創造性有所提升，以培養提高學生的數學素養。

（3）案例驅動。課程教學在介紹每一個算法時從實際出發，以例子為先導，采用先進實際案例，讓學生先了解實際背景，并引導學生找到合適的方法，這種方式也有利于學生了解數學家們在解決實際問題時的一些原創思維。在每次講授完成一個算法后還要求同學們能夠自己進行上機實踐并找出最有效的程序實現方法。通過這種方法，讓學生領悟到計算科學來源于實際且應用于實際的內涵。

以下是一些可以用作案例的問題，如：數值天氣預報、太空船的軌跡、模擬汽車撞擊來提升汽車受到撞擊時的安全性、對沖基金利用數值分析工具來計算股票的市值及其變異程度、航空公司決定票價、飛機、人員分配及用油量、保險公司進行精算分析等。

（4）分組討論。將整個班級劃分成若干小組，在授課老師和助教的帶領下對于某些較為困難的內容或者開放性的實際問題進行分組討論，將討論的結果形成最終報告并制作PPT給其他同學進行展示，以培養學生利用所學知識初步開展科學研究工作，并對學生的綜合能力（包括科研水平與創新能力、分析解決問題的能力、實際動手的能力、展示自我才藝的能力等）進行有效的鍛煉。

通過上述多個方面的教學改革與探索，使得枯燥的理論知識可以很好地與實際結合，不僅激發了學生的學習興趣，而且大大地提高了學生的學習效率，讓學生可以更早地了解并參與到科學研究中去，極大地提高了學生多方面的能力。

3 結束語

國內許多高校對于應用數學專業課程設置具有重分析、輕數值的特點，對于定理極其證明比較關注而不太注重上機實踐與方法的具體應用。國（境）內外著名高校在應用數學拔尖人才培養模式上雖然各不相同，但可以發現都有如下共同點：

（1）注重講授算法的方法以及算法實現后所帶來的新的困難;

（2）比較復雜的理論證明通常不在課程中給出，而是以作業或者項目的形式讓有興趣和能力的學生自己完成;

（3）授課的許多內容來自于各種應用問題，包括在科研中產生的具體問題，從而將所講授的方法真正應用于一些實際問題。

應用數學不同于基礎數學，在專業必修課的內容上不能一味強調理論的完整性，而應該輔助于大量的實際應用背景，做到案例驅動課程內容。通過這些理論和應用相結合的教學模式，讓同學們在該專業必修課中不僅學到了數學理論，更能夠了解數學方法如何應用于實際問題中，從而有助于培養應用數學的拔尖人才。

通過對“數值分析”課程教學模式的探索，給應用數學其它專業課的設計方面提供了可借鑒的素材，為如何培養應用數學拔尖人才提供了重要的研究思路。

本課題受教育部高教司2018年“基礎學科拔尖人才培養計劃”研究課題資助，課題編號為20180902

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