“數形”關聯 “舊曲”新唱 深度學習能力自然生長
——以“二次函數圖像與性質的復習”為例

江蘇省太倉市第一中學 (215400) 朱建良

“激發自主探究，提升學習能力”是變革初中數學課堂學習方式的主要途徑，通過創設探索性數學問題情境，培養和發展學生的數學思維能力，以問題探究為載體，遵循數學學習規律，加深理解，揭示數學知識本質．筆者以“二次函數圖像與性質的復習”為例，通過遞進式的設問、變式拓展，以問題為思維導向，深入思考，意在幫助學生學會反思，感悟內涵，獲得認知數學的方法．

1.一題多變——問題驅動探究

教師設計科學、合理的問題情境，拓展引申，輔助于學法指導，對原題的提問方式進行改變，對原題的結論進行延伸和擴展，也可把習題的因果關系倒置，以“一題多變”為載體，引導學生進行有效探究．幫助學生積累經驗，通過問題驅動來引導學生不自覺地形成“分析問題能力”和“解決問題能力”．

圖1

問題1 如圖1,已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的對稱軸是直線x=1，其圖像一部分如圖所示．

(1)求證：2c<3b；

(2)若拋物線與x軸交于點(-1,0)，問(1)的結論仍成立嗎？

(3))若拋物線與x軸交于點(-1,0)，與y軸的交點介于點(0,2)與點(0,3)之間，設頂點P(1,t)，試求t的范圍？

(2)當x=-1時，有y=a-b+c=0，有2c<3b.

設計意圖:問題(1)(2)變化特殊點的坐標，揭示二次函數圖像位置與系數a、b、c的數量關系之間的內在聯系，加深學生對拋物線的軸對稱性的理解．問題(3)把拋物線與y軸的交點問題轉化為常數項c的變化區域討論，再通過演算，推理出頂點P的縱坐標t的取值范圍，問題設計流暢，環環相扣，較好地培養了學生的抽象意識和推理能力．

2.多題歸一——挖掘問題本質

在“多題歸一”探究中培養問題意識，在問題意識中實現自主探究，循序漸進，拓展開闊學生的數學思維，找到解決問題的通性通法，關注問題本質，把握內在規律，遷移解題方法，提高學習效率．

圖2

問題2 如圖2，已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖像的對稱軸是直線x=1，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為P，若已知點A(-1,0)，OB=OC．若關于x的方程ax2+bx+c=m有實數根，求m的取值范圍．

圖3

設計意圖:問題2把討論關于x的方程實數根的情況轉化為直線與拋物線交點問題，由“數”聯想到“形”，再由“形”的特征求解“數”的范圍，涉及構造法，轉化思想，方程思想，問題的求解巧妙地把畫圖操作、觀察發現、探究計算融合在一起，較好地增強了學生的實踐能力，培養了學生的創新精神．

變式1 若關于x的方程|ax2+bx+c|=k(k≠0)有四個不相等的實數根，求k的取值范圍．

圖4

再分別討論兩支拋物線圖象與直線y=k的交點情況，當0

變式2 若關于x的方程ax2+b|x|+c=n有兩個不相等的實數根，求n的取值范圍．

圖5

設計意圖:在原拋物線模型的條件下，變化自變量x的絕對值條件，分類討論，根據對稱性畫出拋物線的另一半圖像，問題顯得“豐滿”，由“數”及“形”，拋物線的對稱軸由x軸到y軸變化位置，豐富了圖形內涵，提升了思維層次．問題2的變式出的新問題合乎情理，合乎邏輯，數學思維訓練變得精彩紛呈．

3.強化模型——尋找問題突破口

初中數學課堂教學設計關注數學知識系統性的整體架構，通過對問題解決過程的反思，典型問題進行“歸類”，建立數學模型，通過建模找到解決問題關鍵點和突破口，并提煉出解決某類問題的方法，自動建構模型，有效遷移，達到“以題會類”的教學境界．

圖6

拓展1 續問題2，如圖6，能否在拋物線上的找一點Q，使ΔBCQ是以BC為直角邊的直角三角形，試求出點Q的坐標．

解析:如圖6，作垂直于直線BC的兩條直線y1=x+3，y2=x-3，把直線與拋物線的交點問題轉化為

設計意圖:設計探求特殊動點坐標問題，引導學生整體認識圖形特征，細心分析動點Q顯性或隱性的不變元素，構造方程模型求解幾何圖形的特殊點坐標，歸納總結，提煉方法，通法不僅可以幫助學生理解動點坐標的本質，也可優化思維過程，形成自我方法優化，快速準確地解決問題．

變式3 能否在拋物線上的對稱軸上找一點G，使ΔBCG為直角三角形，試求出點G的坐標．

4.“生長”問題——喚醒問題生命力

剖析典型問題，尋找問題源，引導學生逐一回顧處理相關問題的知識源，分析知識源的典型特征，選取適當的問題源拓展延伸，幫助學生感悟“數學問題一般都是運用所學過的知識加以解決的”的轉化思想，達成學習目標．

圖7

變式4 如圖7，續問題2，如圖點M為x軸上的一點，若∠PBC=∠MCB，試求點M的坐標．

設計意圖:變式問題的本質是拋物線背景下幾何圖形的特征探究，二次函數相關問題的特征是數形結合的有效載體，函數模型是客觀世界的重要模型，變式問題中直線CM的構造與求解的解析式是解決問題的突破口，也是數形結合的有效銜接環節，其探究思路如下圖示：

5.能力立意——提升數學素養

在提升學生應用知識和技能解決問題的能力的同時，滲透情感體驗和價值觀的建構，教會學生觀察、分析、抽象和概括；歸納、演繹和類比進行推理，會準確地闡述自己的思想和觀點；升華學生數學思維的寬度和深度，形成良好的數學思維品質．

圖8

拓展2 續問題2，如圖8，寬度為1的直尺平行于y軸，在點B、C之間平行移動，直尺的長邊所在直線被直線BC和拋物線截得兩線段EF、GH，設F點橫坐標為m(0

解析:F(m,m+3)，則E(m,-m2+2m+3)，可計算出EF=-m2+3m，同理得GH=-m2+m+2，EF-GH=2(m-1)，∴當0GH．

設計意圖:由動點位置變化拓展到特殊線段長度的比較，透視現象看本質，類比探究，把線段長轉化為動點坐標表示，由問題導學，將學生的思維引向解決問題的方向，關注學生了的持續生長，使學生經歷的不僅是一個解答，更是一種研究問題的方法．

以變式拓展的問題串為探求線索，引導學生身歷問題情境，獲得體驗，積累經驗，通過動點、動直線與拋物線位置關系的變化為載體，問題設計強化了拋物線的對稱性，強調用圖意識，變式拓展問題呈現了學生數學思維的碰撞，動態問題的探究引導學生感悟本質，獲得思維深刻性，使數形結合成為自覺，從而提升學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養．