論輻射效應態氫原子電子的概率位移

馬文宇

摘? 要：物質產生輻射，各種元素的電子受不同輻射光子的影響都會產生康普頓效應，盡管效應的強度不同。物質元素的電子受輻射時產生了康普頓效應稱為輻射效應，產生輻射效應后電子的狀態稱為輻射效應態。氫原子結構簡單，氫原子符合波爾理論，即氫原子核外電子具有能級軌道，電子吸收或放出能量會發生軌道躍遷;同時氫原子也遵從量子力學，氫原子核外電子有波函數ψ。輻射效應態下，通過分析氫原子中電子分布的不同位置，應用玻恩概率密度理論，可以求出氫原子的電子輻射效應態沿輻射方向的概率位移。

關鍵詞：輻射? 輻射效應態? 氫原子電子? 概率密度? 概率位移

中圖分類號：G64 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（c）-0017-02

物質輻射時散射出粒子。物質被輻射后，物質原子中的電子會被輻射粒子撞擊，電子狀態發生變化。康普頓效應實驗的結果是：原子的核外電子受光子的輻射，散射出的光子散失了一定的能量，傳給了受擊電子，受擊電子有可能逸出原子，也有可能不逸出原子。根據愛因斯坦的光電效應原理，物質受到光輻射，當光輻射能hν>W（逸出功）時電子從物質原子中逸出，并具有一定的動能meve2/2，即光電效應[1]（其中h為普朗克常數，ν為光的頻率，me為電子的質量，ve為受擊電子的速度）。對于hν

原子的核外電子在輻射效應態，受擊電子不逸出原子仍繞原子核運動。以最簡單的氫原子為例，基于氫原子很好地服從波爾理論 。

1? 康普頓效應的光電效應

如果受擊電子獲得能量足夠大，即h（ν-ν'）>W，光電效應產生。

設氫原子的最大半徑為rmax，即最大半徑之外，電子不受原子核約束，成為自由電子。由點電荷的電場得出，電子逃逸原子的逸出功為A（ri，rmax），如果不考慮電子的自旋能、震動能，則A（ri，rmax）就是電子的逸出功。

輻射光子與氫原子的電子發生彈性碰撞，輻射光子將部分能量傳遞給了受擊電子，之后散射出低能光子（波長較長的光子），如此，特定頻率的光可以求出輻射光子傳遞給受擊電子能量的最大值。按照康普頓效應[2]公式如下。

（1）

式中，λ、v'與λ、v分別散射出的光與入射光的波長和頻率，θ為散射光子與原來入射光子方向的夾角。對（1）式兩邊同乘hvv'/c得：

hv-hv'（h2vv'/mec2）（1-cosθ） ? ? ? ?（2）

式（2）即為受擊電子獲得的能量。對特定入射光，當散射角為π時，（2）式求得最大值，即散射光子的能量最低，入射光子傳遞給撞擊電子的能量最多，θ=π時，即散射光子完全逆向入射方向，受擊電子獲得的最大能量值為Eπ=2h2vv'/mec2。Eπ>W時就發生光電效應，同時逸出電子具有動能meve2/2。引入光電效應逸出功，即：

Eπ>A（ri，rmax） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

由（2）式可知，入射光子不是將全部能量轉遞給了受擊電子，而是傳遞給受擊電子的能量如果大于電子的逸出功，就可發生光電效應。這時候，受擊電子的躍遷為由ri軌道躍遷至rmax以外。

2? 氫原子核外電子輻射效應態的概率位移

2.1 氫原子核外電子輻射效應態的概率密度及概率容

根據氫原子輻射效應下的受擊電子的躍遷狀態，可以求出輻射效應下的受擊電子躍遷偏移，進而求得氫原子核外電子輻射效應態的概率位移。

引入玻恩理論，玻恩認為：在某一時刻，在空間某一地點，粒子出現的概率正比于該時刻、該地點的波函數的平方。在空間某點（x，y，z）附近找到粒子的概率與這區域的大小有關，在這一很小區域x→x+dx，y→y+dy，z→z+dz范圍內，波函數Ψ可以認為不變，粒子在該區域出現的概率將正比于體積元dV=dxdydz的大小，而為|Ψ|2dV=ΨΨ*dV。|Ψ|2=ΨΨ*表示在某一時刻在某點處單位體積內粒子出現的概率，即概率密度。因此，在量子力學中，用來描述微觀粒子狀態的波函數是時間和空間的單值函數。

量子力學中氫原子的波函數可以用Ψ（α，β，r）來表示。考慮到電子的勢能是r（半徑）的函數，采用球坐標空間某點（α，β，r）代替直角坐標空間某點（x，y，z），即x=rsinαcosyβ，y=rsinαsinβ，z=rcosα所以dV=dxdydz=drsinαcosβ·drsinαsinβ·drcosα。

事實上，輻射時氫原子的電子不是在每處都發生輻射效應，但這種效應總會發生，且頻繁發生。

顯然|？|2f·&右sinαcosβ就是受擊電子在某一時刻某點處發生輻射效應時電子沿輻射方向的概率瞬時偏移量。如果氫原子的電子所能處的區域為V，則電子對整個空間V出現的總概率為1[3]，即：

∫v|Ψ|2·dV=1 ? ? ? ?（4）

用|Ψ|2f表示氫原子某一時刻在某點處單位體積內電子發生輻射效應的概率（概率密度），則：

∫v|Ψ|2f·dV=Ч（0<Ч<1） ? ? ? ?（5）

氫原子某一時刻在某點處單位體積內電子不發生輻射效應的總概率則為（1-Ч）。Ч為氫原子電子發生輻射效應態的總概率，稱輻射效應態因子。

|Ψ|2表示在某一時刻在某點處單位體積內粒子出現的概率，若dV的區域取的足夠小，則單位體積的概率容為1/|Ψ|2（即單位體積內在某一時刻某點處粒子出現一次的單元格數目）。氫原子的電子所能處的區域為V的總概率容為：

N=∫v（1/|Ψ|2）·dV ? ? ? ?（6）

2.2 氫原子核外電子輻射效應態的概率位移

用一平面將氫原子分成左右兩部分。對式Ψ|2f·&右sinαcosβ進行面右積分，得到下式：

|Ψ（α，β，r）|2f·&右=sinαcosβdαdβdr? （7）

Δ右即為輻射效應態氫原子的電子在面右沿X方向的概率偏移量和。

同理可以得到輻射效應態氫原子的電子在面左的沿X方向的概率偏移量和：

Δ左=|Ψ（α，β，r）|2f·&左=sinαcosβdαdβdr? （8）

則氫原子核外電子輻射效應態沿X方向的總概率位移為Δ=Δ左+Δ左。值得注意的是氫原子核外電子非輻射效應態的總概率位移為零。

Δ氫=Δ/N ? ? ? ?（9）

Δ氫即為氫原子的電子輻射效應態沿輻射方向的概率位移。其物理意義是，只要氫原子受到光子輻射且發生輻射效應（康普頓效應），從量子力學的概率角度看，氫原子核外電子整體存在狀態具有沿輻射方向的位移。Δ氫未包含光電效應態的電子狀況，由于光電效應態的電子已是自由電子。

3? 結語

各種元素的電子受不同輻射光子的影響會處于輻射效應態。氫原子符合波爾理論，同時氫原子也遵從量子力學。輻射效應態下，通過分析氫原子中電子分布的不同位置，應用玻恩概率密度理論，可以求出氫原子的電子輻射效應態沿輻射方向的概率位移。

參考文獻

[1] 閆學群.光電效應，量子力學—光電效應[M].北京：清華大學出版社，2015：3.

[2] 程守洙，江之永，胡盤新，等.普通物理學（下冊）——康普頓效應[M].7版.北京：高等教育出版社，2016：230，252.