多元函數泰勒公式教學案例

李國權

摘? 要：泰勒公式是研究函數的重要工具之一，是許多數值算法和近似計算的理論基礎。針對泰勒公式這一教學目標，通過對一元函數泰勒公式進行對照講解教學，從而使得教學任務能夠順利完成，實現溫故知新的目的。

關鍵詞：對照教學? 泰勒公式? 偏導數? 導數

中圖分類號：O172 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2020）03（c）-0255-02

數學分析是本科數學專業學生的學科基礎課程[1]，將歷時3個學期，約300學時，是聯系初等數學與現代數學的紐帶，是后續課程學習的基礎[2]。通過該課程的學習，使學生在專業課的學習中儲備了必需的基礎知識，同時提高了運用數學概念、思想和方法研究事物的數學關系的能力，提高了思想和觀點的邏輯性、準確性，增強了自身的科學素養，培養了學生的自我學習能力。是學生創新能力形成，最終養成良好的思維品質的一種重要途徑。泰勒公式是研究函數的一個重要工具，是許多數值算法和近似計算的理論基礎。泰勒公式是大學數學乃至全部高等數學中的一個特別重要的內容，是微積分理論的最一般情形。它建立了函數增量、自變量增量與一階及高階導數的關系，它可將一些復雜難以理解的函數近似地表示為簡單易于理解的多項式函數。這種化繁為簡、化難為易的功能，使泰勒公式成為分析和研究其他方面問題的有力工具[3]。然而對于多元函數的泰勒公式，其形式上看來相對復雜，但與一元函數的泰勒公式并無本質上的區別。該文將探究對照教學法在此節內容的教學設計。

1? 教學目標

定理1 （多元中值定理）設二元函數f（x，y）在閉區域D內可微。對D上任意兩點成立：

定理1的結論與一元函數的微分中值定理在形式上是一致的，證明方法可以通過構造一元函數，并在[0，1]上使用Lagrange中值定理即可證明。教學過程中幫助學生回憶一元函數微分中值定理的證明過程，并對照學習。

定理2 （多元泰勒公式）若函數f在點P0（x0，y0）的某鄰域∪（P0）內有直到n+1階連續偏導數，則對∪（P0）內任一點（x0+△x，y0+△y），存在相應的0∈（0，1，使f（x0+h，y0+k）

注：Taylor公式的幾種形式。

若函數f（x，y）在點P0（x0，y0）的某領域內有直到n+1階連續偏導數，則：

（1）

其中

（2）為方便，記h=△x，k=△y，則：

其中

（3）

其中

這是用微分表示的Taylor公式，它與一元函數的Taylor公式在形式上更為接近，由此也可以看到一元函數中在二元函數的對應物是。

2? 教學內容

（1）講解并證明定理1。首先，引導學生觀察并發現定理的結論和一元函數微分中值定理的結論在形式上是相似;其次，幫助學生回憶一元函數微分中值定理的證明方法;最后，帶領學生一起完成定理1的證明。然而對于一元函數微分中值定理可以看作是泰勒公式的1階展開形式，那么多元函數有類似的泰勒公式嗎？

（2）回答上述問題，進行定理2的學習。證明過程通過回憶一元泰勒公式的證明方法，引導學生構造輔助函數進行證明，因為證明的關鍵在于如何構造輔助函數，所有如何引導學生是本節課的難點之一。

（3）舉例練習。

例1.近似計算（1.08）3.96。

分析問題：需要計算在（1.08，3.96）處的值，而f（1.4）=1，于是，令（x0，y0）=（1，4），△x=0.08，△y=-0.04，從而將f（1.08，3.96）=f（x0+△x，y0+△y）在（x0，y0）處泰勒展開，進行近似計算。

3? 教學效果及反思

數學教學是師生互動的數學思維的行為活動。教師在教學中要引領學生分析問題，這樣有利于學生在數學課程的學習中提高學生分析解決問題的能力。該節課通過對照教學，既幫助學生回憶復習之前的學習內容，同時能夠從以前的解題思路中尋找出解決新問題的方法，達到訓練學生創新能力的目的。對照教學法不但可以溫故還可以知新，激發學生學習的熱情，加深對知識的理解，提高學生的綜合素質。

參考文獻

[1] 歐陽光中，朱學炎.數學分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2018.

[2] 彭艷貴，趙立純，徐搖偉.數學師范專業基礎課程數學分析的改革與實踐研究[J].鞍山師范學院學報，2019（4）：1-6.

[3] 秦國強.多元函數的泰勒公式及其應用[J].呂梁教育學院學報，2013（2）：103-105.