利用比較揭示概念本質

朱莉萍

[摘要]數學概念是構建數學認知結構的重要基礎。在數學概念教學中，比較是行之有效的教學方法，它能幫助學生通過比較找出事物的本質特征和非本質特征，并在此基礎上加以概括，從而掌握概念的本質屬性。

[關鍵詞]概念;比較;比例;放大與縮小

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020）11-0020-02

【案例背景】

數學概念是進行判斷、推理、構建數學認知結構的重要基礎，是發展學生智力和培養學生數學能力的前提，是數學教學的重要內容。

很多教師雖然也重視數學概念的教學，但是過分偏重定義的敘述，強調識記概念內容，忽略對概念形成過程的探究，加上利用大量練習代替探究，導致學生理解不透概念、辨別不清相似概念。由于沒有經歷概念形成的過程，學生的抽象、概括、歸納等思維能力也無法得到發展及提高。

比較是人腦把各種感性材料加以辨析，確定它們的異同及彼此間相互關系的思維過程。比較是以分析為前提，從一般到特殊的歸納方法。在數學概念教學中，比較是行之有效的教學方法。合理、巧妙地運用比較，可以幫助學生找出事物的本質特征和非本質特征，掌握概念的本質屬性。下面以“按比例放大與縮小”的教學為例進行論述。

【教學片段】

出示：

師：看，老師帶來了什么？

師：這么可愛的小猴，我把它變大一些。

出示：

師：同樣是變大，有什么不同？與同桌交流你觀察的結果。

生1：一幅圖中的小猴變長了，另一幅圖中的小猴變扁了，還有一幅圖中的小猴不長不扁，但是變大了！

生2：變大的小猴形狀沒有變。

生3：變長和變扁的小猴雖然變大了，但是形狀也變了。

師：像這樣不改變形狀的放大，數學上就叫作圖形的放大。為什么變大后，形狀變了，而放大后形狀不變呢？（教師將4幅圖放在方格圖中，學生觀察分析、思考交流）

生4：圖2-3跟圖1相比，長沒有變，寬擴大了;圖2-1寬沒有變，長擴大了，所以才會變形。

生5：我發現圖2-1的長擴大了2倍，寬也擴大了2倍。

生6：圖2-1的長和寬同時擴大2倍，所以形狀不變。

師：算一算，圖2-1與原圖形對應，邊的長度比是多少？

生7：2：1。

師：我們可以說圖2-1是把原圖形按2：1的比放大的。

出示：

師：從大三角形到小三角形，是圖形的縮小嗎？

生。：不是，因為兩條腰是按1：2縮小的，而底邊是按3：4縮小的。

生9：每條邊縮小的比應該一樣，要么都按1：2縮小，要么都按3：4縮小。

師：也就是說三條邊縮小的比例不同。

師：如果把大三角形按1：2的比縮小，那么縮小后的三角形的每條邊長是多少厘米？

生10：兩條腰的長度還是4厘米，底邊應變成2厘米。

師：怎么算出底邊是2厘米的？

生11：大三角形的底邊是4厘米，按1：2縮小，就是4÷2=2。

師：把大三角形按3：4的比縮小，那么縮小后三角形的每條邊長應是多少厘米？

生12：底邊是3厘米，腰是6厘米。

師：左下角的小圖是大圖縮小后得到的嗎？是按幾比幾的比縮小的？

生13：是按1：9的比縮小的。

生14：不對！應該是按1：3的比縮小的。

師：現在出現兩個結果，到底是1：9，還是1：3？

生15（邊說邊比畫）：小圖的面積占大圖的九分之一，所以是1：9。

生16：雖然小圖的面積占大圖的九分之一，但是按幾比幾的比縮小應該看對應邊的比，縮小后的圖形與原來的圖形對應邊的比是1：3，所以是按1：3縮小的。

師：想一想，判斷一個圖形是按幾比幾放大或縮小，應該看什么？

生17：應該看放大前后或縮小前后對應邊長的比。

師：1：9是它們的什么比？

生18：面積比。

【案例反思】

一、利用比較，明確概念內涵

概念形成是一個由具體到抽象的過程。概念的學習是從感知大量的學習素材開始的，通過對學習素材的觀察分析，在頭腦中建立起學習對象的正確表象后，才能引入概念的意義。小學數學概念的描述普遍比較抽象，學生學習理解概念存在一定難度。對于概念教學，教師先要分析這個概念是建立在學生哪些已學的數學知識或學生已有的生活經驗基礎上，繼而思考如何利用引申、點撥、比較等方法溝通新舊知識間的聯系，巧妙地引出新概念。

六年級的學生在生活中都有過“圖形變大”的直觀感受，但要從生活中“圖形變大”的感性認識上升到對數學中“圖形放大”意義的理解，需要經歷一個去粗取精的過程。教師在原圖的基礎上出示了三幅變大后的圖，即長不變寬變、寬不變長變、長寬都按一定的比例變大的三幅圖。因為對比夸張、特征明顯，學生很快在三幅圖中找出圖2-1雖然變大了但沒有變形。夸張的對比，直觀凸顯了“放大”的數學本質，使學生明確感受到圖形變大有變形和不變形之分。在學生直觀比較后，教師再揭示“不改變圖形形狀的變大，在數學上就稱為圖形的放大”，學生對圖形放大的體會就更深刻。這次比較由生活意義上的“變大”自然過渡到數學上的“放大”，接著借助小方格讓學生再觀察，學生在比較中得出圖形的長和寬得同時按照相同的比例變大才行，從而發現數學上“圖形放大”與一般的“圖形變大”的本質不同，更深刻地理解了圖形放大的數學意義。至此，直觀的感性認識升華為對概念本質的理性認識，從而順利擴展和豐富原有認知結構。

知識遷移是指先前學習的知識對以后學習的知識所產生的影響和作用。在學生已經掌握了圖形放大的數學意義之后，圖形按比例縮小已經呼之欲出。教師自然地利用了知識的遷移進行教學，沒再出示方格中的圖形，而是直接呈現標有邊長的兩個等腰三角形，讓學生判斷“是大三角形到小三角形的縮小嗎？”。比較的過程就是學生利用圖形放大含義進行逆思考的自主遷移過程，是學生嘗試運用圖形縮小的意義自主進行探究、構建知識的過程，至此，學生初步學會怎樣按一定比例計算圖形縮小后各邊的長度。這次比較是建立在學生認知的實際狀態之上，利用并促成了知識的自主遷移，自然而然引出后序學習“如何根據一定的比畫出已知圖形放大或縮小后的圖形”。

二、利用比較，區分易混淆的概念

有些數學概念、公式，表面上看非常相似，本質上卻有很大差異，若不仔細觀察，認真比較辨析，學生常常會混淆。因此教學時，教師要引導學生多角度、多方位進行思考、比較，幫助學生準確地抓住概念的本質屬性、排除概念的無關特征。

例如，按一定比例將圖形放大或縮小，指的是放大或縮小前后圖形對應邊的比，但是圖形在放大或縮小時，除了邊長的變化外，面積的變化也非常明顯，因此學生很容易把圖形按對應邊的比縮小誤以為是按圖形面積的比縮小。把縮小的圖疊放在原圖左下角的圖3-下引發了學生新的認知沖突：究竟是按幾比幾的比縮小呢？新的認知沖突誘使學生對圖形放大與縮小的數學意義展開深入思考。結合對具體圖形的觀察，對照已經探索出的概念的理解，在對具體問題的比較辨析中，學生豁然開朗：“圖形按照幾比幾放大（縮小）原來就是放大（縮小）后與放大（縮小）前對應邊的比。”摒棄了面積比這一干擾。這次比較，使比的知識的特性更加清晰。

有比較才有鑒別，有鑒別才容易揭示規律、把握本質。在教學中找準學生的認知起點，精心選擇對比的素材，適時、恰當地運用比較分析，能使學生深刻地理解概念的本質意義，知其然也知其所以然。這樣既發展了學生的邏輯思維能力，又培養了學生運用所學知識解決實際問題的能力，使學生學得輕松、愉快，學得扎實，學習力悄然生長。

（責編金鈴）