金融數學專業《常微分方程》的教學改革

趙利云 薄洪波

摘要：金融數學是由數學與金融學交叉發展起來的一門新興邊緣學科，其學科方向偏重于文科類，因此對于金融數學方向的學生來說，《常微分方程》課程太過于理論化，難于完全理解和掌握。而對金融數學專業的學生來說，《常微分方程》課程的教學目標是必須掌握基本的知識點、基本的理論，會靈活應用理論知識解決專業課程中出現的金融問題。基于此，將探索如何在教學過程融入金融案例，使得此門課程的教學內容為學生所用。

關鍵詞：《常微分方程》 金融數學案例 教學方法 教學改革

中圖分類號：O175? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009-5349（2020）07-0028-02

金融數學是這些年來由應用數學與金融學交叉發展起來的一門新興的邊緣性學科，是應用數學基本理論和數學模型來研究人們的消費和投資決策的。由于其具有很強的實用性和可操作性，故受到國際金融界和應用數學界的高度重視，導致其理論得到了長足發展。而它的進一步發展是離不開數學基礎課程的支撐的。《常微分方程》作為一門理論性強、變化性強、解題思路和方法眾多的課程，對金融數學的學生而言，是必須掌握的，而且還需要能靈活應用其解決專業課程中的問題。同時，金融數學專業的《常微分方程》教學是繼《解析幾何》《數學分析》《高等代數》之后開設的一門非常重要的基礎專業課，它是為后續的金融方面專業課服務的。《常微分方程》課程內容的掌握程度對理解后續金融方面專業課起著舉足輕重的作用，因此，對此課程的改革有著廣泛的實用價值[1]。

一、《常微分方程》課程的學習和教學現狀

目前，大部分金融數學方向《常微分方程》課程的教學過程中，主要存在以下問題：

（一）學生方面

一方面《常微分方程》部分內容理論性太強，如解的存在唯一性定理、解對初值的連續性和可微性、解的延拓定理、穩定性理論等，這些內容對金融數學的學生而言，有一定的難度，學生難以掌握。另一方面，很多學生不會利用常微分方程理論解決其在專業課中遇到的金融案例，不會利用常微分方程知識解釋金融過程中出現的現象。進而導致其認為學《常微分方程》沒有用，在以后的學習和實踐中起不到作用，因此缺乏學習的主動性和積極性。

（二）教師方面

在教學內容上，任課教師，特別是純數學專業的教師，過分強調微分方程理論的嚴密性，以及一些有關微分方程的理論，忽略它與金融課程的聯系，不太注重這些微分方程在金融問題中的實際意義及如何利用微分方程建立金融問題模型，造成學生對所學內容不感興趣，過后不會應用所學知識解決實際問題的局面。因此，如何在教學中突出其實踐性已成為近年來教學改革的熱點。此外，在教學方法上，存在的問題主要表現為在授課過程中沒有應用到計算機軟件（像Maple，Matlab，Mathematics）等去演示和仿真，這樣不利于學生創新意識及應用能力的培養和提高。

針對以上存在的問題，本論文主要立意于改革《常微分方程》的教學內容、教學方法、教學模式。此項改革對于金融數學專業的發展有著重要的意義，主要體現在以下幾個方面：第一，通過教學內容重組和優化可以減輕學生的學習負擔，使學生具有明確的學習目標;第二，通過在授課過程中結合金融案例，可以幫助學生更好地理解《常微分方程》中的一些概念和理論，達到將所學知識融會貫通的目的;第三，數學軟件的引入，提高了學生應用理論知識解決實際問題的能力，從而更深刻地理解所學的金融數學專業問題;第四，教學模式和教學方法的改革，尤其是讓學生參與教學過程，可以提高學生的學習興趣及學習主動性，從而培養學生的自學能力及整體素質。因此，在本論文中提到的改革的實施將會使金融數學方向的學生成為學習能力、專業實踐和創新能力都較強的應用型人才。

二、改革的具體措施

針對金融數學學生存在的上述問題，本論文提出一些改革的具體措施：

（一）對原有《常微分方程》課程內容進行優化重組、適當刪減

1.將微分方程的解法歸納為一個部分，這部分內容重于應用

通過對一階、二階線性及非線性微分方程的講解，讓學生會求這類微分方程的解。因為這部分內容在《高等數學》中已有涉及，所以這部分內容對于學生的學和教師的教都不具有挑戰性，但這部分內容在實際應用中卻發揮著舉足輕重的作用，因此，必須重視對這部分內容的學習。

2.把解的存在、唯一性定理、解的穩定性作為第二部分

這部分內容理論性較強，讓學生了解理論知識即可。對于難度大的定理的證明，不講證明過程，要求學生記住定理內容，會應用定理解決數學問題。比如，延拓定理和解對初值的依賴性定理，我們只講直觀的幾何解釋，不講定理的證明，這樣既達到了教學大綱要求，又減輕了學生負擔，對此不可深入挖掘，否則會讓學生陷入厭學的狀態。

3.微分方程的應用

這部分內容是重點，學生一定要深入理解這部分內容，并會利用理論知識理解和解決金融問題。用解的穩定性理論來預測現實中金融問題的走向，作出正確的決策，進而提高學生的學習興趣，培養其勇于創新、敢于探索的意識。

（二）教學過程中加入一些《常微分方程》的金融背景介紹

適時用金融案例替換教材中涉及其他學科的案例，幫助學生理解金融問題和《常微分方程》的關系;創設與教材的內容相吻合的金融情境，幫助學生學習基本理論和基本內容。這樣既提高了學生的學習興趣，也能幫助學生明確金融方面的專業課和數學基礎課程的關系，進而初步建立具有金融數學模型的思維方式。比如：在講微分方程的穩定性時，可以引入一個生產子塊、貨幣子塊、證券子塊所組成的金融模型，并講明它所代表的具體意義。而且這個模型的系數在一定的范圍內時，微分方程會出現混沌現象，也即經濟問題中經常出現的不穩定，無序，無規律性[2]。后續任課教師可以查找相關資料，找出大量的類似案例進行講解。

（三）引入數學軟件，提高學生學習興趣，培養應用能力

對于實際的金融案例，通過金融背景知識建立數學模型。分析此數學模型的實際意義，預測模型的穩定性或其趨勢，進而理解方程。引入Maple、Matlab、Mathematic等數學軟件對上述問題求解析解，對金融數據進行分析，進而作圖進行數值仿真以驗證預測的穩定性或其趨勢是否正確。同時，通過利用軟件編程的過程，讓學生理解龍哥—庫塔迭代算法的本質，也為學生學習《數值分析》課程奠定了基礎。進而使學生能夠把所學知識應用于解決金融衍生資產定價、金融風險管理等問題中去，培養學生運用數學方法研究解決問題時所需的理解力、洞察力和想象力。此外，通過數學軟件的學習，培養學生從復雜的影響因素中分析出關鍵因素并設計解決方案的基本能力，具備通過數值計算對金融問題進行數值分析和檢驗預測猜想的方案的能力[3]。

（四）讓學生參與教學以調動學生學習的積極性

當前不少學校存在一個現象，學生的學習主動性比較差，總是被教師牽著鼻子走。而教學活動是教師指導下學生主動學習的過程，教與學是一個過程的兩個方面，二者相伴相隨。學生參與教學，就是要參與到教學的各個環節中，教師利用好各個環節的教學促進學生的發展，發揮他們的主觀能動性。因而，為了鼓勵學生自主學習、培養自學能力，提高學生學習積極性和綜合能力，我們可以把相對平行的內容單拿出來讓學生分組自己來講。引導學生從被動學變為主動學，從機械地聽和記變為自覺地探索與思考，從根本上改變了目前許多學生“上課記筆記、下課抄筆記、考試背筆記、畢業扔筆記”的現狀，從而培養學生獨立求知和獨立思考、解決問題的能力。最后，師生共同評議，從而提高學生學習的主動性和自信心。

三、結語

對于如何在金融數學專業中進行《常微分方程》課程的教學，教師在上述改革的基礎上還需要不斷摸索適合本校學生的教學方法和教學目標。而教學中融入金融數學案例的思想，不單單是課程的融入，更重要的是在學生思維中的鑲嵌[4]。在實踐中，教師們應從常微分課程教學實際情況出發，培養學生應用所學知識去認識問題和解決實際金融問題的能力，建立適合本校應用數學專業學生的教學內容、教學方法和教學模式。

參考文獻：

[1]馬軍海，陳予恕.一類非線性金融系統分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究（I）[J].應用數學和力學，2001（12）：1119-1128.

[2]鐘云燕.對金融數學專業教學改革問題的思考[J].廣東技術師范學院學報，2009（1）：102-104.

[3]何樹紅，李凱敏，李志勇，等.金融數學方向碩士研究生培養模式探討[J].學理論，2011（27）：96-99.

[4]韋程東，高揚，陳志強.在《常微分方程》教學中融入數學建模思想的探索與實踐[J]，數學的實踐與認識，2008（20）：228-233.

責任編輯：張蕊