新高考背景下中學數學數列通項公式的高效解題

新高考背景下中學數學數列通項公式的高效解題

鄒正瑞

摘要：數列通項公式作為數列知識的基礎，教師在教學的過程中應當積極地引導學生熟練地掌握通項公式的相關知識，并且能夠在遇到相關問題時在最短的時間內進行通項公式的求解，這樣才能保證學生在緊張的高考氛圍下，取得理想的成績。

關鍵詞：中學數學;數列知識;通項公式;求法探究

中圖分類號：G633.6?????????? 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）08-074-2

在高中數學教學過程中不難發現，學生的數學知識基礎、數學學習能力和數學思維都是不盡相同的。在素質教育的背景下，教師應當積極的針對學生的思維特點進行教學引導，讓學生能夠真正的透徹理解數列相關知識。這對于學生構建自身的數學思維和數學素養具有積極的促進作用。

一、應用遞推法求解通項公式

遞推法求解數列通項公式實際上就是運用了數學思維中的邏輯思維，通過將數列推導到比原問題簡單的問題上來進行通項公式的求解。比如，將繁雜的數列進行簡化、將一般的數列進行特殊化，這樣能夠直接的進行通項公式的求解。

例一：在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，有an=3an-1+2，求{an}的通項公式。

解題思路：本題在進行解析的過程中應當積極的運用遞推法將這一數列進行化簡。

設an+m=3an-1+m，得出an=3an-1+2m;對比an=3an-1+2得出m=1;

進而得出an+1=3（an-1+1）;即an+1an-1+1=3。

因此得出數列{an+1}是以a1+1=2為首項，以3未公比的等比數列。

最后套用公式而得出通項公式：an=2·3n-1-1。

在應用遞推法求解數列通項公式的過程中，應當根據題目的描述或者特征來適當的構筑一些輔助的數列，這樣才能夠運用基本數列進行快速的求解。遞推法實際上考驗的是學生的數列基本知識和邏輯遞推能力，這就需要學生對數列相關知識具備扎實的基礎才能夠進行快速的解析。

二、應用公式法求解通項公式

可以說，公式法是通項公式求解過程中相對簡單的一類方法。這類方法主要依靠于題目中提供的數列為等比數列或者等差數列，而在看到這類數列的時候可以利用等比數列和等差數列的性質來直接套用相應的通項公式進行求解，這個時候只需要對公差或者公比進行求解就可以得出完整的通項公式。

例二：數列{ an} 中，如果a1 = 1，an+1 = an +2（ n≥ 1），求通項公式 an。

解題思路：在進行本題求解的過程中可以通過已知條件求出一個等差數列，然后利用公式進行求解，相對比較簡單。

在運用公式法進行通項公式求解的時候，主要考驗的是學生對于等差和等比數列性質的理解和掌握，等差等比數列作為中學數列知識中的重點內容，教師應當積極的引導學生對于相關知識的理解，讓學生能夠牢固的掌握等差等比數列的特點，并且能夠在考試的過程中，一眼判斷出是否是等差或者等比數列，這樣才能夠快速的套用相應的公式進行求解，真正的實現學生解題效率的提升。

三、應用累加法、累乘法求解通項公式

累加法求解通項公式往往是針對那些題目中給出an，an+1，an-1遞推公式的題目，在面臨這些題目時學生第一反應應當是選擇累加法將這些特殊的數列進行累加，然后通過類推和整理，將復雜的數列逐漸的簡化。最后，求解出通項公式。累加法主要是反復的利用題目中所給的遞推關系來進行數列的化簡，這樣才能夠得出（n-1）個式子，然后進行累加，最終轉化成f（n）的前（n-1）項的和，在進行累加法應用的過程中應當注意相關的求和技巧的運用。

例三：在數列{an}中，a1=2，an+1=an+2n-1，求{an}的通項公式。

解題思路：觀察題目可以得出a2 -a1 =1;a3-a2 =1;……;an-an-1n=2n-3。然后進行逐項的累加可以得出an=n2-2n+3。

累加法求通項公式要求學生在進行題目求解的過程中，能夠對題目進行細致的觀察。觀察到題目中存在應用累加法通項公式的特征之后，能夠快速的進行應用。累乘法求通項公式的過程中需要學生能夠快速的找準累乘的項，這樣才能夠通過對相關項的乘積觀察來進行求集。并且在應用累加法、累乘法求解通項公式的時候，應當特別的注意項數的計算，學生在項數計算的過程中非常容易出現馬虎，而導致多算一項或者少算一項的問題出現，而這一情況則會讓學生的最終結題結果出現錯誤。

四、應用待定系數法求解通項公式

待定系數法適應題目中給出an+1=qan+f（n）的條件，其主要是通過將題目中所給出的數列進行轉化成等比數列或者等差數列，再根據數列的本質就是一個函數的角度出發，從函數的定義域的自然集中進行函數的解析，這種方法對于學生函數知識和數列知識的考察是十分重要的。

例四：在數列{ an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥ 2），求{ an}的通項公式。

解題思路：在本題中，根據題目條件可以得出an=2an-1+1（n≥ 2）：，因此，有an+1=2（an-1+1）。又因為在a1+1=2，∴{an+1}這一數列中，其作為首項為2，公比為2的等差數列，就可以根據等差數列的性質來進行計算，因此，得出an+1=2n，經過轉化得：an=2n-1。

在進行待定系數法解題的過程中應當主要觀察題目中給出的條件能否符合待定系數法的特征，然后根據相關的特征進行解析，這樣不僅僅可以保證解題的正確率，更是可以通過函數知識的運用化簡整個題目，達到快速解題的目的。

五、應用特征跟法求解通項公式

特征根法通過引入一些特定的系數來轉化相應的命題結構，并且通過變形和比較將問題轉化為基本數列，然后進行通項公式的求解。在新高考的背景下，數列相關問題求通項的問題越來越復雜，當無法運用以上幾種方法進行求解的時候，可以運用特征根法來進行數列的通項公式的求解。遞推公式對應的特征方程x2=px+q擁有兩個實數根的時候，就可以通過相應的公式an=（cn+d）·（p2）n-1來求通項公式;當特征方程有兩個不相等的實數根的時候，可以通過an=ex1n-1+fx2n-1來求通項公式;當特征方程擁有虛的根為虛跟的時候，這種情況在中學數學知識學習時不進行討論。

例五：在數列{an}中，a1=1，擋n≥2的時候，an=an-1+2n-1，求{an}的通項公式。

解題思路：在本題的解題過程中，應當積極的運用待定系數法進行相關命題結構的變化，然后將復雜的數列問題逐漸的轉化為基本的數列問題，最終求出通項公式。首先，bn=an+An+B，在an=bn-An-B， an-1=bn-1-A（n-1）-B，中代入題目給出的遞推公式中，則得出bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），進行方程組的求解可以而出

這個時候，bn=12bn-1且存在bn=an-4n+6，因此，bn=32n-1，最終得出an=32n-1+4n-6。

數列問題本質上可以說是函數問題，將數列轉化為函數來進行求解能夠幫助學生清晰地認知到數列的本質，加深學生對于數列知識的理解。

六、應用倒數法求解通項公式

倒數法顧名思義就是通過將題目中給出的數列式子進行倒數變化，然后在進行簡化觀察求解的一種方法，這種方法主要適用于題目中給出分數式子的情況下。

例六：在數列{an}中，a1=1，an+1=2an3an+2，求{an}的通項公式。

解題思路：本題就是應用倒數法進行解析，將an+1轉化為1an+1，這樣能夠快速準確的得出通項公式。

利用倒數法進行解題構造相應的特殊函數來進行解題，比如通過an+1=panqan+p→1an+1=pan+ppan=1an+qp這樣的形式來進行等差數列的構造，這樣能夠進一步的應用等差數列的特點來進行相應通項公式的解析，真正的實現在面臨復雜分數式子的時候達到高效解題。

隨著素質教育的不斷發展進步，在中學階段教師不僅僅注重學生數學基礎知識的夯實和理解，更是應當從學生未來發展的角度出發，培養學生的數學思維和數學思想。數列知識作為中學數學中的重點內容，一直是高考考試中重點考察的內容。在新高考的形勢下，高考對于學生綜合能力的考察越來越重視，這不僅僅需要學生具備良好的數學知識體系，更是需要學生能夠在解題的過程中快速、準確的把握住數列問題的解題要點，從而能夠快速、準確的進行通項公式的求解。

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（作者單位：安徽省定遠中學，安徽 定遠 233200）