記2019年浙江高考第21題的研習經歷

周丕芬 (浙江省寧波中學 315100)

徐春波 (浙江省寧波市鄞江中學 315151)

遇到“好題”，特別是對“好題”經歷一番備嘗艱辛的研究和學習過程，對筆者而言好比如獲瑰寶、如沐春風．在對2019年浙江高考第21題解析幾何問題的研習過程中筆者深有感觸，能將親身經歷的解題和反思過程寫下來，之于筆者是一種釋然、一種樂趣．

1 解題

這一階段筆者通過“初次解題、對比解題、參考解題、調整解題、優化解題、簡化解題”六個環節展開．

喬治·波利亞的解題理論主要觀點是：弄清題意，擬定計劃，實施計劃，反思題目．筆者的初次解題是根據上述理論，從明確數學運算對象開始．

圖1

問題(2019年浙江高考第21題)如圖1，點F(1, 0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點． 過點F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側．記△AFG, △CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準線方程；

擬定計劃 嘗試從面積運算出發探尋運算思路，選擇合理的運算方法，并設計行之有效的運算程序，最終求得運算結果．設計的運算流程圖如圖2．

圖2

實施計劃 如下．

1.1 初次解題

解法1線參——以直線AB斜率的倒數m為參數進行運算．

Step 1 引參．

Step 2 用y1,y2表示．

Step 3 用參數m表達．

Step 4 計算面積比及最值．

反思難點1：限定y1>0比較關鍵，能有效避免y1符號不定帶來的運算困擾．

圖3 圖4 圖5

1.2 對比解題1

解法2線參——用直線AB的斜率k為參數進行運算．

Step 1～2略．

Step 3 用參數k表達．

Step 4 計算面積比及最值．

1.3 對比解題2

解法3點參——用y1為參數進行運算．

Step 1～2同解法1，略．

Step 3 用y1表達．

Step 4 計算面積比及最值．

1.4 參考解題

解法4點參+韋達定理——化用拋物線的參數方程引參．

Step 1 引參．

Step2 求得關鍵點與直線,限定參數范圍．

Step3 計算面積比及最值．

反思參考答案步驟清晰、結構緊湊、思維嚴謹，化用拋物線的參數方程，參數與韋達定理完美結合，凸顯“點參”的威力．

經歷解法1、2的運算艱辛，感嘆解法3、4的優美和諧，疑問在筆者的腦海中隨之產生：韋達定理是標配嗎？可否用雙參數表達呢？于是重新調整運算流程圖(圖6)．

圖6

1.5 調整解題

解法5雙點參+三點共線——利用三點共線合理規避韋達定理．

Step 1 三點共線．

Step 2 用y1,y2表示．

Step 3 面積比及最值．

反思解法5是通過雙參數列式，再轉化為單參數計算，與解法4殊途同歸．從后續題目的推廣及深入研究來看，解法4～5具有較好的普適性．

圖7

1.6 優化解題

解法6平面幾何法——面積比、距離比、坐標比．

圖8

反思解法6不走尋常路，巧妙之處在于比值轉化．注意到向量在比值運算中的獨特作用，于是嘗試向量處理．

1.7 簡化解題

解法7向量法——面積比、模長比、系數比．

反思解法7雖然拋棄了圓錐曲線的常規解題途徑，但不可否認的確簡化了計算．仔細分析解法7，筆者發現“拋物線”這一載體完全可以去掉或者更換．繼續探究下去，發現此題有著廣闊的推廣空間，非常適合變題．

2 變題

筆者以解法5和解法6為解題范本，提出以下9種想法．

想法1 去掉“拋物線背景”，將題目變為一道純粹的平面幾何問題．

想法2 一般化：“焦準距p=1”這一常數不給出，是否有類似結果？

想法3 再一般化：“直線AB過x軸上一定點F(a, 0)”，是否有類似結果？

想法4 更一般化：“解除直線AB的束縛”，即去掉直線AB過定點條件，是否有類似結果？

想法5 更加一般化：“讓點G自由一點”，即G為中線AM上任意一點，是否有類似結果？

想法6 終極一般化：“讓G徹底自由”，即G為△ABC內任意一點 ，是否有類似結果？

想法7 推廣到橢圓．

想法8 推廣到雙曲線．

想法9 去掉圓錐曲線背景，變成一道解三角形問題．