兩類曲面積分相關疑難問題解析

張 輝，王兆強

(火箭軍工程大學 基礎部，陜西 西安 710025)

曲面積分[1]是多元函數積分學中線面積分的重要內容，如何正確計算曲面積分是學生需要解決的關鍵問題.為使學生能夠深刻理解兩類曲面積分，本文將對第一類和第二類曲面積分從不同角度進行深入再研究，并輔以典型例題供學習參考，期望學生能靈活使用，達到舉一反三、事半功倍的效果.

為了確保二重積分和曲面積分的存在性，我們假設被積函數均是連續或分塊連續.

1 第一類曲面積分與二重積分之間的聯系

2 積分曲面方程為參數方程情形的第一類曲面積分的計算方法

為了更好掌握上述方法，下面不妨來看這樣一個問題.

3 計算第一類曲面積分的元素法

當積分曲面∑為圓柱面部分側面時，根據被積函數的特點，可利用元素法[3]思想和方法得到曲面面積元素ds的特殊表達式，進而可將第一類曲面積分化為定積分或第一類曲線積分來簡化計算.

解：由元素法的思想，圓柱面的面積元素可取為dS=2πRdz.即有：

通過上面兩個例題可以發現，當積分曲面∑為圓柱面部分側面時，基于被積函數的特點，將第一類曲面積分化為定積分或第一類曲線積分可以有效地計算出積分的數值，比將其化為二重積分計算便捷的多，可以達到事半功倍的效果.

4 第二類曲面積分中的和二重積分面積元素的聯系

5 第二類曲面積分與∑的圖形無關

當被積函數R(x,y,z)恰好為關于x、y的二元函數R(x,y)時，即有：

6 第二類曲面積分的內在聯系

設積分曲面∑是由方程z=f(x,y)所給出的光滑曲面上側，記∑在任一點(x,y,z)處的單位法向量為：

事實上，從換元法的角度也可以建立其內在聯系，即：

(1)

通常，我們把式(1)稱為第二類曲面積分的合三為一的公式.式(1)為我們提供了一種計算第二類曲面積分有效的方法.

7 結語

曲面積分是多元函數積分學的重要內容，如何深刻理解兩類曲面積分是學生在學習過程中面臨的難點問題。從簡單的一元函數積分學過渡到復雜的多元函數積分學的學習過程確有難度，但是，似乎越難的學習過程就越具有其獨特的魅力，因為，它會促使你不斷地花心思去學習它、理解它、體會它，從而真正感到它的內在美。本文從6個不同角度對第一類和第二類曲面積分進行了深入研究，并輔以典型例題供學習參考，期望學生對曲面積分能有較為深刻的理解和掌握。