方程思想在初中幾何中的運用

吳春紅

【摘? 要】初中階段所涉及的各種知識點中都有方程思想的影子，方程思想從本質上說是一種同代數相關的思想，因此部分幾何問題似乎同方程思想沒有聯系，不過在解決這類問題的過程中人們往往發現沒有方程思想的參與是行不通的。所以，教師應培養學生掌握問題中“隱形”條件并借助此類條件對數學問題加以解決的能力，也就是要培養學生將方程思想運用于各類數學問題解決的能力。本文就方程思想在初中幾何中的運用做了一點探索。

【關鍵詞】方程思想;幾何;運用

中圖分類號：G633.63? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：0493-2099（2020）35-0141-02

The Application of Equation Thought in Junior Middle School Geometry

（Xiting Junior High School， Tongzhou District， Nantong City， Jiangsu Province，China）WU Chunhong

【Abstract】The various knowledge points involved in the junior high school stage have the shadow of equation thinking. Equation thinking is essentially a kind of algebra-related thinking. Therefore， some geometric problems seem to have no connection with equation thinking， but they are solving such problems. In the process， people often find that the participation without equation thought is not feasible. Therefore， teachers should cultivate students' ability to master the "invisible" conditions in problems and use such conditions to solve mathematical problems， that is， to cultivate students' ability to apply equation thinking to solving various mathematical problems. This article does a little exploration on the application of equation thinking in junior high school geometry.

【Keywords】Thoughts of equation;Geometry; Application

一、初中幾何知識概況

在初中數學學科中，方程思想是始終涉及其中的，初中階段幾何教學中的知識點主要涉及針對三角形、圓形以及四邊形的求解。具體來說，初中階段能應用的方程內容主要包括一元一次以及二元一次方程或方程組，同時也可能用到分式方程，一元二次方程也是解決初中問題時候會用到的方程內容。其中一元一次方程就是只包含一個未知數，其最高次數是1，同時等號兩邊均是整式的等式形式，這種方程的根的數量只有一個;如果一個一元方程，其中所包含的未知數數量只有一個，同時未知數項其最高次數為2，而方程又為整式方程，那么可以稱其為一元二次方程;包含兩個未知數，同時這些未知數它們的項的次數均為1，這樣的一種整式方程就稱為二元一次方程;分式方程屬于方程的一種，這是一類有理方程，其分母中包含未知數或是未知數整式。

二、如何將方程思想應用在初中幾何教學活動中

方程思想為初中階段所學的代數知識中包含的核心思想，在整體初中代數學習內容中都有它的身影，可見它同初中代數之間的密切聯系，然而，這并不意味著這種思想同初中幾何之間就沒有什么聯系。初中教學所使用教材也指出這樣一個事實，即方程是一種可以有效地將現實世界里存在的各種數量關系體現出來的數學模型，因此方程思想不光在代數問題的解決上有很廣泛的應用，同時也可以用來解決很多幾何領域的問題，具體來說就是借助圖形所具有的一些形式建立方程，再通過方程解析找到答案。實際上，對于求解初中幾何問題甚至是一切幾何問題來說，方程思想都是一種重要的手段。

三、用方程思想解決初中幾何問題常見的幾個切入點

用方程思想解決初中幾何問題常用的模式主要有六種，第一種是借由多邊形內角和公式建立方程，很多同多邊形相關的問題都是給出內角和度數，要求求邊數，這個時候在這一公式基礎上建立方程，再解方程就比較容易得到多邊形邊數;第二種是借由相似三角形具有的性質來建立方程，由于這類三角形對應邊彼此成比例， 因此在解決相關的問題時經常要利用該性質在方程和幾何之間形成聯系，以解決有關問題;第三種是借由勾股定理建立方程，該定理不光在數學領域非常關鍵，而且也同現實生產生活有較為密切的聯系;第四種是借由面積關系來建立方程，有些幾何問題如果通過面積關系基礎上建立的方程分析就會容易找到答案;第五種是借由三角函數來建立方程，該函數同數學學科和現實生活之間也具有重要的聯系，特別適合解決測量方面的問題;第六種是借由圓的性質來建立方程，圓相關性質結合方程思想可以用來解決多種多樣的問題。

四、利用方程思想解決初中幾何問題的方案示范

（一）平面幾何中的折疊問題

初中階段的幾何學習涉及平面幾何的內容，其中的折疊問題比較具有代表性，除了線段及三角形幾何形狀的折疊之外，四邊形折疊也是其中一種，這類折疊問題很多都可以通過方程思想來求解。例如人教版數學教材八年級下冊中包含四邊形的內容，這里就通過利用幾何思想解決四邊形折疊問題來一窺究竟。例：將矩形紙板[ABCD]根據圖1中給出的方式進行折疊，讓頂點[B]與點[D]互相重合，以EF作為折痕，假如[AB]長度為[6cm]，[BC]長度為[=10cm]，那么[DF]長度是多少，重疊部分△DEF其面積又是多少？

解題思路：設[DF]長度是[xcm]，則[CF]長度為（[8-x]）[cm]，通過勾股定理解得[x=7.5cm]，在此基礎上就能繼續求解，最終可以獲得[△DEF]這個重疊部分的面積。通過本題的解題方案可以發現，試圖對幾何問題進行解決的時候，如果能基于圖形本身的性質合理建立方程或方程組，并利用解方程的方法探索答案，解題就變得更容易了，所以利用方程思想處理這些問題應，成為初中生需要掌握的一種能力和技巧。

（二）利用方程思想解決平面幾何中函數及幾何圖形類問題

利用方程思想還可以解決平面幾何中函數及幾何圖形方面問題，此類問題中比較常見的關系主要包括函數同三角形之間的關系、函數同四邊形之間的關系以及函數同圓之間的關系，在解決涉及這些內容的問題過程中都可以將方程思想運用進來。例如，在平面直角坐標系里面有一個直角梯形[OABC]，[AB]平行于[OC]，[OA]長度是5，[AB]長度是10，[OC]長度是12，[y=ax2+bx]這一拋物線經過兩點[B]和[C]。（1）請將拋物線解析式算出來;（2）有一動點，假設是P，P從點A開始出發，并沿著[AC]朝點[C]方向前進，速度為兩個單位長度/s，與此同時，另有一個動點，假設是[Q]，[Q]從點[C]開始出發，并沿著[CO]朝點O前進，速度為一個單位長度[/s]，一旦[P]前進到點[C]，則兩點在同一時間停止運動，運動時間設為[T]秒，那么[T]的值是多少的時候[△PQC]構成直角三角形？

針對第一個問題，首先，根據0A、AB以及OC的長度值可以知道B點坐標為（10，5），C點坐標為（12，0），在此基礎上將a、b的值計算出來，最終得到拋物線的解析式。針對第二個問題，首先還是使用勾股定理計算出AC長度為13，在此基礎上首先根據已知條件計算出點P前進到點C花費的時間為6.5秒，那么CP的長度值為AC長度減去AP長度的差值，CQ=T，將角PQC為直角以及角CPQ為直角兩種可能情況都考慮進去，就可以計算出當T的值是多少的時候，該三角形構成直角三角形。在解決該問題的時候，初中幾何中涉及的相似問題以及函數內容和方程思想形成了有機的結合，這樣學生不光可以深化對相關函數知識的理解，還可以提高邏輯思考能力。

五、結語

在初中幾何學習中，初中數學教師應在充分認識到方程思想對學生幾何學習的積極意義的基礎上帶領學生對其進行應用，這樣不光能讓學生更有能力解決一些幾何問題，也能讓學生學會一種新的解決問題的思考途徑。

參考文獻：

[1]孫玉勇.淺析中學幾何解題中蘊含的方程思想[J].數學學習與研究，2014（07）.

（責任編輯? 袁? 霜）