論數(shù)學(xué)思想方法在高中函數(shù)教學(xué)中的有效滲透

王小剛

【摘? 要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，函數(shù)與方程是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，如何突破重難點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，是數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)關(guān)注的課題。本文圍繞高中函數(shù)教學(xué)，結(jié)合具體教學(xué)案例，詳細(xì)分析了分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想三類數(shù)學(xué)思想方法在高中函數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用，希望為高中其他重點(diǎn)知識應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法提供一些具有參考價(jià)值的建議。

【關(guān)鍵詞】高中函數(shù);數(shù)學(xué)思想方法;有效滲透

數(shù)學(xué)思想方法作為一種有效的教學(xué)手段，在數(shù)學(xué)知識教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透，可促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的理解，使學(xué)生了解函數(shù)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提高。接下來，我主要以高中函數(shù)教學(xué)為例，具體分析數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透，旨在有效提高高中函數(shù)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

一、高中函數(shù)教學(xué)中有效滲透分類討論思想

高中函數(shù)教學(xué)過程中，分類討論思想方法的有效滲透，其立足點(diǎn)是數(shù)學(xué)具體對象的本質(zhì)異同。分類討論主要指對數(shù)學(xué)具體對象按照本質(zhì)的異同，進(jìn)行種類的合理劃分，最終得到最優(yōu)解。以高中函數(shù)定義域試題為例，分類討論思想的有效滲透，可通過函數(shù)底數(shù)討論，確定函數(shù)自變量，然后借助分類討論思想，逐步完成不同自變量對面的函數(shù)性質(zhì)來達(dá)到，如此既能保證學(xué)生思維縝密，引導(dǎo)學(xué)生更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙Υ瘮?shù)問題，又有利于函數(shù)問題的解決。同時(shí)，分類討論可將函數(shù)問題整體劃分為若干小問題，隨后對若干小問題進(jìn)行逐一解決，以此降低函數(shù)問題的解決難度，最終幫助學(xué)生有效解決函數(shù)問題。在此過程中，分類討論思想方法的有效應(yīng)用，一方面能降低的問題難度，促進(jìn)學(xué)生理解;另一方面還有助于鍛煉學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展。

例：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2）。若a*b*c=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。教師在講解此問題時(shí)，需基于問題本質(zhì)，從可能出現(xiàn)的若干種情況進(jìn)行分類討論，在具體討論過程中，教師需圍繞a*b*c=4，將a、b、c的值進(jìn)行分類討論：∵a≥b≥c，若a<0，則b<0，c<0，a+b+c<0，與a+b+c=2矛盾。∴a>0。∵b+c=2-a，b*c=4/a，∴b，c是一元二次方程x2-（2-a）x+4 a=0的兩實(shí)根。∵△=（2-a）2-4×4/a≥0，∴a3-4a2+4a-16≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，故a≥4。∵a*b*c>0，∴a，b，c為全大于0或一正二負(fù)。①若a，b，c均大于0，∵a≥4，與a+b+c=2矛盾;②若a，b，c為一正二負(fù)，則a>0，b<0，c<0，則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，∵a≥4，故2a-2≥6當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立。故|a|+|b|+|c|的最小值為6。基于上述解題過程，可知教師的解題思路，在分類思想的有效滲透下，主要將a，b，c進(jìn)行分類討論，并引導(dǎo)學(xué)生提出不同假設(shè)并進(jìn)行問題答案的討論，得出不同結(jié)果，最終結(jié)合題目已知條件，最終確定函數(shù)的最小值。在此函數(shù)解題的過程中，分類討論思想的應(yīng)用，主要是根據(jù)對象的異同，將復(fù)雜函數(shù)問題通過劃分為若干小問題，簡單化函數(shù)問題，以此促進(jìn)學(xué)生問題分析能力與問題解決能力的提高。同時(shí)，問題分類討論有助于鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

二、高中函數(shù)教學(xué)中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想

高中函數(shù)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用十分廣泛。函數(shù)關(guān)系本身屬于抽象屬性關(guān)系，通過直觀方式加以呈現(xiàn)，更有利于解決函數(shù)問題。簡單來說，教師圍繞函數(shù)問題，通過解讀函數(shù)的已知條件，以直觀的數(shù)字與圖形相結(jié)合的方式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生通過觀察圖形得出函數(shù)問題的答案。這種方法不僅可以降低函數(shù)問題的難度，還有利于學(xué)生直觀思維的培養(yǎng)。

例：已知點(diǎn)（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（? ? ）。

分析過程：教師指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)：y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1畫出圖像，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像觀察，最終得出拋物線對稱軸為直線x=-1，進(jìn)而得出當(dāng)x=-1時(shí)，y存在最小值。隨后由圖像得出：x=2時(shí)y3的值，比x=-3時(shí)y2值大。因此，本函數(shù)題正確答案為y2>y3>y。

函數(shù)問題解決過程中，所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合的思想，教師引導(dǎo)學(xué)生將拋物線y=3x2+6x+2畫成圖像，將問題與圖像相結(jié)合，最終通過圖像確定y1，y2，y3三個(gè)點(diǎn)數(shù)值大小關(guān)系。數(shù)形結(jié)合主要是將問題中的數(shù)量關(guān)系與直觀圖像相結(jié)合，一方面有助于學(xué)生理解函數(shù)問題;另一方面有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，為學(xué)生的全面發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。

三、高中函數(shù)教學(xué)中有效滲透函數(shù)與方程思想

高中函數(shù)教學(xué)過程中，函數(shù)與方程思想的有效滲透，便于教師更好地引導(dǎo)學(xué)生解決函數(shù)問題，豐富學(xué)生函數(shù)問題的解決方法，促進(jìn)學(xué)生函數(shù)問題解決能力的提高。

例：倘若曲線y=2x+1與直線y=a沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍。

分析過程：教師在講解此函數(shù)問題時(shí)，可以基于方程角度畫出方程y=2x+1與方程y=a的圖像，通過觀察兩個(gè)方程圖像，就可以得出a的取值范圍。除上述數(shù)形結(jié)合的方法之外，還可以將其轉(zhuǎn)化為方程a=2x+1無解的問題。∵函數(shù)y=2x+1值域?yàn)椋?，+∞），∴當(dāng)a≤1，-1≤a≤1時(shí)，方程a=2x+1無解，以此得出a的取值范圍。在此函數(shù)問題解決的過程中，以數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，主要通過方程轉(zhuǎn)化為具體圖像，然后通過觀察圖像，得出最終答案。而在此函數(shù)問的題解答過程中，則是以方程思想來解決問題，以已知方程條件為依據(jù)，組成新的方程解決問題，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。

四、高中函數(shù)教學(xué)中有效滲透舉一反三思想

高中函數(shù)教學(xué)中，舉一反三思想的有效滲透，便于教師更多地接觸典型例題，且有助于學(xué)生從多個(gè)維度思考一個(gè)問題，從中找到有效的解題方法。尤其是在函數(shù)教學(xué)中，舉一反三思想方法的有效運(yùn)用，可以讓學(xué)生更加熟練地掌握一類函數(shù)的解題方法。同時(shí)，數(shù)學(xué)教師在授課過程中，也需要盡可能給學(xué)生拓展一些解題方法，讓學(xué)生在解題過程中，真正學(xué)會舉一反三，能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法靈活運(yùn)用到函數(shù)問題的解答過程中。

例如，求直線y=x與函數(shù)y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

分析過程：數(shù)學(xué)教師在講解此類函數(shù)問題時(shí)，可以從舉一反三的角度延伸問題，將所求函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)延伸到交點(diǎn)具體坐標(biāo)，或者交點(diǎn)是否在同一個(gè)平面上，交點(diǎn)組成方程及其圖形等。此時(shí)，數(shù)學(xué)教師在對上述延伸問題分析時(shí)，需鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，想一想還有什么問題可以由函數(shù)圖像交點(diǎn)延伸而來。同時(shí)，數(shù)學(xué)教師鼓勵(lì)學(xué)生在原先題目的基礎(chǔ)上添加與之相關(guān)的條件，或者直接運(yùn)用原題目的已知條件進(jìn)行求解問題的答案。這樣一來，學(xué)生即可在數(shù)學(xué)教師的指導(dǎo)下，多維度地思考數(shù)學(xué)函數(shù)問題，快速解決函數(shù)問題：設(shè)f（x）=x-sinx，x≥0，對f（x）求導(dǎo)得f′（x）=1-cosx，故f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（0）=0;當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，又因?yàn)閥=x與y=sinx都是奇函數(shù)，所以x<0時(shí)，無交點(diǎn)，故只有一個(gè)交點(diǎn)。在整個(gè)過程中，學(xué)生的思維得到充分發(fā)散，函數(shù)問題的解決十分順利，且有效鍛煉了學(xué)生的思維能力。

五、結(jié)語

總之，高中函數(shù)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透，能夠有效降低函數(shù)問題的難度，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生函數(shù)解題能力的提高。但是高中函數(shù)問題涉及的數(shù)學(xué)思想方法并不唯一，需教師融合多種數(shù)學(xué)思想方法，有效解決函數(shù)問題，才能有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧菊美.數(shù)學(xué)思想方法在高中函數(shù)教學(xué)中的有效滲透[J].華夏教師，2019（22）.

[2]陳梅英.高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法淺探[J].當(dāng)代教研論叢，2018（9）.

（責(zé)任編輯? 袁霜）