巧用補形策略，妙解幾何題

江蘇省海門市開發區中學 郁凌燕

所謂的補形法就是在已有條件和圖形的基礎上，通過觀察、分析、聯想等方式添加輔助線，將其轉化為特點更突出、學生更熟悉的圖形，再通過聯系條件與結論間的關系完成解題，以達到完善已知條件、降低思維難度的目的。接下來通過舉例具體論證補形法的巧用。

一、補成三角形

三角形是學生學習的第一個幾何圖形，也是學生最熟知的圖形之一，如果可以幫助學生通過補形的方式將原本不熟悉的圖形完善成學生熟知的三角形，這對于學生而言可以增加對題目的熟悉度，提高學生正確解題的信心。

反思：在上述例題中，給出的圖形是一個梯形，如果直接從梯形入手，對于大部分學生來說幾乎是不可能完成的任務，但是仔細觀察后就可以發現其實該梯形可以通過延伸兩條斜邊，從而形成三角形，再根據三線合一定理可以確定CM是∠BCD的角平分線，是線段BE的垂直平分線，從而根據相似三角形可以求出四邊形AMCD的面積。

二、補成四邊形

初中階段會接觸到各類四邊形，如：梯形、平行四邊形、長方形、正方形、菱形等，而在具體幾何問題解答時想運用補形法對題目進行簡化，便需要根據題目所給的具體圖形有選擇地進行補形。下面就以補形法中的補正方形為例，展示一種特殊的補形方法。

例2：如圖2，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足為點D，BD=3，DC=2，求AD的長。

反思：上述例題是通過翻折的方式作出軸對稱圖形，并通過延長使得原三角形轉化成了正方形。這里要注意的是，首先，該題為學生接下來的學習提供了新思路，翻折可形成軸對稱圖形，更加巧妙地對原圖進行轉化；其次，學生雖然通過一系列手段得到了“類正方形”，但是必須通過證明方能在接下來的解答過程中使用正方形的相關定理。

三、補成圓形

初中階段的學生對于圓形的接觸并不算多，但是在幾何問題中圓確實是學生繞不過去的坎，現階段圓形的呈現往往以半圓或四分之一圓為主，而學生在習題的解答過程中會發現適時地將這些圓補充完整可以快速找到解題的突破口。

例3：如圖3，點P是半圓O上直徑BA延長線上的一點，割線PCD交半圓O于C、D，F是AB上一點，且∠AEC=∠BED，求證：PE·PO=PA·PB。

反思：上述例題是在將半圓補全為整圓的基礎之上，利用圓的對稱性得出角與角之間的等量關系，從而構造出了相似三角形，再根據相似三角形的邊的相似比得出結論。

補形法在初中數學的幾何問題中具有十分廣泛的運用，輔助線的合理選擇對于幾何問題尤其是復雜的幾何問題的解答往往起到了關鍵的作用，并且該方法可以幫助學生培養分析聯想能力、邏輯思維能力等，可以說是初中階段幾何問題解決中不可或缺的幫手之一。