一道初中數學題引發的教學思考

陸梅

【摘 要】 課堂教學因為非預設生成而充滿挑戰和智慧，因而，教師要有敏銳的洞察力，及時捕捉，因勢利導，讓學生的思維閃光點成為有價值的教學資源。授之以魚，不如授之以漁，讓數學課堂學習真正發生。

【關鍵詞】 初中;數學題;引發;教學思考

一、試題呈現

（2018年蘇州市中考數學第16題） 如圖，8×8的正方形網格紙上有扇形OAB和扇形OCD，點O，A，B，C，D均在格點上。若用扇形OAB圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為r1;若用扇形OCD圍成另個圓錐的側面，記這個圓錐的底面半徑為r2，則r1∶r2的值為————。

二、試題解答

解：根據圓錐的側面積知識可得：弧AB的長度為2πr1，弧CD的長度2πr2，故r1∶r2=弧AB的長度∶弧CD的長度。如果設∠O=n0，那么運用弧長公式可得：r1∶r2=OA∶OC。再利用網格中的直角三角形求出OA、OC的長度，即r1∶r2=2∶3。

學生探究（1）：線段OA與OC的比值可用△OAB∽△OCD求出：r1∶r2=OA∶OC=AB∶CD=4∶6=2∶3。

學生探究（2）：既然弧AB的長度與弧CD的長度之比就是線段AB與CD的比值，那么不規則圖形ABDC的面積能否用梯形面積公式求：上底是弧AB的長度，下底是弧CD的長度，高是AC的長度。學生分兩大組驗證：若∠O=60°，結果都一樣。

三、案例分析

本題是圓錐的側面積問題，雖放置在網格圖中，但中規中矩，符合學生平時練習風格，能使考生的緊張情緒有所緩解。如果考生理解圓錐底圓半徑和它的側面展開圖中弧長之間的等量關系，易求解問題。而有學生未求OA、OC長度，利用圖中三角形相似轉化求解，實質就是理解了命題設計的意圖：精心布局在網格中，巧妙設計，為巧妙解法的孕育提供了肥沃的土壤，利于實現對學生核心素養的考查。

但未曾想到，有學生為此想到了逐漸逼近的轉化思想：化曲為直，這也許命題者設計時也未曾料到。可以想象，如果不進行問題解答后的再思考，就無法全面開發出問題所有的價值及其背后所隱藏的對應的數學思想，也就是如果教學中以題解題，不深入本質的解題，不僅不能提高課堂教學質量，也不能提升學生的智慧，還會扼殺學生的靈性。

四、教學思考

1.有效的課堂源自學生意外的“精彩”

記得有一次在分析二次函數圖像沿x軸翻折時，只是關注了拋物線的形狀、大小不變，開口方向發生變化，而忘記了頂點也發生變化，問題分析完畢竟然沒有一個學生質疑。其實平時很多學生課堂上就是這樣：認為老師講的都是正確的，因此上課圍著老師“轉”。那么這樣的課堂缺少了什么？學生究竟需要怎樣的課堂？為此，不斷反思自己的課堂教學：不設計大容量的課堂教學，課堂上為學生的思維活動留有足夠的時間和空間，充分展示學生的思維過程，引導學生從不同的角度、思路探索問題。另外，在課堂教學中，學生的思維反應有不可預測性，因此，不管學生的想法是否偏離教學預期，都鼓勵學生大膽發表自己的想法，讓課堂中出現的意外變成課堂的“精彩”，同時也轉化為學生的知識和能力。從此以后，數學課上的開放與寬容讓很多學生都積極投入，數學課的效果就慢慢地凸顯了，幾屆學生的中考成績（農村初中）超過了市平均。

2.意外的“精彩”轉變了學生解題后反思的習慣

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學活動的中心。”就本案而言，推導出兩個圓錐底面半徑之比是OA∶OC，似乎問題解答結束了，但有學生思考出用相似三角形解決，就發現了學生審題審圖的能力不一般，甚至是對問題求解后的孜孜不倦。就此源于課堂教學中重視學生意外的“精彩”的引導：剛開始學生可能不知道或不習慣解題后的反思，教師就是利用課堂教學中的這些意外的“精彩”，鼓勵學生模仿后進行作業批閱后的糾錯。記得有位學生從初一下學期開始進行數學糾錯，糾錯本上不僅僅是錯題的更正，更多的是寫錯誤的原因和自己再做后的心得，他的錯題本成了班級同學的榜樣，三年的堅持，中考數學考了120多分。還有一位男生，在課堂講評作業時，常常發表自己解題后的想法。在他的引領下，很多學生在老師講評作業時不甘寂寞，甚至上講臺發表自己的解題新想法。課堂的引領，學生的投入，反思加深了他們對知識的理解，使得他們能夠及時改正錯誤或有新的發現，從而為后來的學習奠定基礎，使得數學學習更有效果。

3.意外的“精彩”有助于學生的思維從淺層走向深度

縱觀一些“一聽就會，一看就懂，一做就錯，一過就忘，一考就暈”的學生，究其原因，學習沒有用心，學習缺少思考，學習滯留在淺層學習的狀況。因此課堂上要讓學生的數學思維逐步由易到難，由淺入深，舉一反三，就如波利亞在《怎樣解題》中說的：“數學教學的目的在于培養學生的思維能力。”本案中問題的進一步完善，激發了這位學生的有感而發。課堂上教師的引導應該是喚醒學生對舊知的應用，開放和寬容為學生創設了盡量多的發揮空間，為學生的意外的“精彩”提供豐富的可能性，使學生在自我發現、相互質疑、合作交流中自然合理地接受知識。

自從改變課堂教學中的學生觀后，摒棄了課堂中題目的堆砌，而是從審題審圖開始，仔細推敲，并且不斷演變，讓學生體會問題的前因后果，在此過程中深入挖掘問題背后隱藏的所對應的思想方法，提升學生不同方面的能力，讓學生的思維從淺層走向深度。

一節一節數學課，猶如一滴一滴水珠，一滴水珠也可以折射太陽的光輝。

【參考文獻】

[1]鄭雪蓮.初中數學課堂提問的優化策略研究[D].東北師范大學，2006.

[2]邵懷領.課堂提問有效性：標準、策略及觀察[J].山東教育科學，2009（1）：38-41.