導數在實際生活中的運用

王麗湞

摘 要：數學知識來源于生活更要利用于生活，在生活的生產和科研中，我們難免會遇到項要求的最大利益的情況，最大限度的節省成本的情況，最生產效率求得最高的情況，因此數學的應用就顯得十分重要。數學知識微積分中，導數是一個十分重要的應用領域，運用導數可以便利的解決生活中的很多問題，在生活中的許多領域都運用的十分廣泛。

關鍵詞：微積分;導數;應用

1.微積分中導數的概念和分析

數學中導數知識的學習在我國教育的高中和大學時期，在數學領域中也算是相對比較有難度的知識，導數作為微積分理論中具有重要地位的基礎性理念，也是函數理論的局部內容。導數的實質可以看作為求極限，自變量越接近0，因變量與自變量各自的增量商的極限。數學界把這樣的存在導數的函數成為函數可微分或可導。不連續的函數一定不可導。也指函數中因變量和自變量之間的關系，如果自變量的增加變化量無限接近于零時，因變量和自變量的增量商就是導數。微積分中的導數知識屬于高等數學的領域，導數也充當這一個十分基礎和重要的角色，早在很久之前，微積分導數的應用就已經開始展露了頭角。17世紀，隨著科學技術的發展與大陸擴張，人類社會的生產力不斷提高，數學科學也得到了長足的發展。以牛頓為代表的一批數學家開始從各種角度進行微積分研究。尤其是牛頓所創造的理論被命名為：流數學，牛頓把變量成為流量，把變量的變化率成為流數，也就是我們口中的導數?！哆\用無窮多項方程的計算法》、《流數術和無窮級數》以及《求曲變形面積》就是牛頓有關于其學說的主要作品。流數理論的實質概括為：他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程，流數理論的實質概括為：他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程;在于自變量的變化與函數的變化的比的構成;最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。

1629年左右，來自法國的數學家費馬通過研究曲線切線作法與函數極值求法，在差不多八年之后，即1637年前后，他寫出了《求最大值與最小值的方法》。進行切線繪制時，造了差分f（A+E）-f（A），并且他從中發現了E因子，即導數f'（A）。在1823年左右，數學家柯西在其著作當中又將導數定義為：若函數y=f（x）在以x為變量的式子中在兩個既定界限之間保持連接，而且人們為這一變量指定一個介于這兩個不同界限區間的數值。那么是使變量得到一個無窮小增量。上個世紀六十年代后，數學家威爾斯特成為了ε-δ語言的創造者，在這一數學語言當中其對微積分中所出現的各種類型的極限重加表達。在微積分的理論體系當中，主要可以分為兩個層面：1實無限理論，這種理論將“無限”這一個概念看作成一種現實存在的東西，是寫得出，表達的清楚的客觀實際;2潛無限理論，這是把這一理論看做成思想層面的理論理念。在數年的發展歷程中，微積分也得到了長足的發展，其理論應用于實際也愈發成熟，其應用范圍也愈發廣泛。人們也開始越來越普遍的利用導數來達到自己的目的需求。導數知識的完善和應用的成熟，已經可以運用在生活中的各個領域當中去，其中變化率和極限值的知識運用，受到各個行業各個領域的廣泛應用。例如在研究航天科技加速度的領域、高鐵建設瞬時速度的研究領域、全國人口及老齡化的增長速度領域等等方面都去的了很大的效益。利用導數的基本概念和公式，可以解決很多需要優化的問題，導數公式是通過函數來表達的，而函數本身也就是可導的，通過導數的計算可以求得最微分最優化的結果，這個優點也被許多生產和科技領域所運用，許多問題也可以用微積分導數公式來解決。比如在原料銷售行業，如何在銷售中取得最大利益，在企業生產中，如何獲得最大的生產效率，在樓房建造中，如何盡快的加快工程進度，在道路修善中如何才能節省成本等問題都可以用導數知識來進行計算解決，這些都屬于利用導數的優勢解決最優化問題。在實際生活情況中，利用導數知識解決最優化問題必須經過全面的分析和應用，首先應該正確認識到問題的所在，明確其中的因變量和自變量，并研究清楚其中的關系，并根據實際情況建立數學模型，確定函數的數值取值范圍，劃定合適的情況，排除概率較小的意外情況。第二步是列出導數的函數公式，將因變量和自變量的數據填充其中，并完成公式的計算過程，算出具體的變量關系、極大值、極小值以及數據的變化規律，明確指出導數公式反應出的變化結果。最后根據所得到的結果，再結合實際情況進行全面分析，根據實際的情況選擇最合適的數據獲得最大的效益。

2.導數在生活中的應用案例分析

第一個案例：在某個硬件生產工廠的作業中，市場需求往往是其生產與計劃的風向標，滿足市場需求是第一導向因素。在生產過程中將硬件的質量標準分為十層。并且質量與生產速度呈現反比，生產速度越快的產品質量往往應用于要求并不是很高的領域，而且質量與其利潤將會成正比，比如最基本的每件商品的利潤為三元，那么最高標準的甚至是其數倍，但生產速率畢竟是十分重要的，生產質量不同的產品在產品合格率方面也具有不小的區別。則結合實際情況回答怎樣生產才能夠使工廠利益最大化，怎樣才能夠得出極值點？解答：對于這些最大化問題的求解上，我們可以利用求導發來對函數的最值進行分析，從而解決問題。在實際應用中要關注對定義域的嚴格限制。假設生產到第 n 種標準硬件時可以獲得最大的利潤為 m。根據題目給的條件進行分析，可以得出函數m=[10+5 （n-1）][98-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。 對 于這一函數進行求導，可以得出 m=25（21-n）-25（n+1）=50（8-n），m=50（8-n）=0。 通 過 求 解， 可 以 得 到n=8，在 1～10 的區間內，極值點只有8一個點，所以可以將8視為最大極值點，根據導數運算的結果來看，當生產8件標準的硬件例達到最大值，可以獲得3052元的最大利潤。求最大利潤問題就可以利用導數知識解決，針對這種實際問題，利用導數可以很大程度的減少不必要的麻煩，可以方便的為工廠求得最大程度的利潤收益。第二個案例：在城市的郊區有一個采沙場，在每天的采沙過程中，按照正常的進度，采沙場每個月的產量可以達到x噸，如果按照市場價格每噸沙土的價格是 n 元，如果利用數學公式可以列出產量和價格之間的關系式：n=24200-1/5x 2 ，而且已經知道開采沙土x 噸的成本為m，成本和產量的關系式是m=50000+200x。以上是我們知道的所有條件，采沙場老板為了更多的得到利潤，每個月的產量應該計劃為多少才能夠得到最大的利潤？而且最大利潤會是多少？解答：這個例子同樣是求最大利潤的問題，同樣可以利用導數知識來解決問題，根據我們所知道的條件可以利用函數來設置關系式，在利用導數求導的解決方法來求得計算結果。f（x）=（24200-1/5x 2 ）×（50000+200x）=-1/5x 2 +24000x-50000。x 為 產 量， 其應該具備 x ≥ 0 的條件。通過求解可以得出，x=200。在函數 f（x）中，極值 點 有 200 和 -200 兩 個 點， 由 于x ≥ 0，則去掉 x=200。在 x=200 時，將f（200）代入計算可得結果利潤為 315萬元。所以根據函數計算結果來看，當將采沙場每個月的采沙產量為200噸的時候，對采沙場來說可獲得最大的利，可以獲得最大利潤 315 萬元。利用微積分導數知識來解決問題屢試不爽，通過這種數學知識，選擇合適的定義域區間，可以很方便的獲得所需要的結果，達到求得極值的目的。第三個案例：速度問題一直都是需要利用數學知識進行解決的，導數在速度與路程中的應用也十分重要。小王準備駕車去到朋友家做客，最近剛購買嶄新轎車一輛，小王駕車勻速行駛在去往朋友家的路上，在駕駛過程中，如果車輛每小時的油耗為 n 升，小王勻速駕駛轎車的行駛速度為 m（km/h），而且知道油耗和速度之間的關系公式n=1/12800m 2 -3/80m+8，道路規定汽車行駛速度最高不得超過 120km/h。如果小王到朋友的家需要駕駛100千米，那么小王在路途中應該保持多少的速度才能夠有效的控制油耗，而且油耗最低可以達到多少？解答：速度和油耗的問題跟上文解答最大利益問題有很多相似之處，有車速和油耗兩個變量，車速越快油耗越大，因此在一定的路程中來求得油耗的最小值也可以利用導數知識來解決，根據已經知道的條件，如果假設油耗量為h （m），要駕駛100千米的路程，所以我們根據題目可以得出函數：h（m）=（1/12800m 2 -3/80m+8）100/m。H'（m）=m/640-800/m 2 。令 h'（m）=0， 可 以 得 出 結 果m=80。通過分析我們可以推導，在 m小于 80 時，函數為減函數，在 m 大于80 時，函數為增函數。因此，根據函數計算結果我們可以得出，小王保持勻速 80km/h 行駛速度的過程中，達到導數的極小值點，從而可以獲得更低油耗，通過代入 m=80，h（80）=11.25，所以最低油耗為 11.25L。通過上面的案例，我們可以清楚的看到，導數知識在生活中的應用是十分有優勢的，而且這只是冰山一角，導數在生活中的應用不僅僅如此，還有更多領域和問題可以通過導數得到有效的解決。

3.結束語

數學離不開生活，同樣生活中也離不開數學，在生活中數學的應用讓我們的生活變得更加有條理，讓我們的生活變得更加精致化。人們可以通過數學解決自己的問題，達到自己想要達到的目的。導數在生活中的應用無疑是十分受歡迎的，通過微積分中導數的應用，許多問題都迎刃而解，但是，我們不能僅滿足于此，還要加大對導數的研究和探索，讓數學豐富我們的生活、優化我們的生產進程，將導數知識在生活中的應用更加有效、更加廣泛、更加便捷。

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（作者單位：貴州食品工程職業學院，貴州 清鎮 551400）