溯源日常 提升運算能力

孫麗燕

【摘要】運算能力不只是計算技能，更是在運算能力的形成、發(fā)展過程中，學(xué)生的思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到整體發(fā)展。一次抽測的經(jīng)歷，讓我們反思：運算能力，教師日常的教學(xué)去哪里了？學(xué)生表達(dá)的日常積累在哪里？學(xué)生估算習(xí)慣的日常培養(yǎng)在哪里？學(xué)生靈活運算能力的形成在哪里？溯源日常，回歸本真，為真正促進(jìn)學(xué)生運算能力素養(yǎng)的提升而努力。

【關(guān)鍵詞】運算能力 算理算法 靈活運算 日常培養(yǎng)

教育部部長陳寶生指出，教育改革進(jìn)入了“全面施工內(nèi)部裝修階段”。不由想到，近年以運算能力作為關(guān)鍵能力考查的抽測，抽測前，“草木皆兵”，練習(xí)卷一張又一張，問問鄰校，亦是如此。不可否認(rèn)，臨時抱佛腳的練習(xí)會有一定作用，但每次抽測前，都需要以停課的代價增強(qiáng)練習(xí)強(qiáng)度，來提高抽測成績，真正是高一級教研部門舉行抽測的初衷嗎？運算能力，教師日常的教學(xué)去哪里了？學(xué)生的表達(dá)不應(yīng)該是日常積累的自然呈現(xiàn)嗎？學(xué)生的估算習(xí)慣不應(yīng)該是在日常培養(yǎng)中自然形成的嗎？學(xué)生的靈活運算能力不應(yīng)該是日常意識下的自覺選擇嗎？溯源日常，回歸本真，提升學(xué)生運算能力的素養(yǎng)，是教師更應(yīng)追求的。

一、認(rèn)識：運算能力培養(yǎng)在課標(biāo)中的要求

運算能力，作為小學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力之一，是歷來教學(xué)大綱十分強(qiáng)調(diào)的。課標(biāo)指出，運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力。培養(yǎng)運算能力還有助于學(xué)生理解運算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題。學(xué)生能不能依據(jù)法則和運算律正確進(jìn)行計算，是他們運算能力的外部表現(xiàn)。理解算理、尋求合理而簡潔的運算途徑，是學(xué)生的認(rèn)知程度、思維水平、習(xí)慣態(tài)度的表現(xiàn)。

課標(biāo)提出，運算能力的意義不局限于計算及其結(jié)果，實際上涉及了學(xué)生各個方面的同步發(fā)展。教師不能片面追求學(xué)生的計算速度，而要提出比較科學(xué)、合理的速度要求。計算只有方法靈活、結(jié)果正確，才有價值;追求計算的合理與正確，是良好心理品質(zhì)的表現(xiàn)，需要良好的習(xí)慣來配合。

聯(lián)系學(xué)生計算能力調(diào)查和計算教學(xué)實際，在計算教學(xué)中需要多多關(guān)注三個方面：處理算理算法的落實，書面和語言的表達(dá)，溝通知識和技巧。

二、實踐：計算教學(xué)的實踐追溯

（一）理解算理落實算法，讓思維有路徑

什么是算理？什么是算法？算理即計算的原理，算法即計算的基本程序和操作方法。 算理為算法提供理論依據(jù)，是對算法的構(gòu)建與解釋;算法是算理所蘊(yùn)含行為的提煉與整理，使算理可操作。沒有算理的算法是機(jī)械的，不成算法的算理不便于操作，不會轉(zhuǎn)化成計算能力。計算教學(xué)既要重視算法，也要重視算理。

例如，一次抽測中遇到這樣一道題：從北京到上海1200千米，一輛貨車以每小時95千米的速度行駛，需要多久才能到達(dá)？明明用豎式計算出了結(jié)果，豎式中的箭頭所指的表示的是（）。

A.1小時行駛 95千米

B.10小時行駛 95千米

C.10小時行駛 950千米

D.12小時行駛 950千米

本題得分率為63.4%，考查的是學(xué)生對除數(shù)是兩位數(shù)的算理理解。這樣的題目得分率應(yīng)該更高，因為課改以來算理的教學(xué)已得到了重視，為什么在教師多次強(qiáng)調(diào)的情況下，學(xué)生換個情境就不清晰了呢？深層次的原因是學(xué)生對除法筆算的基本計算原理還沒有產(chǎn)生真正的心理認(rèn)同，學(xué)生只是從外在的形式上淺層次地理解計算步驟，卻并不清楚“乘”的操作方法的本質(zhì)是為了“檢查分掉了多少”。所以當(dāng)學(xué)生遇到這樣考查思維過程的題目時，往往就會因為理解不清而說不清楚。

1.能在活動中解決實際問題，而形成算理過程比較薄弱

現(xiàn)實的計算教學(xué)中，教師能從解決實際問題開始，但是往往不會在直觀算理與抽象算法之間架一座橋梁。在學(xué)具操作、數(shù)形結(jié)合的幫助下，學(xué)生似乎清晰了對算理的理解。但當(dāng)學(xué)生還流連在直觀形象的算理中，馬上就面對抽象的算法，運用算法進(jìn)行計算，思維展開過程匆匆走過場，造成學(xué)生沒有真正理解算理，出現(xiàn)被動記憶和套用法則的現(xiàn)象。所以，在日常教學(xué)中，教師要讓學(xué)生親歷“動作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。同時又要幫助學(xué)生理解抽象計算過程的每一步在具體實際問題中表示什么。讓學(xué)生在課堂上有充分的自主時間和空間，有充分觀察、靈活嘗試、展示思維過程、互相補(bǔ)充、辨析評價的機(jī)會，真正促進(jìn)學(xué)生思維，理解算理。

2.有算法交流，卻經(jīng)常是點滴的

由學(xué)生主動建構(gòu)的法則一方面要有整體性、條理性，另一方面應(yīng)該允許兒童味的存在。這樣的法則既能控制學(xué)生的計算行為，又沒有記憶障礙和負(fù)擔(dān)。教師在教學(xué)中往往會安排學(xué)生總結(jié)算法，但形成怎樣的法則的思考不夠，學(xué)生會有什么困難的準(zhǔn)備不夠，應(yīng)該給學(xué)生哪些幫助的預(yù)設(shè)不夠。教師的教學(xué)要實現(xiàn)有層次的培養(yǎng)和滲透內(nèi)化法則，讓學(xué)生的計算方法有整體性、條理性，能支持自己的計算行為。

為了學(xué)生理解算理、形成法則，上述案例的教學(xué)中可以有“一個往返” “一次質(zhì)疑” “一次反思”。

“一個往返”——從解決問題的步驟形成算式，用解決問題的步驟解釋計算過程。

“一次質(zhì)疑”——思辨這些方法有什么相同、有什么不同，哪種方法方便。

“一次反思”——計算時，要注意什么？除數(shù)是兩位數(shù)的除法應(yīng)該怎樣筆算？

（二）書面和語言表達(dá)，讓思維可視

語言在運算算理形成過程中有著十分重要的作用。首先，算理是用詞或詞組來表達(dá)的，要借助語言來理解、形成和傳遞。其次，算理的形成過程是抽象概括的過程，由于語言表達(dá)具有重要的提煉功能，所以思想內(nèi)容經(jīng)過語言的準(zhǔn)確表達(dá)之后，增加了遷移的可能性。當(dāng)然在算理算法形成的各個階段，語言也會經(jīng)歷“直觀語言—概括語言”的過程。

例如，一次抽測中，“判斷計算結(jié)果是否合理”的兩題：

第（1）題：同學(xué)們在計算? “753-456”時，出現(xiàn)了如下三種結(jié)果，你認(rèn)為哪兩種結(jié)果肯定是錯的？把你的想法寫在得數(shù)后面的空格內(nèi)。學(xué)生答案如下：

第（2）題：一篇文章有600個字，小華每分鐘打80～90個字，7分鐘能打完這篇文章嗎？一位同學(xué)是這樣想的：90×7=630，630>600，所以7分鐘能打完這篇文章。你認(rèn)為這位同學(xué)的想法合理嗎？為什么？把你的想法寫在下面。

答案1：應(yīng)該不合理，因為小華有可能每分鐘打平均數(shù)85個字，85×7=595，595<600。

答案2： 不合理，因為他只寫了最大的，還有一個80沒算。

三年級學(xué)生得分率僅34%，這些回答都有不同程度的扣分。且不說評分標(biāo)準(zhǔn)合不合理，更主要的是部分學(xué)生雖有估算的意識，但語言概括不清楚，答不到點子上。第（1）題學(xué)生回答的比較籠統(tǒng)，只說答案一定是錯的，沒有說明白為什么個位不對或百位不對，故批卷老師就認(rèn)為他是通過最常規(guī)計算得出，得分很少，看不出優(yōu)化的思維。第（2）題答案1學(xué)生是用舉反例的方式來表達(dá)答案的不合理，沒有說清楚小華打字速度為80～90個字，并不是固定打到90個字，7分鐘不一定能打完這篇文章，包括答案2也沒有說清楚。其實平時教學(xué)時討論過這樣的估算實際問題，學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力不夠，再加之針對性情境練習(xí)過少，思維要求高，很多學(xué)生說不清楚。教師要引導(dǎo)學(xué)生縝密思考，鍛煉學(xué)生有條理、有邏輯的語言表達(dá)能力。

如上圖題中，此題得分率為58.5%。此題是分?jǐn)?shù)乘除混合運算，將算式轉(zhuǎn)化為連乘后，先約分再計算即可。但約分和計算這兩步一步都不能出錯，有的學(xué)生在約分時，對于不常見的倍數(shù)關(guān)系數(shù)感不靈敏，如51=17×3，39=13×3，52=13×4，找不到約分的對象;有的學(xué)生在連續(xù)約分時掌握不夠熟練，將整數(shù)（39）與分子（51約后的3）進(jìn)行約分。有的學(xué)生書寫不規(guī)范，尤其涉及整數(shù)的約分，由于寫的位置不規(guī)范，容易把分子當(dāng)成分母。

1.重視過程展開，關(guān)注語言表達(dá)

面對實際問題，能靈活選擇方法解決，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，能用多種方式表達(dá)思考過程。學(xué)生在靈活運算中語言表達(dá)的習(xí)慣養(yǎng)成、靈活解決實際問題能力的提升是潛移默化的，是在日常滲透過程中不斷地感覺、感知、感受、積累形成的，無形之中，學(xué)生思維也得到了發(fā)展和強(qiáng)化。

2.培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，關(guān)注書面表達(dá)

計算往往是枯燥的，如果沒有積極的情感來支撐，沒有良好的習(xí)慣相配合，錯誤很難避免。首先，培養(yǎng)學(xué)生追求計算正確的自覺要求和迫切愿望，平時練習(xí)的安排要“經(jīng)常”“量輕”。先要求正確，再適當(dāng)要求速度。其次，書寫工整能減少計算錯誤，能把情緒調(diào)整到比較好的狀態(tài)（過于追求計算速度，容易導(dǎo)致學(xué)生急功近利的心態(tài)）。最后，關(guān)注每一個學(xué)生，對確有困難的學(xué)生要加強(qiáng)指導(dǎo)。

（三）溝通知識和技巧，讓思維更靈活

不具備計算知識（不懂得運算意義、不知道計算方法）不可能具有計算技巧，知道計算知識未必就有計算技巧，有了計算技巧對計算知識的掌握會達(dá)到較高的層次。小學(xué)階段知識主要涉及兩個層面的技巧，首先是把客觀的計算知識內(nèi)化成自己的程序性知識，對計算知識的使用正確、計算結(jié)果正確（兩個正確），然后是應(yīng)用計算知識的思維靈活、方法靈活（兩個靈活）。“兩個正確”體現(xiàn)出“扎實”，“兩個靈活”體現(xiàn)“水平”。沒有“扎實”談不上“靈活”，沒有“靈活”就達(dá)不到計算的高水平。

例如下圖中所示題目。

本題得分率42%，思維層次比較高的答案是類似答案3：學(xué)生能夠先找到接近的“51”和“48”或直接發(fā)現(xiàn)“48”，再判斷48乘12接近600且小于600（值得一提的是答案4的問題2也解答得很巧妙，通過估算，敏銳地發(fā)現(xiàn)48×12與50×12相差2×12，故直接用12×2求出找回的元數(shù)）。答案4：根據(jù)付600元買12份獎品，用除法算出每份獎品可以用50元錢，從而得出買每本48元的字典。而這樣的學(xué)生并不多，還有一部分學(xué)生逐一計算后判斷（答案1）;很多學(xué)生有估算意識，但不能敏銳地通過目測先自然淘汰相差太大的文具盒和書包，還是逐一進(jìn)行了估算（答案2），當(dāng)然也不排除有的學(xué)生可能是不知如何表達(dá)不選文具盒和書包的理由，所以把四種文具估算的過程逐一寫了出來，但確實還有很多學(xué)生缺乏這樣的敏銳的數(shù)學(xué)眼光。

運算能力的形成，往往反映在學(xué)生能正確地選擇合適的計算方法來合理靈活地解決實際問題上，但很多學(xué)生習(xí)慣于以精確計算、逐一排除的方式來解決問題，靈活思維不夠。很多學(xué)生的綜合選擇信息能力、靈活選擇算法能力還有很大的發(fā)展空間。

1.靈活思維培養(yǎng)，關(guān)注選擇、判斷、靈活運算能力的落實

靈活使用運算知識主要是利用運算律、運算性質(zhì)、積或商的變化規(guī)律進(jìn)行簡便計算。合理選擇計算形式，能夠口算則口算、需要筆算就筆算、可以估算應(yīng)估算。能夠根據(jù)運算的意義、各種形式的數(shù)的改寫，把一種計算轉(zhuǎn)化成另一種比較簡便的計算，包括聯(lián)系數(shù)感的計算技巧，實現(xiàn)保底要求，滲透高標(biāo)要求。引導(dǎo)學(xué)生要先思后算，對計算過程進(jìn)行合理的規(guī)劃、對計算結(jié)果進(jìn)行必要的反思，選擇合理、簡潔的算法，靈活運算的要求要貫穿始終，并且通過過程中的拓展提高學(xué)生對數(shù)的敏感度，盡可能在解決生活密切相連的問題中實踐體會，處處關(guān)注落實選擇、判斷、靈活計算能力培養(yǎng)，增強(qiáng)思維的靈活性，使運算靈活作為學(xué)生的自覺要求。

2.關(guān)注針對性練習(xí)設(shè)計，滲透方法積累經(jīng)驗

計算知識轉(zhuǎn)化成計算能力需要必要練習(xí)，更要注重練習(xí)質(zhì)量。精心選擇和設(shè)計的練習(xí)，不僅是教給學(xué)生知識與技能，更重要的是通過練習(xí)實踐，培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的智力，啟發(fā)、開拓學(xué)生思路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。尤其是精心設(shè)計的開放性練習(xí)，在注重數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的滲透的同時，學(xué)會把思考過程表達(dá)出來，靈活選擇更優(yōu)的方法。

“打鐵還得自身硬”。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師本身必須具備深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，切實變教學(xué)理念為教學(xué)行為。理解算理落實算法，讓思維有路徑;書面和語言的表達(dá)，讓思維可視;溝通知識和技巧，讓思維靈活。溯源日常，促進(jìn)學(xué)生運算能力的提高，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合提升。

【參考文獻(xiàn)】

杜娟.提高小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)有效性的方法探析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（7）.