理論力學(xué)中受力分析教學(xué)研究與探索

李立兵

摘? 要：理論力學(xué)中受力分析教學(xué)內(nèi)容涉及到公理、約束和力系平衡等知識(shí)點(diǎn)。看似簡(jiǎn)單的公理和約束的理論知識(shí)，如何讓學(xué)生熟練掌握并解決工程實(shí)際受力分析，確實(shí)不易。老師需要在教學(xué)過程中研究學(xué)生常見問題并探索解決問題的方法，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。文章分析了自己過往受力分析教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的問題，利用典型受力分析案例，探索性給出解決這些問題方法，為受力分析教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué);受力分析;教學(xué)

Abstract： The teaching content of force analysis in theoretical mechanics involves knowledge points such as axioms， constraints and force system balance. It is not easy for students to master and solve the practical engineering stress analysis with seemingly simple theoretical knowledge of axioms and constraints. Teachers need to study students' common problems and explore ways to solve them in the teaching process， so as to achieve twice the result with half the effort. This paper analyzes the problems found in stress analysis teaching in the past， using typical stress analysis cases， and provides exploratory solutions to these problems， providing reference for stress analysis teaching.

Keywords： theoretical mechanics; analysis of forces; teaching

引言

理論力學(xué)是一門理論性較強(qiáng)的專業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)課。它是研究力學(xué)中最普遍、最基本的規(guī)律，是后續(xù)力學(xué)課程的重要基礎(chǔ)[1]。受力分析是理論力學(xué)教學(xué)中極其重要的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)好其它力學(xué)課程的根基。倘若這部分內(nèi)容掌握不好，就不利于后續(xù)理論力學(xué)內(nèi)容和其它力學(xué)課程的順利學(xué)習(xí)。受力分析在中學(xué)和大學(xué)物理課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)過，學(xué)生有些基礎(chǔ)。理論力學(xué)中受力分析是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步面向?qū)I(yè)技術(shù)延伸。學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生認(rèn)為學(xué)過太容易，就不放在心上。在解決受力分析問題時(shí)，學(xué)生往往習(xí)慣慣性思維，延用過去掌握的受力分析知識(shí)來分析，結(jié)果經(jīng)常出錯(cuò)。老師在講解受力分析時(shí)，由于涉及知識(shí)點(diǎn)多，又不易講透，所以就像炒一鍋“夾生飯”[2]。因此，理論力學(xué)中受力分析教學(xué)看似簡(jiǎn)單，實(shí)質(zhì)不易，要讓學(xué)生掌握好受力分析這部分內(nèi)容，老師還必須下點(diǎn)功夫。何洋[3]等人提出利用“自由度”理論來進(jìn)行受力分析。該受力分析方法是從約束概念出發(fā)，引入“限制”，從判斷“限制”來確定“約束力”。例如某一方向上平移自由度被限制了，則這一個(gè)方向就有約束力，該約束力方向與被限制的運(yùn)動(dòng)方向相反。因此，該分析方法本質(zhì)上還是利用約束的分析方法來進(jìn)行受力分析，而且又增加了專業(yè)性強(qiáng)的“自由度”概念，無形中又給學(xué)生增添了學(xué)習(xí)的難度。本文根據(jù)自己多年理論力學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從分析和研究學(xué)生在受力分析學(xué)習(xí)中存在的問題出發(fā)，結(jié)合受力分析典型案例提出解決這些問題的辦法，為受力分析教和學(xué)提供參考。

一、受力分析教學(xué)中的問題研究

受力分析教學(xué)涉及到理論力學(xué)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)部分，重點(diǎn)在靜力學(xué)部分。由于受力分析在中學(xué)和大學(xué)物理課程上已經(jīng)學(xué)過，學(xué)生在理論力學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，不夠重視，仍沿用過去的分析方法，去進(jìn)行受力分析，根本沒有考慮理論力學(xué)與前述課程的受力對(duì)象和分析方法的不同。另外這部分內(nèi)容理論多，看似沒有用，但受力分析時(shí)，處處要用到，一不小心就錯(cuò)。在多年理論力學(xué)教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常在以下幾個(gè)方面出現(xiàn)問題。

（一）受力對(duì)象模型

中學(xué)和大學(xué)物理課程上，進(jìn)行受力分析的研究對(duì)象模型為多為質(zhì)點(diǎn)。受力分析時(shí)，各力作用點(diǎn)均畫在質(zhì)心。而理論力學(xué)研究對(duì)象模型多為剛體，要考慮剛體的形狀和尺寸，因此，受力分析時(shí)要考慮力作用點(diǎn)的位置。由于沒有弄清楚受力對(duì)象模型之間的區(qū)別，學(xué)生在受力分析時(shí)，經(jīng)常忽略力作用點(diǎn)的位置，直接畫在物體的質(zhì)心上，引起錯(cuò)誤。另外一個(gè)常見錯(cuò)誤是：不管題目中有沒有要求，受力分析時(shí)，學(xué)生看到物體就在質(zhì)心上畫個(gè)重力。在理論力學(xué)受力分析過程中，輕質(zhì)桿件通常是不考慮重力，如桁架構(gòu)件。

（二）選擇受力對(duì)象

在進(jìn)行受力分析時(shí)，特別是針對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，有些學(xué)生一臉茫然，無從下手，不知道首先選擇那個(gè)物體進(jìn)行受力分析或者先是分析系統(tǒng)還是分析其中單個(gè)物體。

（三）約束分析方法

學(xué)生在利用約束分析方法的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)約束和約束力概念沒有足夠地理解，導(dǎo)致經(jīng)常出錯(cuò)。經(jīng)常出錯(cuò)的問題包括：不同約束約束力個(gè)數(shù)、約束力方向和作用點(diǎn);圓柱鉸鏈中銷釘;光滑接觸面法線;主動(dòng)力與約束力等。在理論力學(xué)教材中，關(guān)于約束與約束力的闡述比較簡(jiǎn)單，就幾行文字，要讓學(xué)生自己去分析理解有點(diǎn)困難。因此，老師在講解約束與約束力時(shí)，要有足夠的通俗易懂的分析。對(duì)于約束的理解：約束就是限制其它物體的物體，因此約束本身是“物體”，這個(gè)物體對(duì)其它物體起“限制（或阻礙）”作用，這樣分析很重要。這樣就很好理解“約束力”和“解除約束的原理”。對(duì)于約束力的理解：約束力就是約束物體對(duì)被限制物體的作用，約束力方向與該約束物體阻礙的位移方向相反。解除約束就是移除約束物體，在被限制物體上用約束力來代替約束物體的作用。不同種類的約束對(duì)被限制物體的阻礙作用不同，因此解除約束后會(huì)有不同的約束力。另外，利用約束分析方法進(jìn)行受力分析時(shí)還要注意分析主動(dòng)力和約束力的關(guān)系。對(duì)于主動(dòng)力的理解：主動(dòng)力就是能使物體產(chǎn)生主動(dòng)運(yùn)動(dòng)的力，通常有重力和驅(qū)動(dòng)力。主動(dòng)力和約束力同時(shí)作用在物體（或系統(tǒng)）上，它們有先后依賴關(guān)系。物體（或系統(tǒng)）上首先作用主動(dòng)力，使得物體（或系統(tǒng)）產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，然后由于約束力的存在，才阻礙了物體（或系統(tǒng)）的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)次序不能顛倒。在受力分析時(shí)，也是按照這個(gè)次序進(jìn)行主動(dòng)力和約束力的分析。

（四）公理分析方法

在利用約束分析方法進(jìn)行受力分析時(shí)，時(shí)常用到公理知識(shí)，包括二力平衡公理、三力平衡匯交定理和作用力與反作用力定律等。由于學(xué)生只知道背誦公理，至于怎么應(yīng)用公理去進(jìn)行受力分析，理解和掌握不夠，因此經(jīng)常會(huì)造成二力體、三力體和作用力與反作用力的受力分析出錯(cuò)。由于公理很抽象，不好理解，更難將公理應(yīng)用到受力分析中，因此，老師在講解公理時(shí)，要多結(jié)合受力分析案例去分析和理解。例如二力平衡公理應(yīng)用到剛體上就有了二力體，是物體受力平衡最簡(jiǎn)單形式。在受力分析時(shí)，是首先要分析的物體。二力體受力特點(diǎn)就是物體受兩個(gè)力，它們等值、反向和共線。進(jìn)行二力體受力分析時(shí)必須滿足此特點(diǎn)。二力體經(jīng)常出錯(cuò)是受力不滿足等值、反向和共線。對(duì)于三力體就是三力平衡匯交公理引出的剛體受力模型，其受力特點(diǎn)是其中任意兩個(gè)力匯交則第三個(gè)力作用線必通過匯交點(diǎn)。三力體受力分析時(shí)要注意畫上第三個(gè)力后，要使得物體平衡。經(jīng)常出錯(cuò)是第三個(gè)力的方向。對(duì)于作用力與反作用力公理，要講明白一對(duì)平衡力和作用力與反作用力的區(qū)別。一對(duì)平衡力是作用在同一物體上，而作用力與反作用力是在相鄰位置，分別作用在兩個(gè)不同物體上，不能平衡。經(jīng)常出錯(cuò)是作用力與反作用力的作用點(diǎn)和方向。

以上分析和研究了學(xué)生在受力對(duì)象和分析方法上容易出錯(cuò)的四個(gè)方面，在受力分析教學(xué)過程中，需要重點(diǎn)闡述，講透，針對(duì)性多練，避免出錯(cuò)。下面將通過對(duì)一個(gè)鉸接剛架的受力分析，闡述如何讓學(xué)生避免容易出錯(cuò)的地方。

二、受力分析教學(xué)中的探索

一個(gè)鉸接剛架，如圖1，在A點(diǎn)、B點(diǎn)和D點(diǎn)為光滑圓柱鉸鏈連接，C點(diǎn)為光滑接觸， AB桿上E點(diǎn)受一個(gè)集中力F，剛架處于平衡狀態(tài)，不計(jì)所有桿件重量，所有接觸處均為光滑。試分析各桿及系統(tǒng)的受力情況。下面針對(duì)學(xué)生在受力對(duì)象和分析方法上容易出錯(cuò)的地方進(jìn)行詳細(xì)分析，并給出解決問題的辦法，避免受力分析時(shí)出錯(cuò)。

（一）對(duì)于“受力對(duì)象模型”問題

首先考慮各桿不計(jì)重量，因此在各桿質(zhì)心上沒有重力作用。其次考慮各桿為剛體，分析各桿受力時(shí)注意作用點(diǎn)，不能放在質(zhì)心上。圖中約束力作用點(diǎn)應(yīng)分布在A點(diǎn)、B點(diǎn)和D點(diǎn)鉸鏈和C點(diǎn)光滑面的約束處。

（二）對(duì)于“選擇受力對(duì)象”問題

選擇分析受力對(duì)象，首先選擇主動(dòng)力所在剛體，其次考慮與它相鄰剛體，進(jìn)而逐步展開。圖中AB桿上E點(diǎn)受一個(gè)集中力F，因此先選擇AB桿，然后再選擇AD桿和BC桿。對(duì)于先整體受力分析還是局部受力分析，這個(gè)問題最好放在研究力系平衡部分討論，因?yàn)橐紤]所求未知量與平衡方程數(shù)的關(guān)系，這里就不展開討論了。

（三）對(duì)于“分析方法”問題

受力分析方法通常有約束和公理分析方法，在進(jìn)行受力分析時(shí)通常先采用約束分析法，然后局部采用公理分析法。下面先采用約束分析法進(jìn)行受力分析。該鉸接剛架主動(dòng)力在AB桿上，因此受力分析從AB桿展開。取AB桿為研究對(duì)象，畫出分離體，如圖2。注意在A點(diǎn)和B點(diǎn)鉸鏈處固連圓柱銷釘（圖中空心圓表示圓柱銷釘，以下相同）。對(duì)于鉸鏈處圓柱銷釘?shù)奶幚硎且粋€(gè)難點(diǎn)，經(jīng)常出錯(cuò)。避免出錯(cuò)的方法就是看銷釘上有沒有作用主動(dòng)力，如果有，就將銷釘作為一個(gè)分離體取出來進(jìn)行單獨(dú)受力分析;如果沒有，銷釘就沒有必要單獨(dú)取出進(jìn)行受力分析，而是將銷釘固連在鉸鏈連接的任意一個(gè)剛體上，然后聯(lián)同這個(gè)固連的剛體一起進(jìn)行受力分析。在AB桿的分離體上，先畫主動(dòng)力，即在E點(diǎn)畫主動(dòng)力F，然后再確定約束力。AB桿在主動(dòng)力F作用下要運(yùn)動(dòng)，由于在A點(diǎn)和B點(diǎn)處受到圓柱鉸鏈約束，其約束力限制其在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。這樣分析AB桿上主動(dòng)力和約束力就可以避免出錯(cuò)。考慮B點(diǎn)圓柱銷釘所受約束簡(jiǎn)單，先分析B點(diǎn)，然后再分析A點(diǎn)。在B點(diǎn)受到圓柱鉸鏈的約束，此鉸鏈約束通過圓柱銷釘與BC桿連接，限制AB桿在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。限制的方向未知，可表示為水平和鉛直兩個(gè)正交方向的運(yùn)動(dòng)，故有FBx和FBy兩個(gè)力。該未知平面約束力，被簡(jiǎn)化為正交兩方向表示，也是為后面研究力系平衡作準(zhǔn)備。在A點(diǎn)受到圓柱鉸鏈的約束，此鉸鏈約束通過圓柱銷釘與AD桿和水平固定面連接，因此AB桿在A點(diǎn)受到AD桿和水平固定面兩個(gè)方面的限制。對(duì)水平固定面來說，限制AB桿在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。限制的方向未知，可表示為水平和鉛直兩個(gè)正交方向的運(yùn)動(dòng)，故有FAx和FAy兩個(gè)力。對(duì)AD桿來說，也限制了AB桿在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，但其約束力不可簡(jiǎn)單描述為正交FADx和FADy兩個(gè)力（如圖3）。對(duì)AD桿來說，應(yīng)該用公理分析法。因?yàn)锳D桿在A點(diǎn)和D點(diǎn)兩處受到圓柱鉸鏈約束，限制了AD桿在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且AD桿處于平衡狀態(tài)。根據(jù)二力平衡公理可知此時(shí)AD桿受一對(duì)平衡力作用。它們分別作用在A點(diǎn)和D點(diǎn)，特點(diǎn)是等值、反向和共線。因此， A點(diǎn)和D點(diǎn)的約束力是確定的，這里應(yīng)為一對(duì)拉力：FAD和FD，如圖4。那么，AB桿在A點(diǎn)受到AD桿的約束力，又用到公理分析法：作用力與反作用力定律，即AB桿在A點(diǎn)受到AD桿的約束力與AD桿在A點(diǎn)受到AB桿的約束力互為作用力與反作用力。因此，在AB桿上A點(diǎn)受到AD桿的約束力表示為F′AD，如圖2。

下面對(duì)BC桿進(jìn)行受力分析。由于BC桿上沒有主動(dòng)力作用，因此，只要分析約束力。取BC桿為研究對(duì)象，畫出分離體，如圖5，注意在B點(diǎn)和D點(diǎn)鉸鏈處沒有固連圓柱銷釘，C點(diǎn)為光滑面約束。先分析B點(diǎn)和D點(diǎn)約束力，然后再分析C點(diǎn)約束力。在B點(diǎn)和D點(diǎn)分別受到AB桿和AD桿的約束力。因?yàn)樵贏B桿和AD桿上同樣位置已經(jīng)分析過約束力，因此，分析BC桿上這兩點(diǎn)約束力只能用公理分析法：作用力與反作用力定律。故在B點(diǎn)受到AB桿兩正交反作用力F′Bx和F′By;在D點(diǎn)受到AD桿的反作用力F′D，如圖5。在C點(diǎn)受到水平光滑面約束，限制BC桿沿水平光滑面法線方向向下運(yùn)動(dòng)，如圖5中C點(diǎn)，水平虛線代表水平光滑接觸面，鉛直虛線就是水平光滑面的法線。因此，C點(diǎn)受到水平光滑面的約束力應(yīng)該沿光滑面法線方向向上，起阻礙作用如圖5中FCy。在受力分析時(shí)有些學(xué)生認(rèn)為該點(diǎn)的桿會(huì)向右側(cè)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)該有一個(gè)力限制其運(yùn)動(dòng)，故錯(cuò)誤的在光滑面的水平方向上虛加一個(gè)力，如圖6中FCx。避免發(fā)生這個(gè)錯(cuò)誤，還是要從約束概念出發(fā)，在C點(diǎn)沿光滑面水平方向上沒有受到約束物體的限制，因此就沒有約束力。另外，也可用力的概念來說明，力是物體與物體之間的相互作用，如果水平方向上增加一個(gè)力FCx，那么這個(gè)力對(duì)應(yīng)的施力體是什么？找不到施力體的力，都是不存在的。BC桿的受力分析還可以利用三力平衡匯交定理，如圖7。BC桿在B點(diǎn)、C點(diǎn)和D點(diǎn)三個(gè)力作用下平衡。由于C點(diǎn)的約束力FCy和F′D作用線延長(zhǎng)線匯交于G點(diǎn)，那么B點(diǎn)的約束力FB作用線必定通過G點(diǎn)。注意這里經(jīng)常出錯(cuò)的地方是FB約束力的方向，記住畫上力FB一定要保持BC桿平衡。另外，如果BC桿的受力分析用三力平衡匯交定理，那么在分析AB桿上B點(diǎn)受力時(shí)，受到BC桿的約束力應(yīng)為FB的反作用F′B，如圖8。

對(duì)剛架系統(tǒng)受力分析，仍采用約束分析法。剛架系統(tǒng)受到主動(dòng)力F作用，在A點(diǎn)和C點(diǎn)受到約束限制。取剛架系統(tǒng)為研究對(duì)象，畫出分離體，如圖9。先在AB桿上E點(diǎn)畫主動(dòng)力F，然后再確定約束力。A點(diǎn)為鉸鏈約束，限制系統(tǒng)在力F作用線與AB桿確定的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。限制的方向未知，可表示為水平和鉛直兩個(gè)正交方向的運(yùn)動(dòng)，故有FAx和FAy兩個(gè)力。C點(diǎn)受到水平光滑面約束，約束力FCy沿光滑面法線方向向上。系統(tǒng)受力分析時(shí)容易出現(xiàn)的問題是如何判別系統(tǒng)外力和系統(tǒng)內(nèi)力。系統(tǒng)外力是系統(tǒng)以外物體對(duì)系統(tǒng)的作用，其中包括主動(dòng)力和約束力。系統(tǒng)內(nèi)力是系統(tǒng)內(nèi)部相鄰物體間的相互作用，為約束力，如該系統(tǒng)中在B點(diǎn)、D點(diǎn)和AD桿上A點(diǎn)的約束力。注意在分析系統(tǒng)受力情況時(shí)，不需要分析系統(tǒng)內(nèi)力，只需要分析系統(tǒng)外力。

本節(jié)利用約束和公理兩種分析方法，對(duì)鉸接剛架案例進(jìn)行了詳細(xì)受力分析。在分析過程中分析可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，并給出避免產(chǎn)生錯(cuò)誤的解決方法。在理論力學(xué)教學(xué)過程中，本人應(yīng)用了這些方法，深受學(xué)生歡迎。

三、結(jié)束語

理論力學(xué)中牽涉受力分析教學(xué)內(nèi)容包括靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)，涵蓋知識(shí)點(diǎn)多。本文研究了受力分析過程中常見問題，利用公理和約束分析方法對(duì)典型案例進(jìn)行受力分析。其它有關(guān)摩擦以及動(dòng)力學(xué)等部分的受力分析問題沒有展開討論，而這些章節(jié)的受力分析，都是在公理和約束分析方法基礎(chǔ)上展開的，因此掌握好公理和約束分析方法，有利于后續(xù)力學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。在公理和約束分析方法教學(xué)環(huán)節(jié)，如何將公理和約束理論知識(shí)應(yīng)用到解決工程實(shí)際受力分析，需要教和學(xué)兩方面多下功夫，否則理論就是理論，無法變成解決問題的方法。作為老師來說，以學(xué)生為中心，細(xì)心關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題，針對(duì)這些問題，多研究多探索些解決問題方法，以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

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