一道初中數學學業水平考試題的解法探究

陜西省漢中市四〇五學校 (723312) 侯有岐

圖1

1.試題呈現

2．解法分析

一般地，攻破反比例函數問題有兩條思路：①k的幾何意義：面積(轉化)；②k的代數意義：積一定(圖像上點的橫縱坐標乘積)(設而不求).

此題首先想到：面積(轉化)，因為SΔADE=8；其次想到：坐標原點O是AB中點，因為正比例函數與反比例函數的交點中心對稱；再想到：連結OE,因為AE⊥BE(直角+斜邊中點)；接著利用角平分線：兩條線出擊，①角平分線+垂直，延長BE和AC，最終斷路；②角平分線+等腰(三者知二求一)，得出OE∥AD.最后順著面積這條線索，利用等積模型轉化：SΔAOD=SΔADE=8,同時利用比例AC=3DC，易知SΔCOD=4,最后的關鍵在于如何利用面積建立方程求出k.

思路一：三角形AOD面積轉化為梯形巧設元.

圖2

如圖2，連接OD,OE,過點A作AN⊥x軸于點N，過點D作DM⊥x軸于點M，根據正比例函數與反比例函數的對稱性得出OA=OB，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OE=OA,根據等邊對等角及角平分線的定義得出∠CAE=∠OEA,根據內錯角相等二直線平行得出OE∥AC,根據同底等高的三角形的面積相等得出ΔAOD的面積=ΔADE的面積，根據反比例函數k的幾何意義及割補法得出ΔAOD的面積=梯形ADMN的面積，從而得出梯形ADMN的面積=8.為了避免分數參與運算，還可以改進設元.

思路二：利用AC=3DC求出ON、NM、MC的比.

思路三：利用相似導出四邊形ANMD與三角形CMD的面積關系.

3．解后反思

反比例函數的壓軸題,常常可從三個方面考慮：

(1)翻譯：面積翻譯成k；中心對稱翻譯成中點；垂直翻譯成直角三角形.

(2)盯住目標k聯想學過的定理、性質、概念:比如，直角三角形斜邊上的中線得出等腰；角平分線+平行線(垂直)模型；平行聯想等積模型；面積聯想建立方程解k.

(3)目標的靈活性，建立關于k的方程的方法選擇是解決此類問題的關鍵，需要平時多積累，多思考等.