直觀想象素養下一道高中數學聯賽試題的再探究

湖南師范大學數學與統計學院 (410081) 祁盛苗 謝圣英

直觀想象是六大核心素養之一，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要表現為：建立形與數的關系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物[1].

文[2]中，江智如基于直觀想象素養，對2019年全國高中數學聯賽(A卷)一試第10題進行了解法探究，提供了三種解題方法：幾何法、導數法和AM-GM不等式法.其中，幾何法利用拋物線的光學性質進行求解，導數法和AG-GM不等式法都把原問題轉化為函數的零點問題.考察了考生數形結合思想、直觀想象能力、化歸與轉化思想和運算求解能力[2].本文在此基礎上，對該題解法進行再探究.

1.試題重現

在平面直角坐標系xOy中，圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點，且圓Ω與x軸相切于Γ的焦點F.求圓Ω的半徑.

2.解法再探究

2.1 相同切線法

思路分析：由條件“圓與拋物線恰有一個公共點”知，它們在該點有相同的切線，因此可考慮利用二者在公共點處的切線重合進行求解.

圖1

解法1:如圖1所示，易知拋物線Γ的焦點F的坐標為(1,0).設圓Ω的半徑為r(r>0).

由對稱性，不妨設圓Ω在x軸上方與x軸相切于Γ的焦點F，故圓Ω的方程為(x-1)2+(y-r)2=r2.設圓Ω與拋物線Γ相切于點T(x0,y0)，則在點T處，圓Ω與拋物線Γ的切線方程分別為

(x0-1)(x-1)+(y0-r)(y-r)=r2①.

評注：解法1由條件“圓Ω與拋物線Γ恰有一個公共點”得到它們在該點處相切，即有相同的切線，因此分別寫出二者在該公共點處的切線方程，利用它們表示同一條直線得到半徑r關于切點坐標(x0,y0)的表達式，再由切點滿足拋物線Γ的方程，求得半徑.相比于利用拋物線的光學性質，要求考生具有扎實的幾何功底[2]的幾何法，此解法巧用考生在初高中都學過的切線，更符合考生的思維習慣，考生更容易從頭腦中的圖示和產生式中提取熟悉的知識，高效解題.該解法數形結合，考察了考生直觀想象能力，具體表現為借助幾何直觀理解問題，并建立形與數的關系從而解決問題.

2.2切線長相等法

思路分析：同樣從“相同切線”入手.考慮到圓Ω與拋物線Γ有公切線，又考慮到圓Ω與x軸相切，這兩條切線必然相交于圓外一點，因此可用切線長定理求解.

圖2

解法2：如圖2所示，點F為拋物線Γ的焦點，點T為圓Ω與拋物線Γ的唯一公共點.過點T作二者的公切線TB交x軸于點B.

評注：同是利用切線解題，與解法1考慮兩圓錐曲線的公切線不同，解法2從一條圓錐曲線的兩條切線入手，利用過圓外一點的該圓的兩條切線長相等求解.因巧設切點T的坐標，減少了未知量的個數，從而可減少計算量.此解法同樣數形結合，考察了考生直觀想象能力.此外，受解法2啟示，在解法1中，也可設切點T的坐標為(t2,2t)，再求解.

3.總結與啟示

直線和圓錐曲線的關系問題是高中幾何中一類常見的問題，這道全國高中數學聯賽試題將直線換成了二次曲線，考慮兩條圓錐曲線的關系，因此可如同解決直線與圓錐曲線的關系問題一樣，將二者的方程聯立.但由于直線換成了二次曲線，所以需要突破利用根與系數的關系這種常用解法，另尋其他方法求解.又因二者只有一個公共點，想到它們在該點相切，以此為突破口，最終得到文中的兩種方法，解題思路充分體現了直觀想象素養中幾何直觀和數形結合思想的運用.

史寧中教授認為，在大多數情況下,數學的結果是“看”出來的而不是“證”出來的.“看”是一種建立在長期的有效能的觀察和思考的基礎上的直覺判斷.人能夠獲取知識是因為具有一種先天的“直觀能力”，但一個好的直觀能力的養成卻是依賴于經驗的[3].且已有研究表明[4]，近些年來高考數學試題中部分問題出現了“競賽化”的趨勢，或以數學競賽相關定理為背景，或以數學競賽解題技巧為背景等等，以考察學生的思維能力和數學素養.這啟示教師在發展學生的直觀想象素養的日常教學中，不僅要挑選有利于培養直觀想象素養的經典例題，精心設計問題情境，引導學生仔細觀察，憑借幾何直觀進行思考，還可以挑選、設計或改編一些與高中教材和考試大綱密切相關的、難度適當的數學競賽幾何題，鼓勵學生自主尋找多種解法并反思總結，使學生不斷積累直觀想象經驗，形成對幾何圖形敏銳的洞察力和良好的直觀想象素養，從而提升數學問題解決的能力.