一道高三聯(lián)考試題的推廣

湖南省桃江縣第一中學(xué) (413400) 胡芳舉 徐令芝

2020屆高三全國第一次大聯(lián)評數(shù)學(xué)試卷(理)第19題為:

圖1

已知拋物線y2=2x，過點P(1,1)分別作斜率為k1，k2的拋物線的動弦AB、CD，如圖1,設(shè)M、N為線段AB、CD的中點．

(Ⅰ)若P為線段AB的中點，求直線AB的方程；

(Ⅱ)若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．

本文將給出該題的一個推廣,下面以橢圓為例來說明.

先給出一個引理:

下面給出推廣的兩個巧妙證明.

證法一:設(shè)點M(x1,y1),N(x2,y2),則直線MN的方程為(y1-y2)x-(x1-x2)y=y1x2-y2x1①.

證法二:以點P為坐標(biāo)原點建系,則曲線E的方程為a(x+m)2+b(y+n)2=1.由引理及平移法則知,點M,N的軌跡方程為ax2+by2+amx+bny=0.