蒙日圓中的幾個優美結論及推廣

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春

蒙日，法國數學家，被譽為射影幾何之父，將分析學用于幾何研究，反過來用幾何去解釋微分方程，并探討了偏微分方程的特征理論．圓作為幾何研究的重要對象之一，在小學數學中就對圓有初步的認識，如圓的半徑、直徑、周長、面積等．初中平面幾何，對圓的性質進行了進一步刻畫，側重于圓幾何性質(形)的研究．高中數學，將圓放在直角坐標系中來研究，體現的是一種坐標化(數)的思想(量化思想)，側重于定量研究，這得益于17世紀笛卡爾創立直角坐標系，讓幾何研究踏上了新的歷史征程，使得更多隱性的幾何性質逐步的被發掘．從小學對圓的初步認識到初中平面幾何的定性研究，最后到高中的定量研究，完美的體現了從“形”到“數”的思想，從直觀到抽象的思維過程．蒙日圓是由橢圓的兩條切線問題產生的，其實蒙日圓并不陌生，在高考數學中也曾出現過，如2013年安徽高考卷第18題、2014年廣東高考卷第20題等．接下來，將對蒙日圓的概念做簡單介紹，給出蒙日圓的幾個優美結論，并將蒙日圓的部分性質推廣到雙曲線和拋物線中，希望對大家有所幫助．

1.蒙日圓的概念簡介與證明

在一個橢圓中，橢圓的任意兩條相互垂直的切線，其交點的軌跡在一個圓上，這個圓是以橢圓的中心為圓心，以橢圓的長半軸與短半軸的平方和的算術平方根為半徑，這個圓稱之為蒙日圓或準圓，即橢圓的外切矩形的外接圓．

證明：當兩條相互垂直的直線斜率不存在或為零時，易得P點坐標為(±a,±b)．現假設不為上述情況，設點P的坐標為(x0,y0)，其中x0≠±a，y0≠±b．設過點P且與橢圓相切的直線方程為y=k(x-x0)+y0．

評注：蒙日圓的證明方法有很多種，除了代數法，還可以用幾何法、參數法等．

2.蒙日圓中的幾個優美結論

由于在任意一個平行四邊形中，對角線的平方和等于該平行四邊鄰邊平方和的二倍，這個結論位于人教版必修4第109頁，證明方法較多，如向量法等，此處不再具體給出．

由直線過原點及橢圓的對稱性，可得|2OP|2+|F1F2|2=2|PF1|2+2|PF2|2．

由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，平方可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2．由|F1F2|=2c，a2=b2+c2，代入并聯立上面兩個等式，可得|PF1|·|PF2|=a2+b2-|OP|2．故

|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，結論得證．

證明：直接證明該結論較為繁瑣，不妨借助結論1．引一條過原點(圓心)且過切點P的直線，與蒙日圓交于C、D兩點．顯然，在蒙日圓中，線段AB與CD相交，由圓的相交弦定理可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|．

由結論1，可知|PA|·|PB|=|PC|·|PD|=|PF1|·|PF2|．所以|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|，則該結論成立．

評注：該結論描述的是橢圓上任意點到兩焦點線段的長度與到蒙日圓上兩交點線段長度的數量關系，將切點到蒙日圓的線段長度與切點到橢圓焦點的線段長度聯系起來．

評注：該結論，描述的是橢圓準線上的一點引蒙日圓切線長與該點到離準線最近的焦點的數量關系，這個結論將橢圓的準線、焦點、蒙日圓三者聯系起來．

證明：由結論2可知|PA|·|PB|=|PF1|·|PF2|．由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a，和為定值．從不等式的視角來看，和為定值積有最大值．易得|PF1|·|PF2|的最大值為a2，當且僅當|PF1|=|PF2|=a等號成立．同理，可得|PF1|·

|PF2|的最小值為a2-c2，當且僅當|PF1|=a±c，|PF2|=a?c時，即P在點(±a,0)時，等號成立．

評注：該結論指出，過橢圓上任意切點的直線與蒙日圓相交，這切點到兩個點長度的乘積是有界的，且以橢圓的短半軸的平方為下界，以橢圓長半軸的平方為上界．

3.蒙日圓的推廣

圓錐曲線的性質具有相似性和遺傳性．阿波羅尼奧斯所著《圓錐曲線論》，將演繹幾何推到了巔峰，揭示了圓錐曲線的內在的本質聯系．在高等幾何中，描述了點、直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的內在關聯，其中圓在變換中起到基礎性的作用[1]，如點可以視為直徑為零的圓，直線可以看成直徑無窮大的圓，橢圓可以視為“壓扁”的圓(用線性變換的角度來看，即為壓縮變換)等，這些充分的表明的圓的基礎性和圓錐曲線之間的內在關聯性．接下來，將蒙日圓到退化到圓中，再將其推廣到雙曲線和拋物線中去．

引理在矩形ABCD所在的平面內任取一點O，則有等式OA2+OC2=OB2+OD2成立．

可以用建系法、向量法、構造勾股定理等方法證明該引理成立，方法較簡單，此處不再具體給出．接下來，將用幾何法證明該交點P的軌跡方程為x2+y2=a2-b2．

圖1

證明：如圖1所示，設雙曲線的左右焦點分別為F1、F2，兩條切線與雙曲線的切點為A、B兩點，過F1作關于AP的對稱點R，且與AP交于點G．由雙曲線光學性質，可知A、R、F2三點共線．

評注：此推廣描述的是雙曲線中的蒙日圓的特性，該圓是以雙曲線的中心為圓心，以上雙曲線實半軸平方與虛半軸平方之差的算術平方根為半徑．

雙曲線可以通過橢圓得到，那在雙曲線中是否有橢圓中一些相似的性質呢？當然有．

性質1 如圖2所示，已知F1、F2為雙曲線的左右焦點，過雙曲線上任意一點P引過原點(雙曲線蒙日圓的圓心)的直線，與蒙日圓交于M、N兩點，則有|PF1|·|PF2|=|PM|·|PN|．

圖2

證明：略．(提示：用兩點間的距離公式可證．)

評注：值得注意一點的是，過拋物線上任意點做蒙日圓的割線，上述結論依然成立，過原點是一種特殊的情況，是為了和上述結論1相對應．

性質2 過雙曲線上任意一點P引雙曲線蒙日圓的切線，設切點為Q，則有切線長的平方等于該點到拋物線兩個焦點距離的乘積，即|PF1|·|PF2|=|PQ|2．

評注：該性質可由上述性質1和圓冪定理得到，此處不再給出具體的證明過程．

推廣3 拋物線y2=2px的兩條相互垂直的切線的交點P的軌跡為拋物線的準線．

證明：如圖3所示，設兩條與拋物線相切且垂直的直線交點為P，與拋物線的兩個切點分別為A、B．

設點P的坐標為(x0,y0)，過點P且與拋物線相切的直線方程為y=k(x-x0)+y0．聯立直線與拋物線的方程，消去y可得k2x2+(2ky0-2x0k2-2p)x+(kx0-y0)2=0．

故拋物線兩條相互垂直的切線的交點P的軌跡為該拋物線的準線．這是一條垂直于x軸的直線，如何理解它呢？實際上該直線可看成是圓心在無窮遠處的一個“蒙日圓”．既然可以看成是圓，那是否會“遺傳”橢圓中蒙日圓的一些相似性質呢？

性質6 由性質4和性質5，可知拋物線焦點到兩個切點的距離之積等于焦點到“蒙日圓”上該點距離的平方，即|FA|·|FB|=|FP|2．

評注：性質4、5證明較為簡單，性質6可以借助射影定理、相似或勾股定理等證明，此處不再具體給出．性質6，可改寫成|FA|·|FB|=|FP|·|FP|，這就與橢圓中蒙日圓的結論1統一起來，當雙曲線“蒙日圓”的圓心在無窮遠處時，此處的點P可以看成結論1橢圓中直線與蒙日圓的兩個交點A、B在無窮遠處無限靠近，即收縮為一個點．

4.結束語

蒙日圓是一種重要的圓，在高考數學中也曾出現過，這足以表明它的重要性.通過對蒙日圓的研究，可以發現，在圓錐曲線中，很多性質都具有相似性，也就是家族“遺傳性”.因此，在圓錐曲線的教學過程中，要注意將橢圓、雙曲線及拋物線這幾個知識模塊串聯起來教學，這樣有助于學生構建圓錐曲線的知識框架，促進學生整體性思維的發展.