關(guān)于簡單的線性規(guī)劃的若干思考

劉慈華

【摘要】本文首先闡述了有關(guān)簡單的線性規(guī)劃的定義和相關(guān)概念，緊接著詳細(xì)分析了教師在線性規(guī)劃教學(xué)過程中可能遇到的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，并給出了相應(yīng)的教學(xué)策略。最后總結(jié)了簡單線性規(guī)劃教學(xué)的意義。

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 ?重難點(diǎn) ?教學(xué)策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）08-0018-02

一、問題的提出

在組織社會化生產(chǎn)、經(jīng)營管理活動中，我們經(jīng)常會碰到最優(yōu)化決策的實(shí)際問題，而解決這類問題的現(xiàn)代管理科學(xué)以線性規(guī)劃為重要理論基礎(chǔ)。為了使利用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題更加理性化，便于今后我們?nèi)ソ鉀Q更多的類似問題，從而產(chǎn)生了一系列的有關(guān)概念：線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)劃、可行解、可行域、最優(yōu)解等。

二、簡單線性規(guī)劃的教學(xué)策略

通過對線性規(guī)劃教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)過程的研究，我們歸納出線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型的一般形式：根據(jù)題意，列出約束條件及目標(biāo)函數(shù);畫出約束條件所對應(yīng)的可行域;結(jié)合圖形，在可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

通過對簡單線性規(guī)劃的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有了更深的認(rèn)識，對化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想有更進(jìn)一步的領(lǐng)悟，同時，學(xué)生識圖、畫圖和對圖形的分析能力也在進(jìn)一步加強(qiáng)。但是在教學(xué)的過程中，我們應(yīng)該注意以下三個重難點(diǎn)：1.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言。解決此難點(diǎn)，要分析實(shí)際問題中的已知條件、約束因素、所求問題，列出對應(yīng)的不等式和目標(biāo)函數(shù)。2.確定二元一次不等式的解表示的是直線的哪一側(cè)區(qū)域。解決此難點(diǎn)，可在直線的一側(cè)取一特殊點(diǎn)確定Ax+By+C 的正負(fù)，正負(fù)與不等式的符號相同，則該特殊點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)閷?yīng)不等式所在的區(qū)域。3.求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。解決此難點(diǎn)，要結(jié)合圖形，弄清直線平移時目標(biāo)函數(shù)的取值與直線截距之間的關(guān)系。

在教學(xué)過程中面臨這些困難，我們就要采取相應(yīng)的對策解決它，一般來說，對于在簡單的線性規(guī)劃中出現(xiàn)的困難，我們應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：

1.題意的理解及條件的轉(zhuǎn)化

題目的條件是什么，有什么限制，要解決什么問題，怎么通過假設(shè)把限制條件轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的不等式，把要解決的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)。筆者認(rèn)為要把題意中的文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，要抓住題目中的關(guān)健詞分析。

例如：某廠打算生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)械產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工。每臺甲產(chǎn)品在A設(shè)備所需工時分別為1h，在B設(shè)備所需工時為2h;每臺乙產(chǎn)品在A設(shè)備所需工時為2h，在B設(shè)備上所需工時為1h。A、B兩種設(shè)備每月能使用的時間分別為400h和500h。甲乙兩種機(jī)械設(shè)備每件銷售收入分別為3000元、2000元，請問如何安排生產(chǎn)可使收入最大？

這個題目出現(xiàn)次數(shù)最多的字眼是甲乙與AB，所以甲乙和AB是關(guān)鍵詞，另外，這個題目要我們求的是收入，所以收入也是關(guān)健詞。另外，收入與甲乙的數(shù)量相關(guān)，因此，假設(shè)顯而易見，設(shè)生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x、y臺，收入為z元。

怎么列出關(guān)于x、y的不等式組與目標(biāo)函數(shù)呢？

把甲乙和AB的關(guān)系及相應(yīng)的收入列表呈現(xiàn)，相應(yīng)的不等式和函數(shù)一目了然，具體如下：

AB的使用有時間限制，從而x、y的約束條件如下：

x+2y≤400

2x+y≤500

x≥0

y≥0

收入z與x、y有關(guān)系，從而得出目標(biāo)函數(shù)：z=3000x+2000y

通過關(guān)健詞教學(xué)法，可以培養(yǎng)學(xué)生分析試題的能力。

2.平面區(qū)域的作法

畫出直角坐標(biāo)系與直線并不難，至于平面區(qū)域的確定，筆者前文已經(jīng)提及，可以采用特殊點(diǎn)法。但是有些題目要注意直角坐標(biāo)系的刻度問題。線性規(guī)劃的問題涉及的都是現(xiàn)實(shí)問題，有些量很大，有些量很小，在畫圖過程中，如果橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的刻度一致的話，畫起來有一條坐標(biāo)軸可能很長，甚至很難在紙上操作。因此可根據(jù)試題適當(dāng)調(diào)整，如y的范圍為1000，x的范圍為10，那么y軸上的一個刻度可以是200，x軸上的可以是2。可以適當(dāng)放縮橫縱坐標(biāo)處理這個問題。

3.目標(biāo)函數(shù)的變形及常規(guī)下最優(yōu)解的找法

在可行域內(nèi)找到一個點(diǎn)（x，y）使得目標(biāo)函數(shù)最值取到，要完成這件事有很多方法，老教材用的是等高線的方法，讓人比較難明白，因?yàn)樗c以前的知識點(diǎn)聯(lián)系不是很緊密。現(xiàn)在的教材用的直線平移法。在進(jìn)行直線平移時，有些學(xué)生常常會出錯，就是在幾條直線之間的位置關(guān)系搞不清楚，這可以通過比較直線斜率法加以解決。如讓學(xué)生掌握k>0，直線的傾斜角為銳角;k<0時，直線的傾斜角為鈍角;k>0時，k越大，直線的傾斜角越大;k<0時，k越大，直線的傾斜角也越大。

4.有關(guān)整點(diǎn)問題的處理

線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題就是代入目標(biāo)函數(shù)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)只能是整數(shù)，不能帶有小數(shù)，因?yàn)橐紤]試題中x，y的具體含義。做這類試題可用逐步調(diào)整法，如果遇到最優(yōu)解時的x，y不是整數(shù)時，找出離這個x，y最近且解最接近最優(yōu)解的相應(yīng)的x，y。

參考文獻(xiàn)：

[1]孔繁潛.簡單的線性規(guī)劃[J].數(shù)學(xué)通訊，2003年第22期.