小學生數學抽象力的培養

殷建兵

東北師范大學史寧中教授認為，抽象、推理與建模能力是學生的基本數學學力，其他能力都是它們的派生物，數學抽象最能體現數學本質。所謂“抽象”，是指從具體事物之中舍棄非本質屬性而抽取本質屬性的過程、方法。在數學抽象之中，表象是基礎，概括是方式，語言是載體。通過數學抽象，可以讓學生掌握數學知識本質，有效地發展學生的數學思維。

一、 發展學生數學抽象力的根基

表象是學生進行數學抽象的基礎，沒有表象，學生的抽象性過程學習就無法發生。可以這樣說，表象是學生抽象力的源頭活水。在數學學習中，學生通過對素材、具體事物等的感性認知，能積累表象認識。有了表象認識，學生就可以自覺地進行比較，從而區分本質屬性與非本質屬性，進而有效地進行抽象概括。因此，在數學教學中，教師要引導學生觀察、辨析、分類、比較等，從而抓取一類事物的共同的、本質的特征。

比如教學《三角形的高》時，僅僅依靠教師機械的、枯燥的說教是無濟于事的。教學中，教師必須提供給學生不同的三角形，引導學生對三角形的不同的底邊畫高。通過對同一個三角形的三條邊畫高，通過對三角形擺放位置發生變化時、其高的方向變化這一現象的觀察，通過對不同類型的三角形畫高等豐富的活動，學生就積累了豐富的“三角形的高”的表象認識，這些表象支撐著學生的“三角形的高”的觀念。學生認識到，三角形的高與三角形的類型、三角形的大小、三角形的擺放位置、三角形的擺放方向等因素都是不相關的。這樣的認知，為學生概括三角形的本質特征奠定了堅實的基礎。

表象是學生從外在的感性認知過渡到理性認知的一個橋梁、紐帶。在發展學生抽象力的過程中，表象是必經的一個階段，發揮著至關重要的作用。教學中，教師可以通過觀察、操作等活動，借助多媒體技術等手段，通過表象認識的積累、豐富、提煉，啟迪、拓展學生的抽象思路。

二、 發展學生數學抽象力的方式

如果說，表象是學生抽象力發展的基礎，那么，概括就是學生抽象力發展的一種方式。概括的過程就是一個數學化、形式化、公理化的過程。只有經過了概括，抽象才有可能。在數學教學中，教師要引導學生通過比較，摒棄冗余的屬性，對共同的本質的屬性進行提煉。要去異求同、去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，將本質屬性從相關屬性中進行抽離、概括、提煉，進而有效地進行數學表達。

仍以上述內容的教學為例，教師可以引導學生比較同一三角形的高的相同點，比較不同類型三角形高的相同點。學生會發現，三角形的高不一定是豎直向下的，三角形的高與三角形的底總是相互垂直的，三角形的高總是經過三角形的一個頂點，到達這個頂點的對邊，等等。如此，學生就能有效地進行概括：從三角形的頂點到底邊的垂直線段就是三角形的高，從三角形的頂點到底邊的距離就是三角形的高，等等。在數學概括的過程中，教師要注意積極引導、點撥學生，要注重概括的層次性，讓學生的數學概括能力拾級而上。有時候，一個數學概念的本質屬性的揭示，是經歷了二次提煉、概括乃至多次提煉、概括之后完成的。這個概括的過程，也就是學生對數學對象進行深度加工的過程，是一種深度活動的過程，也是學生深度思考的過程。

在數學教學中，在引導學生對具體事物充分感知、形成表象認識之后，教師要引導學生及時概括。只有這樣，才能讓學生的感性認知上升到理性認知層面，從而提升學生的數學學習力。如果教師不及時對學生的表象認識進行梳理、提煉、概括，學生就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的、零碎的外部現象上，就不能形成對知識本質的認知。

三、發展學生數學抽象力的載體

很多學生由于對數學本質把握不準，對核心要素認識不清楚，而出現數學語言表達的不全面、不完整、不準確、不清晰等現象。在對數學知識進行提煉、概括的過程中，離不開學生的數學語言的表達。數學語言，是發展學生數學抽象力的重要載體。在培養學生的數學抽象力的過程中，教師要注重對學生數學語言的引導、規范。尤其是，要讓學生使用數學的符號語言進行概括、抽象。符號化、數學化是數學語言表達的靈魂。

在教學中，當學生認識到三角形的高的數學本質之后，教師就要著力引導學生數學化、邏輯化地表達。比如，有學生將“三角形的高”表達為“從三角形的頂點到底邊的垂直距離”。為此，筆者引導學生認識到表達中的語病錯誤，因為距離唯一，不存在垂直與不垂直的距離，因而引導學生將“三角形的高”概括表達為“從三角形的頂點到底邊的距離”或者“從三角形的頂點到底邊垂直線段的長度”，等等。通過數學語言的規范，學生不僅學會數學化、抽象化地表達，更深刻地認識到數學知識的內在本質。

數學語言的表達包括數學實物層面的表達、半符號層面的表達以及符號層面的表達。任何一個數學概念的形成都離不開數學語言的表達。通過數學語言表達的引領，能有效地發展學生的抽象理解能力，建構學生自己的數學理解，從而有效地發展學生的數學核心素養。

（作者單位：江蘇省南通市通州區金余小學）