經歷數學思維過程 培育學生核心素養

彭延焱

教學內容：

人教版義務教育教科書數學五年級下冊第八單元數學111—112頁內容。

教學目標：

1.通過比較、猜想、驗證等活動，探索解決問題的策略，滲透優化思想，感受解決問題策略的多樣性，培養觀察、分析、推理能力。

2.學習用圖形、符號等直觀方式清晰、簡明地表示數學思維的過程，培養邏輯思維的能力。

3.通過解決實際生活中的簡單問題，初步培養學生的應用意識和解決實際問題的能力。

教學重點：

讓學生初步認識“找次品”這類問題的基本解決手段和方法，體會解決問題策略的多樣性及運用優化的方法解決問題的有效性。

教學難點：

觀察、歸納“找次品”這類問題的最優策略。

教學準備：多媒體課件、圓形卡片

教學流程：

一、提出數學問題

1.了解次品：大家聽說過次品嗎？你是怎樣理解“次品”的？

次品有的是外觀瑕疵，有的是成分不合要求，還有的是產品的質量與正常的不同……。像這樣的物品我們稱之為次品。有這樣一盒口香糖，合格產品里裝了40粒，這盒口香糖卻少裝了2粒。

2.最不利原則：不小心，把這瓶次品和正品混在一塊了，共81瓶。你能從這里邊把那瓶次品找出來嗎？怎么找？至少要稱多少次才能保證把次品找出來？（提出用數一數、掂一掂、稱一稱等方法找次品）

有沒有可能，我稱的第一次就是次品？那我稱一次就能保證把次品找出來行嗎？為什么？要保證把次品找出來我們不能考慮幸運的時候，而是考慮最不利的情況。我們數學上稱為“最不利原則”也就是要做最壞的打算。

3.提出問題：這節課我們就根據最不利原則，利用天平在眾多外觀一樣的產品當中，“找次品”。

二、探究數學本質

（一）初步體會“找次品”的原理

1.81瓶數量太多啦！為了更好的尋找規律。同學們猜猜從幾瓶里找次品最簡單？通過以前的學習，我們也知道從簡單問題入手容易發現規律。

2.分兩瓶

如果從兩瓶開始研究是不是就有可能發現隱藏的數學規律？兩瓶至少稱幾次？怎么稱？

（介紹天平：正常情況下，天平左盤稱物品，右盤放砝碼。不過我們今天是天平兩邊放相同數量的物體。伸出你的手示意，如果……說明;如果……說明。）

3.分三瓶

（1）稱一次，你能不能從三瓶里找出次品？怎么稱？3瓶至少稱幾次能保證找出次品來？

“至少”“保證”什么意思？你怎么理解？

（2）你覺得需要稱幾次呢？怎么稱？試一試。如果天秤平了，哪瓶是次品？（外邊一瓶）如果不平呢？（輕的為次品）

指名回答，引導學生加上動作體會，同時演示課件。

（3）我們把它記錄下來，瓶數是3瓶，左邊1瓶，右邊1瓶，外邊1瓶，這樣分成了幾份？幾次稱出來？

為什么稱一次就找出次品了？我們來找找原因：

（因為天平有2個托盤，所以次品的位置無外乎左盤、右盤或天平外，稱一次就能確定出次品在三個位置中的哪一個。）

4.分五瓶

（二）感悟“找次品”的方法

1.小組活動：現在有8瓶，還是其中一瓶輕一些，用天平稱，至少稱幾次保證可以找出這一瓶次品？以小組為單位來探究這個問題，比一比哪個小組用的次數最少？

2.學生匯報：誰來說說你是怎么稱得？

學生匯報8（4，4），8（3，3，2），8（2，2，4），8（1，1，6），教師相應課件演示。

3.探究稱次品的方法

（1）仔細觀察，你發現了什么？

①要想稱的次數最少，比較合適，這樣充分利用了天平的左邊、右邊和外邊這三個區域。把待測到的物品分成幾份？（分三份）;;;

②要想稱的次數最小，不但要把待測物品分3份，而且要盡量的平均分，使每份的數量差最小。

（2）小結：要保證用最少的次數找到次品，就要把待測物品分3份，而且要盡量的平均分，使每份的數量差最小，這樣才能保證用最少的次數找到次品。

4.驗證規律：如果要從9瓶中保證找出1瓶次品，不借助學具先同桌互相猜一猜至少要稱幾次找到次品？然后用簡潔的方法表示思考過程。

小組交流后匯報：

9→（3、3、3）分成幾份？每份幾瓶？再看他們的差是幾？是最小吧？這9瓶是怎么分的？為什么差最??？（平均分差最小）其實這個分的過程能用一個算式表示，哪一個？9÷3=3次品在其中一個3瓶里，再分又能想到哪些算式？3÷3=1至少幾次？（2次）。符合我們研究的規律嗎？

5、大膽猜測：是不是所有的3的倍數的數都把它平均分成3份后，所稱得的次數是最少的呢？（學生此時就會想到拿一個是3的倍數的數去驗證。從而得出了結論。）

三、解決實際問題

1.解決在81瓶中找次品的方法

現在你能用我們研究出來的方法解決一開始的問題嗎？ 81瓶里有一瓶是次品，至少稱幾次？

2.練習

（1）有15盒餅干，其中的14盒質量相同，另有1盒少了幾塊，如果能用天平秤，至少幾次保證可以找出這盒餅干？

（2）有28瓶水，其中27瓶質量相同，另有1瓶是鹽水，比其他的水略重一些。至少稱幾次能保證找出這瓶鹽水？

四、拓展提高應用

同學們，今天我們研究的問題都是已知次品比較重或比較輕，如果不知道它重還是輕，你與辦法找出次品嗎？請同學課后思考，下節課我們交流。

五、全課總結

談談你本節課學到了什么知識？有哪些收獲？