演練，觸摸“學生”的認知天性

抗“疫”期間，筆者利用網上發布的各種防控訊息，創編了一組數學練習。想著在推薦學生練習之前，先讓團隊成員們動動腦、練練手，于是，便在微信群里發起了每日“競答”活動。

題目一：每出門采購一次口罩，消耗家里庫存1只，每次限買3只。買到了，多2只；買不到，虧1只。老張家里原有庫存10只，出門10次之后，家里現有12只。請問，他有幾次出門是買到口罩的？（適合三～六年級）

問題拋出后，筆者作為主持人與團隊成員進行了熱烈的討論——

徐老師：應該是3次吧？

顧老師：這應該是“牛吃草”問題吧，是4次。我們可以這樣進行解答。

方法一：

假設每次都買到口罩：3×10＝30（只）

相差：30－12＝18（只）

沒買到的次數：18÷3＝6（次）

買到的次數：10－6＝4（次）

方法二：

假設每次都不買到口罩：10－10＝0（只）

相差：12－0＝12（只）

買到的次數：12÷3＝4（次）

驗算略。

筆者：看得出，顧老師是先假設出門10次都能買到口罩，那么除去每次出門消耗掉的1只外，最后應當有30只，而實際只有12只。之所以會相差了18只，是因為其中有幾次出門是沒有買到口罩的，有一次沒買到，現有口罩數就少了3只，這樣就可算出有6次出門是沒有買到口罩的，那真正買到口罩的次數就是4次。

徐老師：謝謝顧老師的啟發！應該是4次。雞兔同籠問題，差點兒錯了。

本以為這個問題就這樣討論結束了，沒想到于老師又在群里發聲了——

于老師：是6次吧？12÷2＝6（次）。

顧老師：不是的，本來有10只。

于老師：出去買到口罩，用去1只，買到3只，實際凈得2只。

筆者猜想于老師是發現了“現有12只”確實是出門買到口罩后凈得的，但他把買到一次實際得到的口罩數弄錯了。如果買到一次是凈得“＋2只”，那出門一次沒買到就該是“－1只”，所以用12 除以3才能算出買到口罩的次數。

為了激發團隊成員參與“競答”活動的積極性，最后筆者在群里作了個小結：不管結果怎樣，過程都是有價值的。這也提醒我們，建模是把雙刃劍，如果不把它歸為某某問題，直接設x次出門買到，反而能更快捷地解決問題。

在幾輪“競答”活動結束后，筆者又把創編的十幾道練習題分配給幾位團隊成員，讓他們對這些練習題進行解析。周老師負責解析這一道“買口罩”問題，他除羅列出了假設法（類似于顧老師的解法）、列表法外，還自己命名了一種“對比法”。

對比法：讀完題目，我們發現10天一共實際只買到12-10=2（只），對比下來也就相當于只有1天買到口罩，而其余的9天都做了“無用功”。這9天實際買到口罩的數量和為0，根據題目可以得到每次買到的口罩可以“抵消”掉2天虧本的口罩數量。我們可以將3天分為一組，這3天里只要是1天買到，2天沒有買到算下來就總數為0。9÷（1+2）=3（組），3×2=6（次），意味著有6次沒有買到，10-6=4（次），4次買到口罩。

粗略看一下，覺得還挺有道理的，但仔細一推敲，便能發現其中邏輯的混亂。第一，“10天實際只買到了2只”這種說法是不正確的。無論出門買到還是買不到，都要消耗1只，因此出門10次實際買到的口罩就是12只，或者說實際買到的比原來的庫存多2只；第二，既然已經“認定”了“其余的9天都做了‘無用功’”，那還需要把這9天進行分組嗎？如果將條件改成“原有庫存7只”，那按照這個“對比”的思路，接下來又該怎么推演呢？

通過分析，周老師終于同意把這種“對比法”去掉，因為教師都沒有能夠把這種方法說清楚，那又怎么去指導學生呢？與其用一些“另類方法”去擾亂甚至誤導學生的思維，倒不如用一些最為基本的方法來啟發學生！

姜祈看見她的出現愣了愣，眼里光芒一閃，但很快又暗淡下去。他冷哼一聲：“這個時間點，學姐不該在上課嗎？”

為了進一步闡明以上觀點，我建議周老師再補充一種列方程的解法。直接設出門x次是買到口罩的，根據“原來庫存的只數＋買到的只數－出門10次消耗掉的只數＝現有的只數”這一關系式，列出方程“10＋3x－10＝12”。周老師看后馬上回復：“如果這樣的話，是不是可以有更簡單的方程式？原來有10只，出門10次正好消耗10只，那最后的12只是不是就可以直接看成是買到的？那就是3x＝12，你看呢？”看得出周老師這回完全理解了題目的意思，不過筆者還是堅持原先的想法。雖然列出的方程“10＋3x－10＝12”看上去比較復雜，但它依據的關系式非常清晰，學生比較容易理解，而且適用于一般的情況。如果將條件改為“原有庫存7只”，學生就很難直接找到“3x”對應的數量，而根據關系式“原來庫存的只數＋買到的只數－出門10次消耗掉的只數＝現有的只數”來列方程就容易多了。所以我們不能只追求表面的“簡單”，而要看這簡單的背后蘊含的“道理”是不是更為一般，更具普遍性。某種程度上，只要學生能理解的“復雜”就是一種簡單。至于學生能不能在“復雜”的基礎上悟出更簡單的方法，那就留給他們自己去探索、發現吧！

題目二：“20200202”（2020年2月2日）被稱為“世界完全對稱日”。你知道21世紀一共會有多少個這樣的“世界完全對稱日”嗎？（適合五年級）

顧老師這樣“競答”：

顧老師和筆者原來的想法基本是一致的，根據“世界完全對稱日”的排列規律，從左往右數第5、6位表示“月份數”，因此第4位數字只能是“0”或“1”，而當第3位數字大于“2”時，第4位數字就只可能是“0”了。然后，再應用“一一列舉”的策略，就能找出21世紀所有的“世界完全對稱日”了。

后期在對這道題進行解析時，丁老師又帶來了一種“新”的思路———

“世界完全對稱日”是指公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期，如2010年1月2日（20100102），2020年2月2日（20200202）等。

“世紀”是計算年代的單位，一百年為一個世紀。21世紀一般認為是從2001年1月1日至2100年12月31日（也有不同的觀點）。

先考慮20□□年，因為“世界完全對稱日”的日期中數字要左右完全對稱，所以就確定了4個數字：20□□□□02。這8個數字中，從左往右數，第3、4個數字表示年份的后兩位，第5、6個數字表示月份。接下來，可以從表示月份的兩個數字入手，也就是從1月排到12月，同時在前面補上與之對稱的第3、4個數字。然后，用一一列舉的策略就可以找出答案啦，它們分別是：

那么，2100年有沒有“世界完全對稱日”呢？答案是否定的。因為如果有的話，那得是21000012，第5、6個表示月份的數字是0、0，可是一年當中沒有0月。所以，21世紀一共有12個“世界完全對稱日”。

很顯然，丁老師是先列舉出從左往右第5、6個數字（即月份數）的所有情況：01、02……11、12，再逆推出年份數的后兩位數字的。相比于筆者和顧老師的方法，雖然最終得到的12種情況并沒有把年份數按順序排列，但整體看卻更為簡便、快捷。筆者和顧老師把視線鎖定在第3、第4個數字的特點上，而丁老師卻是直接從第5、第6個數字入手，從01 開始“順流直下”“一氣呵成”?？梢姡瑹o論是在學習還是在生活中，很多時候我們看問題的視角不同，獲得的體驗也不盡相同。多換一種角度，或許就能收獲不一樣的精彩。

題目三：假設一支援助醫療隊由137人組成，除2名領隊外，其余為醫護人員。其中包括5個普通醫療隊和一個重癥醫療隊。普通醫療隊中醫護人員的人數比是2∶3，重癥醫療隊中醫護人員的人數比是1∶4。已知這支援助醫療隊中共有護士93人，那么每個普通醫療隊中共有醫護人員多少人？每個重癥醫療隊呢？（適合六年級）

●方法一：嚴老師解答。

137-2=135（人）

5個普通醫療隊醫護人數比2：3

（2×5）：（3×5）=10：15

1個重癥醫療隊醫護人數比1：4

列舉法：

護士總人數重癥醫療隊醫生人數是否是4的倍數93 15的1倍 93-15×1=78 否93 15的2倍 93-15×2=63 否93 15的3倍 93-15×3=48是93 15的4倍 93-15×4=33 否93 15的5倍 93-15×5=18 否93 15的6倍 93-15×6=3 否普通醫療隊護士總人數重癥醫療隊護士總人數

從上表看出當普通醫療隊的護士總數為15的3倍，也就是45人時，與題目相符。

所以普通醫療隊的醫護人員總數=45÷3×（3+2）=75（人）

每個普通醫療隊的人數為75÷5=15（人）

每個重癥醫療隊的人數為135-75=60（人）

●方法二：顧老師的方法。

137-2=135（人）

嘗試1：

假設普通醫療隊共有醫護人員25［（2+3）×5=25］人，則重癥醫療隊共有醫護人員110人。

因為103比93多10人，與題目不符，所以假設不成立。

嘗試2：

假設普通醫療隊共有醫護人員25×2=50（人），則重癥醫療隊共有醫護人員135-50=85（人）。

因為98比95多3人，與題目不符，所以假設不成立。

嘗試3：

假設普通醫療隊共有醫護人員25×3=75（人），則重癥醫療隊共有醫護人員135-75=60（人）。

與題目相符，每支普通醫療隊共有醫護人員75÷5=15（人），每支普通醫療隊共有醫護人員：135-75=60（人）

兩位教師都是應用假設（假設5個普通醫療隊共有護士15人或5個普通醫療隊有醫護人員25人）、嘗試的方法，最終找到答案的?！俺诉@些方法外，還有沒有其他的方法呢？”

●方法三：嚴老師方程解法。

解：設重癥醫療隊醫護人員共x人，則普通醫療隊共（137-2-x）人。

每個普通醫療隊共有醫護人員人數=（135-60）÷5=15（人），每個重癥醫療隊共有醫護人員135-75=60（人）。

前期在微信群里進行的這一次“演練”，讓我們重新當回了一次學生，“暴露”了在面對不太熟悉的問題時自己的一些真實想法，讓我們更加深刻地體會到“每個人都更喜歡在自己熟悉的領域內兜轉，而只有把新知識放到更廣闊的情境中才能真正有助于學習”，也使我們真正認同了“在學習中犯錯誤并改正錯誤，其實就是在搭建通往高層次學習的橋梁”這樣的觀點。相信這些前期積累下來的經驗，將幫助我們更好地理解學生的“認知天性”，讓我們接下來在與學生的網上學習互動中變得更理性、更從容。