中考路徑長問題之直線型路徑

劉菲芬

摘要：運動軌跡問題是近年數(shù)學的中考熱點，考查了學生對數(shù)學活動過程的探究，并通過數(shù)學思考來解決問題的綜合應用能力。初中階段對于線長的求法只有線段和圓弧，因而對于運動軌跡的限定也就只有直線型和圓弧型，所以在只是計算路徑長，而無須證明時，可通過描點法大膽猜想求路徑：即對目標點描出它的起點、過程點、終點時的位置，連接起來猜想形狀，從而求值。而需要對運動軌跡進行證明時，可對直線型路徑和曲線型路徑進行探索，本文主要研究的是直線型路徑。

關(guān)鍵詞：中考;動點;路徑長;直線型;軌跡

一、目標點到定點的連線與定直線所夾角為定值（定夾角得直線）

【題型剖析】目標點在運動過程中始終到某個定點的連線與某條定直線的夾角保持不變，而這個定點經(jīng)常就是目標點的起點，這時目標點的運動軌跡就是該目標點與起點所在的直線，即為直線型路徑。此時只要找到目標點的起點和終點，路徑長為以這兩點為端點的線段長。

二、目標點的運動軌跡為三角形（或梯形）中位線

（一）定距離得平行線

【題型剖析】此類題型中，過程點均為線段的中點，過程點在運動過程中到定線段的距離始終保持不變，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得過程點的運動軌跡與定線段平行，再加上中點即可證運動路徑長為三角形（或梯形）的中位線。另：此類題也可通過四點共圓的幾何證法，得角相等，再根據(jù)同位角（內(nèi)錯角）相等，兩直線平行得中位線。

【方法總結(jié)】第一步：求出過程點到定線段的距離（或以過程點為頂點的角與某定角）相等，根據(jù)平行線的判定得出過程點的運動軌跡與定直線平行。第二步：找出過程點的起點和終點，根據(jù)中位線的定義，判斷其運動路徑為三角形（或梯形）的中位線。第三步：利用中位線的性質(zhì)求出路徑長。

（二）到兩定點距離為定值得垂直平分線

【題型剖析】此類題的目標點常為某定線段的中點，而目標點在運動過程中始終與另一定線段的兩個端點距離相等，即目標點的運動軌跡在該線段的垂直平分線上，從而可知該目標點的運動路徑為直線型路徑，并且起點和終點都為定線段的中點，得目標點的運動路徑為這兩線段所構(gòu)成的三角形（或梯形）的中位線。

【方法總結(jié)】第一步：證目標點到某定線段的兩個端點距離相等（目標點常為兩個直角三角形公共斜邊上的中點），得出目標點的運動軌跡在該線段的垂直平分線上，從而印證直線型路徑;第二步：找出目標點的起點和終點為三角形（或梯形）兩邊上的中點，得出目標點的運動路徑為三角形（或梯形）的中位線;第三步：利用中位線定理求出路徑長。

注：本文為2019年度泉州市基礎(chǔ)教育課程教學研究課題“基于核心素養(yǎng)下的中考數(shù)學微專題整合”（課題編號：QJYKT2019-227）研究成果。

參考文獻：

[1]鄧文忠.例析中考動點路經(jīng)長問題[J].數(shù)理化學習，2014（1）.

（責編? 楊 菲）