直觀實例

徐勇

[摘 要] 該文研究旨在說明，課堂教學中學生對抽象和難以理解的知識點的理解直接關乎教學的成效。“模式識別”課程中一些難點內容是教學效果的“卡脖子”問題，存在著“意會”與“言傳”的難題。針對這一問題，開展了“直觀實例——知識轉化”范式的教學實踐，通過引入形象直觀的實例尤其是生活中的實例，幫助學生進行“具象化”的思維，將難點知識轉化為“近感距離”的可類比的經驗或知識，促進學生對難點知識的理解與接受。基于該范式的教學實踐，在“模式識別”課程教學中達到了“難點知識講解—實例介紹與類比—知識點深化”的遞進式知識傳授與理解的實效，在抽象概念、方法合理性闡釋、方法學講解三個層次的教學中取得了很好的教學效果。

[關鍵詞] 直觀實例;知識轉化;模式識別;教學實踐

[作者簡介] 徐 勇，工學博士，哈爾濱工業大學（深圳）教授，博士生導師，主要從事人工智能專業核心課程“模式識別”的教學與研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）23-0001-04? ? [收稿日期] 2019-12-02

一、問題提出與直觀實例——知識轉化范式

“以學生為本”是高等教育教學改革的一個重要理念，而如何增強課堂教學效果、提高教師授課內容轉換為學生頭腦中知識的效率是“以學生為本”的關鍵內涵。為此，需要針對課堂內容尤其是難點內容開展細致的教學設計和精細的講解，以幫助學生高效地通過課堂學習掌握課程中的難點與重點內容。

“模式識別”課程是人工智能專業的核心骨干課程，是學生從事分類與特征抽取等算法設計的基礎課程。該課程為從事相關學術研究以及技術開發的人員提供必備基礎知識。

“模式識別”課程存在著概念較多、數理統計知識擴展應用較多以及部分算法原理比較抽象、學生對部分知識點難于理解等諸問題。針對于此，為了增強“模式識別”課程的教學效果，筆者開展了專門的教學設計與實踐，結合形象直觀的實例，幫助學生實現從抽象概念與方法到具體實例的類比、再到知識點的理解與掌握的符合認知思維特點的層次化學習，達成“難點知識講解—實例介紹與類比—知識點深化”的遞進式教學目標。由于課程設計中的實例主要來自生活、貼近實際，學生易于理解，學生可基于類比、聯想的手段，將實例的基本點與課程中的概念與知識點進行一一對應，實現實例到知識的教學轉化效果。相應理念的圖示如圖1。圖中虛線所示部分為知識的應用（具體化）的示意。由于知識的應用屬于知識的具體化的范疇，“知識的理解與鞏固”部分的實例其實也是一個知識應用的范例。因此，本文中的實例具有輔助知識理解與知識應用示范的雙重功效。

圖中主體部分所示為實例對知識的理解與鞏固的圖示，而圖中最右邊部分（即虛線所示部分）為知識的應用（具體化）的圖示。圖中的實例也起到知識應用范例的作用。

上述教學實踐的課堂設計重點如下：遵循“已知”導入“未知”的教學方法。采用學生熟知的、對學生“帶入感”強的實例，籍此減少學生對課堂難點知識的“生疏感”，并易于學生進行實例與知識的類比與轉化。如此，學生對抽象知識容易獲得抽象到具體、“空洞”到“實際”、迷惑到頓悟的課堂效果。而且，采用的形象直觀、簡單且易于理解的實例也十分利于學生將其他相近實例與知識點進行對應與轉化，進一步加深對知識的理解與應用。

二、直觀實例——知識轉化教學范式的三個層次

“模式識別”課程中應用于類別后驗概率計算與分類的貝葉斯決策公式、面向類別概率密度函數估計的非參數估計等都是教學中的難點問題。諸如此類的問題，在教學實踐主要從抽象概念、方法合理性闡釋、方法學講解三個層次進行實例化的教學。

這三個層次的實例化教學的重點如圖2所示。圖2中的向上的箭頭表示圖示的三個層次中，位置越高的層次中知識的抽象程度越高，實例化教學中知識與實際對應的關系更復雜。

三、直觀實例——知識轉化范式的“模式識別”教學實踐

（一）抽象概念的實例——知識轉化

抽象概念層次的實例化教學，重點在于通過實例與概念中的關鍵點進行對應，幫助學生實現概念的“具象”化。相應工作主要包括適合實例化教學的難點概念的梳理、實例的設計以及其與概念的對應關系分析。

最小錯誤貝葉斯分類算法利用貝葉斯決策公式計算一個樣本屬于不同類別的后驗概率，并將樣本分類到具有最大后驗概率的類別。不少初學者會對為什么類別的后驗概率和先驗概率及類別概率密度函數成正比例關系感到困惑。因此，在課堂上設計了如下兩個形象直觀的實例幫助學生理解，告訴大家在生活中人們其實已經不自覺地應用了貝葉斯決策公式的思想。

第一個實例：由于北方的蛇大部分為無毒蛇，所以當有同伴在北方被蛇咬后，我們可以告訴同伴不要焦慮，因為咬他的蛇十分有可能是無毒蛇。此例中，“北方的蛇大部分為無毒蛇”對應著貝葉斯決策公式中無毒蛇這一類別的先驗概率很大，且比有毒蛇這一類別的先驗概率大得多這一知識點。而“咬他的蛇十分有可能是無毒蛇”對應著貝葉斯決策公式中咬同伴的蛇屬于無毒蛇的后驗概率很大這一知識點。由此，可建立先驗概率大則后驗概率也大的具象性關聯。

第二個實例：由于男藝術家中留長發的較多，所以，當人們看到一個留著長發的男士，會說此人很可能是（男）藝術家。此例中，“男藝術家中留長發的較多”對應著貝葉斯決策公式中男藝術家這一類別具有長發“特征”的概率較大，即相應概率密度函數的值較大這一知識點。而“此人很可能是（男）藝術家”對應著留著長發的男士屬于男藝術家的后驗概率很大這一知識點。由此，可建立概率密度值大則后驗概率也大的具象性關聯。

如上兩個實例的類比，很容易產生實例到知識的轉化效果，會給學生留下很深刻的概念。在實際課堂教學中介紹上述實例后，還可順便啟發學生們：貝葉斯決策公式似乎并不是完全偶然的突發奇想式的“空中樓閣”，也許貝葉斯等科學家當年不自覺地受到了人們生活經驗的啟發。

抽象概念的實例——知識轉化的教學范式，也可應用于貝葉斯分類適合解決類別屬性具有一定隨機性的分類問題等概念的形象化教學中。

（二）面向方法合理性闡釋的實例——知識轉化

方法合理性闡釋層次的實例化教學，重點在于通過簡單實例的顯而易見的合理性，讓學生直觀地理解一類方法的原理。相應工作主要包括適合實例化教學的重要方法的梳理、實例的設計以及其合理性與方法合理性的類比分析。

面向類別概率密度函數估計的非參數估計方法的教學中，學生一般會面臨如下困惑：為什么不直接利用空間中一個點的觀測數據來直接估計一個類別在此點的概率密度值，而利用一個“區間”內的平均結果來進行估計？相應的計算公式的理解也是一個難點問題。為了便于學生們形象化的理解，可舉如下實例。

假設已知一批成年男生（例如300名男生）的身高值，目前需要利用這批數據和非參數估計方法來估算男生這一類別的身高的概率密度函數。以男生這一類別中身高為176.5厘米的男生的概率估計為例。如果直接利用一個點的觀測數據來直接估計一個類別在此點的概率密度值，就應該用身高為176.5厘米的男生人數與男生總人數的比值作為身高為176.5厘米的男生的概率值。假如已知身高的300名男生中，恰好沒有身高為176.5厘米的男生，那么身高為176.5厘米的男生的人數與男生總人數的比值等于零，據此得出的概率值也等于零。但是，根據我們的日常經驗，身高為176.5厘米左右的成年男性的比例并不算少。另一方面，已知身高的300名男生中，身高為176厘米的男生可能存在若干個。顯然，若將一個孤立的空間點的男生的人數與男生總人數的比值作為該點概率值，此實例中還會導致相鄰空間點的概率估計值出現“跳躍式變化”的問題。因此，我們憑直覺知道直接利用一個點的觀測數據來直接估計一個類別在此點的概率密度值是一個不合理的做法。

在此實例介紹的基礎上，可順理成章地引入如下話題和內容。依據已知的一批成年男生的身高值，如何利用非參數估計的思路合理地估計男生這一類別的身高的概率密度函數呢？既然“單點”數據的利用不恰當，那我們可以考慮利用一個區間范圍內的男生身高值來估計男生的某個身高的概率密度值，即用“平均”的思路來規避某些“單點”沒有觀測數據的問題。“平均”是我們日常中常用的一個方法。“平均”要注意的問題是選擇區間的大小，過大的區間會導致估計結果過于平滑，不能充分反映概率密度的局地變化;而假如區間選擇的太小，也會導致估計結果的起伏變化超過概率密度真實的局地變化水平。

另一個面向方法合理性闡釋的實例如下：課堂抽查點名的結果相當于類概率密度估計方法中已知的觀測樣本。基于最大似然估計方法的思路與完全依據課堂抽查點名結果評定考勤分數的思路一致，只依據所抽查的“事實”即點名結果得出結論;最大似然估計方法得出的服從正態分布的類概率密度函數的期望等于所有觀測樣本的均值，這類比于將一個人的多次考勤結果的平均作為其考勤分數。而基于貝葉斯參數估計方法的思路與同時依據課堂抽查點名結果與“印象分”評定一個學生的考勤分數的思路有相似之處。譬如，可以給以前的課程中出勤率很高的同學較高的“印象分”。因此，貝葉斯參數估計方法得出的服從正態分布的類概率密度函數的期望等于所有觀測樣本的均值與其“印象分”的加權和，這類比于將一個人的多次考勤結果的平均與其“印象分”的綜合作為最終的考勤分數。

“模式識別”課堂教學中關于方法合理性闡釋的形象實例還包括“評委投票”與k近鄰分類方法的類比——二者均基于“少數服從多數的原則”和“得票最多者當選”的規則。

（三）方法學層次的實例——知識轉化

方法學講解層次的實例化教學，重點在于借助生活中相對熟悉的實例，介紹方法學的思想，將具有晦澀的方法學與實際社會中解決問題的方法產生直接聯系，并在聯系中達成知識的遷移和深化理解。相應工作主要包括適合實例化教學的重要方法學的梳理、實例的設計以及其實例與方法學思想的一致性與合理性分析。

最小錯誤貝葉斯分類與最小風險貝葉斯分類是兩個重要的分類方法學，其深入理解涉及到二者存在顯著差異的“思想”。鑒于此，適當的實例教學以及由此帶來的知識轉化對二者差異的理解十分有益。

這其中涉及兩個層次的理解。第一個層次的關鍵點為最小錯誤貝葉斯分類算法將樣本分類到具有最大后驗概率的類別的做法基本合理。但是，我們知道，同一個樣本屬于不同類別的概率（即屬于不同類別的后驗概率）一般各不相同，而且最大的后驗概率等于1的情況幾乎不會發生。即使一個樣本屬于某個類別（為了表示簡便，我們假設其為第j類）的“準確”后驗概率值高達百分之九十，該樣本仍然有百分之十的可能性屬于其他類別。換言之，假如這樣的樣本一共有一千個，從概率的觀點看，這一千個樣本中大約有九百個樣本真正屬于第j類，而大約有一百個樣本真正屬于其他類（即第j類之外的其他類別）。由于最小錯誤貝葉斯分類算法總是將樣本分類到具有最大后驗概率的類別，所以，在后驗概率值完全準確的情況下，最小錯誤貝葉斯分類算法在上述例子也會存在百分之十的錯誤率。

上述例子中理解的第二個層次的關鍵點為不同的分類錯誤帶來的損失會不同。例如，將本來患癌的病人誤判為正常，會耽誤病人的治療甚至錯失最佳治療時機，會帶來嚴重的損失。

為了形象直觀地理解最小風險貝葉斯分類算法的合理性，可以以如下實例進行介紹：假如有一支股票，分析顯示其股價從現在開始到今后一段固定時間內上漲概率為70%，而下跌概率為30%。如果采用最小錯誤貝葉斯分類算法，顯然我們應該采取“買入”操作。

從概率的角度看，上漲與下跌的概率之比為7∶3，顯然是上漲概率大。但是，從這個單支股票看，雖然上漲概率大，但完全有可能出現下跌，而且下跌的可能性為30%（即本金受損的概率為30%）。假如，已知該股票在上述時間段內如果出現下跌，買入股票帶來的虧損將為50%;而該股票在上述時間段內如果出現上漲，買入股票帶來的收益將為15%。當然，如果對此股票不進行操作（即不買入此股票），無論其漲跌都沒有損失也沒有收益。在此實例中，最佳的操作應該是什么呢（到底買還是不買）？根據我們的生活經驗，為了規避可能的風險（本金損失），很大一部分投資者會對該股票采取不買入的做法。這種生活中即考慮可能的盈利概率，又考慮可能的風險（損失）的做法，實際上就是生活中的一種最小風險貝葉斯分類方法。而如果只根據股票上漲和下跌的概率來決定是否買入股票的操作實際上是生活中的一種最小錯誤貝葉斯分類方法，二者的理念幾乎完全一致。根據生活經驗，我們知道，將風險納入決策過程是一個更穩妥的做法，因此，很大比例的實際問題中，最小風險貝葉斯分類比最小錯誤貝葉斯分類更為實用。

關于方法學層次的實例——知識轉化教學方式還可應用于小樣本容易導致過學習等問題的知識講解中。

參考文獻

[1]肖念.對中國大學教學改革邏輯的思考[J].中國大學教學，2012（07）：7-9.

[2]湯俊雅.我國一流大學本科教學改革與建設實踐動向[J].中國高教研究，2016（7）：1-6.

[3]陳新忠.以學生為中心深化本科教學改革[J].中國高等教育，2013（13）：50-52.

[4]曲曉慧，薄麗麗.大學課堂教學評價存在的問題及對策探討[J].繼續教育研究，2012（9）：155-157.

[5]粟高燕.教育創新與教師作為知識傳授者角色的變化[J].教育探索（6）：14-16.

[6]于劍.樹立學生中心理念是提高人才培養能力的關鍵[J].中國高等教育，2018（3）：42-44.

[7]趙炬明.關于實施“以學生為中心”本科教學改革思考[J].中國高教研究，2017（8）：36-40.

[8]包國豐.淺析高校教學理念與課堂設計——以國際金融課程為例[J].現代交際（9）：214-214.

[9]朱長江.實施“四個轉變”推進本科教學改革[J].中國高等教育，2013（20）：43-44.

[10]關少化.生命意義下的大學課堂教學[J].中國高教研究，2011（10）：95-96.

Intuitionistic Examples：Teaching Practice of Pattern Recognition Based on Knowledge Transformation Paradigm

XU Yong

（Harbin Institute of Technology （Shenzhen），Shenzhen，Guangdong 518000，China）

Abstract：Students' understanding of abstract and incomprehensible knowledge points in classroom teaching is directly related to the effectiveness of teaching.Some difficult contents in Pattern Recognition are the problems of bottleneck in teaching effect，and there are some difficulties in "understanding by insight" and "explaining in words".In order to solve these problems，the teaching practice of "intuitionistic examples-knowledge transformation" paradigm is carried out.By introducing intuitionistic examples，especially in life，students are helped to carry out "concrete" thinking，and difficult knowledge is transformed into analogical experience or knowledge of "close distance"，so as to promote students' understanding and acceptance of difficult knowledge.Based on the teaching practice of this paradigm and in the teaching of Pattern Recognition，the effect of progressive teaching of? "difficult points explanation-example introduction and analogy- knowledge point deepening" has been achieved，and good teaching results have been obtained in abstract concept imparting，method rationality interpretation，and methodology explanation.

Key words：intuitionistic examples;knowledge transformation;Pattern Recognition;teaching practice