例析解幾中涉及三角形面積的多種題型

江蘇省蘇州市吳中區蘇苑中學 (215128) 蔣 艷 楊品方

在高中的數學解題中，有關三角形面積的題目尤其多，本文擬看看與解析幾何中曲線有關的三角形的面積問題．這類問題，除了能考查三角形面積的計算，還能考查曲線的性質，還能考查用代數運算來研究幾何圖形的思想，所以備受數學愛好者的青睞．本文略舉幾例來說說該類三角形面積問題的常用處理方法，供探討．

題型1轉化面積的比值為線段長度的比值

初中學習過“相似三角形”，有個知識點叫“面積比是相似比的平方”．由此可見，處理兩個三角形面積比值問題，不一定要計算面積，合理轉化就可以了，可以轉化到弦長．

圖1

(1)求橢圓的方程；

(2)過右焦點F2的直線l與橢圓交于A,C兩點，記ΔABF2,ΔBCF2的面積分別為S1,S2，若S1=2S2，求直線l的斜率．

分析：題中涉及的兩個三角形，如果分別選擇AF2,F2C作為底邊，那么它們的高是一致的，所以面積比就可以轉化為底邊的比值，不需要具體求面積．

點評：如果費盡辛苦先求得點B到直線AC的距離d作為三角形的高，計算時候還是要約分約掉的，沒有必要計算．

《解三角形》章節學到過已知“兩邊一夾角”求三角形面積的公式，在解幾運算中用起來也相當方便．

例2 如圖2，已知圓C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)與直線y=3x相交于P,Q兩點，則當ΔCPQ的面積最大時，實數a的值為．

圖2

分析：等腰ΔCPQ的腰長是定值1，面積就僅僅受頂角所限制，寫出面積與頂角的關系式來尋求最大值．

題型3運用割補法轉化再求面積

初中學過，不規則圖形的面積，可以采用割補法來進行求解，我們發現，在坐標系中的三角形，由于坐標軸的特殊位置，可以恰當分割來簡化運算．

圖3

(1)求橢圓C的方程；

分析：M是線段BP的三等分點，可以求得M的坐標．

（1）模擬酒配方。調整蔗糖含量為20 g/L，不添加乙醇和磷酸氫二銨，其余成分同1.3.1中擴培階段模擬酒。

點評：不難發現，當三角形的一條邊在坐標軸上時，面積計算相對簡單點，可以把坐標軸上的邊作為底邊，另外一個點的橫(縱)坐標的絕對值就是三角形的高了．

補形與分割是相對的，鑒于“有邊在坐標軸上的三角形容易算面積”，我們可以把被坐標軸分割的三角形分割成兩個小三角形．

圖4

分析：ΔOAB被x軸分成上下兩塊ΔOFA和ΔOFB，而這兩個三角形，又是有邊在坐標軸上的，方便計算面積．

點評：在具體運算過程中，應培養敏銳的觀察能力，本題中右焦點(1,0)，下頂點(0,-2)，兩點的連線的斜率，就是已知條件中的2．同樣是消元，消去y得到x的方程，應該更容易計算．

題型4運用公式“底乘以高再除以2”

對于一般三角形，如果可以直接獲得底和高，那么我們就采用“底乘以高再除以2”來計算面積．

例5 如圖5，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，點D為其準線與x軸的交點，過點F的直線l與拋物線相交于A,B兩點，求ΔDAB的面積S的取值范圍．

圖5

分析：通過聯立方程，可以得到弦長AB，還可以得到點D到直線AB的距離，于是就有ΔDAB的面積了．

|y1-y2|，這時候需要把直線AB的方程寫成x=my+1再聯立方程，而計算|y1-y2|則是弦長AB的一小步，區別不大．

解析幾何中，涉及曲線的三角形的面積的計算，有時候不需要面積公式，可以轉化到線段長的計算；更多時候需要我們合理分析，選擇“兩邊一夾角”呢還是“底乘以高再除以2”呢，還是先進行必要的分割再行計算，需要我們分析與觀察并舉．