關于一道向量試題的解題反思

許四軍

摘要：向量是高中數學重要內容和解決問題的有效工具，近幾年高考中出現的關于向量問題的考查也越來越凸顯向量知識的重要性。本文結合一道向量試題，嘗試從代數，幾何及向量角度去研究解決向量問題，旨在拋磚引玉，能夠讓大家帶來更多思考。

關鍵詞：高考;向量;試題研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2020）16-0177-02

平面向量是高中階段重要內容，是連接代數與幾何之間的橋梁，主要用代數的方法研究幾何，是研究數學問題的重要工具.筆者在實際教學中發現，學生對向量比較畏懼，學習困難比較大，向量問題往往錯誤率比較高[1]。究其原因，還是對向量概念理解不清，對向量的應用及其作為重要解題工具把握不到位.來看一道來自平時的向量作業題：

引例：設非零向量a→，b→且|a→|=2，|a→+2b→|=2，則|a→+b→|+|b→|的最大值為

分析：由于向量處于代數和幾何之間的學科，因此向量問題通?？梢詮拇鷶?、幾何和向量三個角度去考慮.[2]

解法一：代數法。由|a→+2b→|=2，兩邊平方得，|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2，代入得，a→b→+|b→|2=0即b→（a→+b→）=0，也即b→^（a→+b→），

因為向量a→，b→，a→+b→構成以|a→|為斜邊的直角三角形，故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4，

由基本不等式可得，|b→|+|a→+b→|2？|b→|2+|a→+b→|222（當且僅當|b→|=|a→+b→|=2時取”=”），所以|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法二：整體思想。注意觀察到未知向量與已知向量之間有如下關系：

（a→+b→）-b→=a→，（a→+b→）+b→=a→+2b→，

不妨令a→+b→=x→，b→=y→則試題轉化為：

設非零向量x→，y→且|x→-y→|=2，|x→+y→|=2，則|x→|+|y→|的最大值為

結合向量加法、減法運算的幾何表示可知，與為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線.如下圖：

因為|x→-y→|=|x→+y→|=2，即平行四邊形對角線相等，故該四邊形為矩形，所以，|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知識，|x→|+|y→|2？……