關(guān)于一道向量試題的解題反思

許四軍

摘要：向量是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容和解決問(wèn)題的有效工具，近幾年高考中出現(xiàn)的關(guān)于向量問(wèn)題的考查也越來(lái)越凸顯向量知識(shí)的重要性。本文結(jié)合一道向量試題，嘗試從代數(shù)，幾何及向量角度去研究解決向量問(wèn)題，旨在拋磚引玉，能夠讓大家?guī)?lái)更多思考。

關(guān)鍵詞：高考;向量;試題研究

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2020）16-0177-02

平面向量是高中階段重要內(nèi)容，是連接代數(shù)與幾何之間的橋梁，主要用代數(shù)的方法研究幾何，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具.筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)向量比較畏懼，學(xué)習(xí)困難比較大，向量問(wèn)題往往錯(cuò)誤率比較高[1]。究其原因，還是對(duì)向量概念理解不清，對(duì)向量的應(yīng)用及其作為重要解題工具把握不到位.來(lái)看一道來(lái)自平時(shí)的向量作業(yè)題：

引例：設(shè)非零向量a→，b→且|a→|=2，|a→+2b→|=2，則|a→+b→|+|b→|的最大值為

分析：由于向量處于代數(shù)和幾何之間的學(xué)科，因此向量問(wèn)題通常可以從代數(shù)、幾何和向量三個(gè)角度去考慮.[2]

解法一：代數(shù)法。由|a→+2b→|=2，兩邊平方得，|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2，代入得，a→b→+|b→|2=0即b→（a→+b→）=0，也即b→^（a→+b→），

因?yàn)橄蛄縜→，b→，a→+b→構(gòu)成以|a→|為斜邊的直角三角形，故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4，

由基本不等式可得，|b→|+|a→+b→|2？|b→|2+|a→+b→|222（當(dāng)且僅當(dāng)|b→|=|a→+b→|=2時(shí)取”=”），所以|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法二：整體思想。注意觀察到未知向量與已知向量之間有如下關(guān)系：

（a→+b→）-b→=a→，（a→+b→）+b→=a→+2b→，

不妨令a→+b→=x→，b→=y→則試題轉(zhuǎn)化為：

設(shè)非零向量x→，y→且|x→-y→|=2，|x→+y→|=2，則|x→|+|y→|的最大值為

結(jié)合向量加法、減法運(yùn)算的幾何表示可知，與為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線.如下圖：

因?yàn)閨x→-y→|=|x→+y→|=2，即平行四邊形對(duì)角線相等，故該四邊形為矩形，所以，|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知識(shí)，|x→|+|y→|2？……