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關(guān)于一道向量試題的解題反思

2020-07-23 06:50:13許四軍
讀與寫·上旬刊 2020年6期

許四軍

摘要:向量是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容和解決問(wèn)題的有效工具,近幾年高考中出現(xiàn)的關(guān)于向量問(wèn)題的考查也越來(lái)越凸顯向量知識(shí)的重要性。本文結(jié)合一道向量試題,嘗試從代數(shù),幾何及向量角度去研究解決向量問(wèn)題,旨在拋磚引玉,能夠讓大家?guī)?lái)更多思考。

關(guān)鍵詞:高考;向量;試題研究

中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:B文章編號(hào):1672-1578(2020)16-0177-02

平面向量是高中階段重要內(nèi)容,是連接代數(shù)與幾何之間的橋梁,主要用代數(shù)的方法研究幾何,是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具.筆者在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)向量比較畏懼,學(xué)習(xí)困難比較大,向量問(wèn)題往往錯(cuò)誤率比較高[1]。究其原因,還是對(duì)向量概念理解不清,對(duì)向量的應(yīng)用及其作為重要解題工具把握不到位.來(lái)看一道來(lái)自平時(shí)的向量作業(yè)題:

引例:設(shè)非零向量a→,b→且|a→|=2,|a→+2b→|=2,則|a→+b→|+|b→|的最大值為

分析:由于向量處于代數(shù)和幾何之間的學(xué)科,因此向量問(wèn)題通常可以從代數(shù)、幾何和向量三個(gè)角度去考慮.[2]

解法一:代數(shù)法。由|a→+2b→|=2,兩邊平方得,|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2,代入得,a→b→+|b→|2=0即b→(a→+b→)=0,也即b→^(a→+b→),

因?yàn)橄蛄縜→,b→,a→+b→構(gòu)成以|a→|為斜邊的直角三角形,故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4,

由基本不等式可得,|b→|+|a→+b→|2?|b→|2+|a→+b→|222(當(dāng)且僅當(dāng)|b→|=|a→+b→|=2時(shí)取”=”),所以|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法二:整體思想。注意觀察到未知向量與已知向量之間有如下關(guān)系:

(a→+b→)-b→=a→,(a→+b→)+b→=a→+2b→,

不妨令a→+b→=x→,b→=y→則試題轉(zhuǎn)化為:

設(shè)非零向量x→,y→且|x→-y→|=2,|x→+y→|=2,則|x→|+|y→|的最大值為

結(jié)合向量加法、減法運(yùn)算的幾何表示可知,與為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線.如下圖:

因?yàn)閨x→-y→|=|x→+y→|=2,即平行四邊形對(duì)角線相等,故該四邊形為矩形,所以,|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知識(shí),|x→|+|y→|2?……

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