關于一道向量試題的解題反思

許四軍

摘要：向量是高中數學重要內容和解決問題的有效工具，近幾年高考中出現的關于向量問題的考查也越來越凸顯向量知識的重要性。本文結合一道向量試題，嘗試從代數，幾何及向量角度去研究解決向量問題，旨在拋磚引玉，能夠讓大家帶來更多思考。

關鍵詞：高考;向量;試題研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2020）16-0177-02

平面向量是高中階段重要內容，是連接代數與幾何之間的橋梁，主要用代數的方法研究幾何，是研究數學問題的重要工具.筆者在實際教學中發現，學生對向量比較畏懼，學習困難比較大，向量問題往往錯誤率比較高[1]。究其原因，還是對向量概念理解不清，對向量的應用及其作為重要解題工具把握不到位.來看一道來自平時的向量作業題：

引例：設非零向量a→，b→且|a→|=2，|a→+2b→|=2，則|a→+b→|+|b→|的最大值為

分析：由于向量處于代數和幾何之間的學科，因此向量問題通常可以從代數、幾何和向量三個角度去考慮.[2]

解法一：代數法。由|a→+2b→|=2，兩邊平方得，|a→|2+4a→b→+4|b→|2=4

又|a→|=2，代入得，a→b→+|b→|2=0即b→（a→+b→）=0，也即b→^（a→+b→），

因為向量a→，b→，a→+b→構成以|a→|為斜邊的直角三角形，故|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4，

由基本不等式可得，|b→|+|a→+b→|2？|b→|2+|a→+b→|222（當且僅當|b→|=|a→+b→|=2時取”=”），所以|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法二：整體思想。注意觀察到未知向量與已知向量之間有如下關系：

（a→+b→）-b→=a→，（a→+b→）+b→=a→+2b→，

不妨令a→+b→=x→，b→=y→則試題轉化為：

設非零向量x→，y→且|x→-y→|=2，|x→+y→|=2，則|x→|+|y→|的最大值為

結合向量加法、減法運算的幾何表示可知，與為以向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線.如下圖：

因為|x→-y→|=|x→+y→|=2，即平行四邊形對角線相等，故該四邊形為矩形，所以，|x→|2+|y→|2=4

由基本不等式知識，|x→|+|y→|2？|x→|2+|y→|222（當且僅當|x→|=|y→|=2時取”=”）

所以，|x→|+|y→|的最大值也即|a→+b→|+|b→|最大值為22.

解法三：解析法（軌跡法）考慮教材上分別從幾何表示和坐標表示兩種途徑去展開向量知識的研究，因此向量的問題也可以從解析法的角度去分析解決.[3]

因為|a→|=2，不妨設向量a→起點為坐標原點，且設a→=OA→=（2，0），如下圖：

設b→=OB→=（x，y），則a→+2b→=（2+2x，2y），因為|a→+2b→|=2，故向量b→終點B軌跡為：（x+1）2+y2=1

而在坐標運算下，|a→+b→|+|b→|=（x+2）2+y2+x2+y2，其幾何意義為BC+BO.

也即：在圓（x+1）2+y2=1上找一點B，值得BC+BO取得最大值.

因為OC恰為圓的直徑，故BC2+BO2=4，

由方法一中基本不等式，可得BC+BO最大值為22即為所求.

解法四：利用向量的線性表示（幾何）[4]

假設向量a→，b→首尾相連，根據向量線性運算的法則，作出向量a→+b→，a→+2b→如下圖：

又|a→|=|a→+2b→|=2，故DOAB為等腰三角形，而C為AB的中點，所以OC^AB.

所以由勾股定理得，OC2+AC2=OA2即|a→+b→|2+|b→|2=|a→|2=4.

由基本不等式可得，當且僅當|a→+b→|=|b→|=2時，|a→+b→|+|b→|最大值為22.

結語

在平時數學學習中，我們會遇到大量數學試題，如果只是機械式的做題，而不去思考，反思，那么學生的思維是沒有靈性的，效率也不高。希望本文可以起到拋磚引玉的作用，讓學生在學習過程中能夠多思考多反思[5]，促進自己更加高效的學習。

參考文獻：

[1]陳桂玲.小學數學課堂趣味導入策略[J].現代教育，2017（10）.

[2]許國平.小學數學課題教學中學生創新意識的培養[J].科學咨詢（教育科研），2017（12）.

[3]夏小剛，呂傳漢，汪秉彝，等.中小學“數學情境與提出問題”教學的實驗研究[J].中國教育學前沿，2007，13（3）：84-87.

[4]佚名.中小學數學“情境——問題”教學模式研究[C]//教師教學能力發展研究科研成果集（第十三卷）.2018.（6）13-117.

[5]劉金艷.小學數學情境教學研究分析[J].中國校外教育旬刊，2015（6）：103-103.