“形”與“式”的有效結合

朱皓華

在我們的小學數學學習過程中，“形”一般指直觀圖形、幾何圖形，“式”一般指算式、數量關系式。不管是圖形還是算式，都是小學數學教學的重要內容。學生在對圖形的觀察過程中，可以提高其觀察能力、直觀能力;在列式與計算的過程中，可以培養學生的抽象能力、概括能力。但是，我們在教學過程中，若始終將“形”與“式”這兩者孤立起來教學，那么，在培養學生核心素養、提高學生解決問題能力的效率上，最多只能起到互相疊加的效果。反之，若能將兩者有效地結合起來，就可以達到成倍增長的效果。以下，我以小學數學蘇教版教材五年級下冊《因數與倍數》一課為例，談談如何將“形”與“式”有效地結合起來進行教學。

一、以“形”助“式”：將空洞的算式具體化

本課例一，就是要讓學生掌握因數與倍數的概念。但是，因數與倍數的概念是從乘法算式開始教學的，若是上課一開始，就出示幾個算式，然后告訴學生，什么叫因數，什么叫倍數，就會顯得單調乏味，也不利于學生理解因數與倍數的概念。因此，教師在教學的過程中采取了如下教學策略。

教師課件出示12個排列雜亂的同樣大的正方形，請學生拼成一個長方形，問學生可以怎樣擺。學生匯報，教師隨即課件演示三種不同拼法：第一種，12個正方形擺成一排;第二種，擺成兩排，每排6個;第三種，擺成3排，每排4個。有了圖形的幫助，接下來就能順利地得出算式了。教師提問：這三種不同的擺法，你能相應地寫出三道不同的乘法算式嗎？學生回答：1×12=12，2×6=12，3×4=12。教師以3×4=12為例，向學生揭示：3和4都是12的因數;12是3的倍數，也是4的倍數。接著，請學生分別以1×12=12，2×6=12為例，說說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。說完后，要求學生概括12的因數：請學生根據以上三道乘法算式，寫出12的所有因數。并告知學生，寫因數的時候要一對一對地寫，并按照從小到大的順序排列，每相鄰的兩個數之間用逗號隔開，注意保持合適的距離。

從以上教學片段中我們看到，因為有了圖形的幫助，教學過程中使用的算式不再顯得空洞，而是具體化的，有靈魂的。學生理解誰是誰的倍數、誰是誰的因數的過程也顯得更加容易。另外，由于有了圖形的幫助，學生理解了積是12的乘法算式只有這3個，所以在讓學生寫出12的所有因數的過程中，學生能很容易地將因數全部列舉出來。以“形”助“式”，能讓算式變得更加具體，也能讓學生對算式、概念的理解更加透徹。

二、由“式”化“形”：將抽象的特征直觀化

本課例二，是讓學生找出36的所有因數。由于在找因數與倍數的過程中，是純數字的數學活動，非常抽象，特別是尋找一個數的因數，對學生來說是有一定難度的。另外，在找出了一個數的因數與倍數后，讓學生理解一個數的倍數與因數分別有什么特征，就顯得更加抽象了。那么，怎樣才能讓如此抽象的數學知識變得直觀形象呢？我們可以借助直觀圖形來解決。

比如，請學生自主探索找出36的所有因數，并要求思考：怎樣找才能做到不重復、不遺漏;把找到的因數按順序記錄下來，與同學說一說自己找的過程。學生完成后，展示學生的活動學習單，交流學習成果。有的學生依次列舉出乘法算式尋找因數，學生很容易地找出了一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身，但是卻始終想不到一個數的因數的個數是有限的這一特征，即使有的學生想到了這一特點，也無法理解、說清為什么一個數因數的個數是有限的。此時，我們就可以借助數軸來幫助學生理解這一特征。課件出示一條數軸，讓學生在數軸上一對一對地標出36的所有因數，從1和36、2和18……一直到6和6，學生在標因數的過程中發現，兩個因數的距離在靠近，直到無法再靠近，那么尋找因數的過程也結束了，所以一個數的因數是有限的。

學生在數軸上標因數，當標到6時，無法再繼續往下標了，馬上明白了一個數因數的個數為什么是有限的這一原理。我們通過數軸巧妙地將一個個算式轉化到了圖形之中，看似抽象的數學知識瞬間變得直觀起來。

三、“式”“形”合一：使表層的知識深刻化

如前所述，不管是以“形”助“式”，還是由“式”化“形”，都是幫助學生學好數學知識、提高學生數學意識的有效方法。那么若是“式”“形”合一，又會起到怎樣的教學效果呢？會不會“式”與“形”的教學功效進一步發揮出來，起到成倍增長的效果呢？

例如，在教學找一個數的倍數的過程中，我讓學生用列舉的方法找出3的倍數，并想一想，能找出多少個？學生從3的1倍開始列舉，3×1=3，3×2=6……順利地找出了3的倍數，并按照從小到大的順序書寫出來。接著，再請學生用列舉的方法找出2和5的倍數，并觀察2，3，5的倍數，說說一個數的倍數有什么特點。學生回答：一個數的最小倍數是它本身，沒有最大的倍數;一個數的倍數的個數是無限的。其中，為了讓學生理解“一個數沒有最大的倍數”和“一個數倍數的個數是無限的”這兩個特點，教師也出示一條數軸，請學生在數軸上標出3的倍數，以幫助學生理解一個數的倍數的特點。接著，為了幫助學生回顧探索一個數的因數與倍數的過程，教師將教學過程中出示過的兩條數軸同時在課件上展示出來，并配以算式。將算式與圖形結合在一起進行展示后，請學生仔細觀察并結合算式與圖形說一說我們是怎樣找一個數的倍數和因數的，為什么一個數因數的個數是有限的，而倍數的個數是無限的。

學生在“式”“形”合一的觀察過程中，回顧總結一節課所學到的知識，有助于學生把因數與倍數的概念、特征很好地整合起來，在頭腦中形成脈絡分明、層次清楚的思維結構圖，幫助學生內化了所學知識，也使浮在表層的認識變得更加深刻了。

“形”與“式”的有效結合，是學好數學知識的有效手段和重要方法。“形”可以將本來抽象的數量關系、運算性質形象化、直觀化;“式”可以將復雜的幾何圖形數字化、抽象化。我們在教學過程中，若能有效地將“式”與“形”結合起來，就可以使抽象的問題變得具體，復雜的問題變得簡單，從而達到優化解決問題途徑的目的。